1、資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除word可編輯§ 1.4常用的分布及其分位數(shù)1. 卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正態(tài)分布所導(dǎo)生的分布，它們與正態(tài)分布一起，是試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)中常用的分布。當(dāng)Xi、X2、Xn相互獨(dú)立且都服從 N(0,1)時(shí)，Z=£ Xi2的 i分布稱為自由度等于n的？2分布，記作Z”2(n),它的分布密度P(z 0其他,n _1二 2-uu2 e du,0式中的n =2稱為 Gamma®數(shù)，且 1=1,=6=e-2分布是非對(duì)稱分布，具有可加性，即當(dāng)Y與Z相互獨(dú)立，且 Y？2(n), Z7 2(m),則Y+Z2 2(n+m)。證明:先令 Xi

2、、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m 相互獨(dú)立且都服從N(0,1),再根據(jù)2分布的定義以及上述隨機(jī)變量 的相互獨(dú)立性，令y=x 2+x 2 + +x n，z=x 匕 +x n+2 + +x n+m，Y+Z= X 2 +x 2 + +X 2 + X ny +x 2+2 + +X 2+m，即可得到 Y+Z72(n+m)2. t分布若X與Y相互獨(dú)立，且XN(0,1)2(n),則Y的分布稱為自由度等于n的t分布，記作Zt(n),它的分布密度：3)P(z)=2-(n).請(qǐng)注意：t分布的分布密度也是偶函數(shù)，且當(dāng) n>30時(shí)，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線幾乎重疊為一。這時(shí)，t分布的

3、分布函數(shù)值查 N(0,1)的分布函數(shù)值表便可以得 到。3. F分布若X與Y相互獨(dú)立，且X？ 2(n), Y？ 2(m), 則z= X /Y的分布稱為第一自由度等于n、第二自由度等于n mm的F分布，記作 ZF (n, m),它的分布密度n m ,、n _ _ f n+ m 'n .n 2 m 2 i 12 2! z2八p(z)= 7; *, z>°p()但"mi522) 12 ! (m + nz) 20,其他。請(qǐng)注意：F分布也是非對(duì)稱分布，它的分布密度與自由度 的次序有關(guān)，當(dāng) ZF (n, m)時(shí)，工F (m ,n)。Z4. t分布與F分布的關(guān)系若 Xt( n

4、),則 Y=X2 F(1, n)。1n + 1、, d2 I 22、n 1證：Xt( n) , X的分布密度 p(x戶 ' 2J 1+A -7 :1 n i n j7 n冗 r i ;20Y=X 2 的分布函數(shù) Fy (y) =PY< y=PX 2 <y。當(dāng) yw 0 時(shí)，F(xiàn)Y(y) =0, pY(y)=0 ;當(dāng) y>0 時(shí)，F(xiàn)y(y)=P- v,ry<X<Vy L二 / p(x)dx=2 p(x)dx,Y=X 2的分布密度pY(y尸n n22y2-1資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除與第一自由度等于 1、第二自由度等于n 的 F 分布的分布密度相同，

5、因此Y=X2F（1, n）。為應(yīng)用方便起見， 以上三個(gè)分布的分布函數(shù)值都可以從各自的函數(shù)值表中查出。但是，解應(yīng)用問題時(shí)，通常是查分位數(shù)表。有關(guān)分位數(shù)的概念如下：4. 常用分布的分位數(shù)1）分位數(shù)的定義分位數(shù)或臨界值與隨機(jī)變量的分布函數(shù)有關(guān)， 根據(jù)應(yīng)用的需要，有三種不同的稱呼，即 a分位數(shù)、上側(cè)a分位數(shù)與雙 側(cè)a分位數(shù)，它們的定義如下：當(dāng)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 F（x）,實(shí)數(shù)a滿足0 <a<1 時(shí)，a分位數(shù)是使PX< X 口 =F（X a ）= a的數(shù)X a ,上側(cè)民分位數(shù)是使PX >入=1- F（入戶a的數(shù)人，雙側(cè)a分位數(shù)是使 PX<入1=F（入1）=0.5 a的數(shù)

6、人1、使 PX> 入 2=1 - F（入 2）=0.5 民的數(shù)人 2。因?yàn)?- F（入戶a , F（入）=1- a ,所以上側(cè)a分位數(shù)人就是 1- a分位數(shù)X 1- % ；F（入1）=0.5民，1- F（入2）=0.5 a ,所以雙側(cè)a分位數(shù)入1就 是0.5 a分位數(shù)X 0.5ot ,雙側(cè)a分位數(shù)入2就是1- 0.5 a分位 數(shù) x 1- 0.5 a。2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的a分位數(shù)記作Ua , 0.5 a分位數(shù)記作U 0.5 a，1- 0.5。分位數(shù)記作 U 1-0.5P(x)P(x)J£Ox當(dāng) X N(0,1)時(shí)，PX< ua =F 0,i(ua 尸 a,PX<U 0

7、.5 a = F 0,1 (u 0.5 a )=0.5 & ,PX<u 1- 0.5 a = F 0,1 (u 1- 0.5 a )=1 - 0.5 a。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性，當(dāng) & =0.5 時(shí)，ua =0；當(dāng) a <0.5 時(shí)，u 2 <0。ua =- u 1- a °如果在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值表中沒有負(fù)的分位數(shù)，則先查由u 1- a ,然后得到Ua =- u 1- a o論述如下：當(dāng) X N(0,1)時(shí)，PX< u a = F 0,1 (u a 尸 a ,PX< u 1- a = F 0,1 (u 1- a 戶1-

8、8，PX> u 1- a=1- F 0,1 (u 1- a 尸。，故根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性，ua =- u 1- a o例如， u 0.10=- u 0.90=- 1.282,u 0.05= - u 0.95=- 1.645,u 0.01=- u 0.99=- 2.326,u 0.025 = - u 0.975=- 1.960,u 0.005 = - u 0.995=- 2.576。又因?yàn)镻|X|< Ul-0.5a =1-0,所以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)，分位數(shù)分別是Ul-0.5”Ul-0.5a。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布常用的上側(cè)a分位數(shù)有：a =0.10, u 0.90=1.282;a

9、=0.05, u 0.95=1.645;a =0.01, u 0.99=2.326;a =0.025, u 0.975=1.960;a =0.005 , u 0.995=2.576。3)卡平方分布的a分位數(shù)記作？ 2 口(n)。工 2 a (n)>0，當(dāng) X？ 2(n)時(shí)，PX< < 2 a (n)=民例如，Z 20.005 (4)=0.21，/ 2 0.025(4)=0.48，2 0.05(4)=0.71 ,2 0.95 (4)=9.49,7 2 0.975(4)=11.12 0.995 (4)=14.9o4) t分布的民分位數(shù)記作ta (n)當(dāng)Xt (n)時(shí)，PX<

10、t0(n)=乜,且與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相類似，根據(jù)t分布密度曲線的對(duì)稱性，也有ta (n)=- 11- a (n)，論述同 ua =- u 1- a。例如，t 0.95 (4)=2.132, t 0.975(4)=2.776,t 0.995(4)=4.604, t 0.005(4)=- 4.604,t 0.025(4)=- 2.776, t 0.05(4)=-2.132。另外，當(dāng)n>30時(shí)，在比較簡(jiǎn)略的表中查不到ta (n),可用ua作為ta (n)的近似值。5) F分布的5分位數(shù)記作 八(n , m)oFa (n , m)>0,當(dāng) XF (n , m)時(shí),PX<F q(n , m

11、)=民。另外，當(dāng)。較小時(shí)，在表中查不由F a (n, m),須先查一1Fi-a(m, n),再求 Fa(n, m)=。論述如下：F(m , n )當(dāng) X F(m, n)時(shí),PX< F 1- a (m, n)=1- a,P >1=1- a , P <1=a ,X F 1-： (m, n)X F 1-： (m,n)又根據(jù)F分布的定義，工F(n, m), P <F a (n, m) = a ,XX1 因此 F 民(n, m)=。F1-： (m , n )例如，F(xiàn) 0.95 (3,4)=6.59 , F 0.975(3,4)=9.98,F 0.99(3,4)=16.7, F 0

12、.95(4,3)=9.12,F 0.975(4,3)=15.1, F 0.99(4,3)=28.7,111F 0.01 (3,4)= 28.7 ' F 0.025 (3,4)=面'F 0.05 (3,4)=獲 072 0.05(8),t 0.05(8),2 0.95(12)t 0.95(12)。【課內(nèi)練習(xí)】1 .求分位數(shù)2 .求分位數(shù)3 .求分位數(shù) F0.05(7,5), F0.95(10,12)4 .由u 0.975=1.960寫生有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)。5 .由t 0.95(4)=2.132寫生有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)6 .若X72 (4), PX<0.711=0.05 , PX<9.49=0.95 ,試寫 由有關(guān)的分位數(shù)。7 .若X F(5,3), PX<9.01=0.95 , Y F(3,5), Y<5.41=0.95,試寫由有關(guān)的分位數(shù)。8 .設(shè)X 1、X 2、X 10相互獨(dú)立且都服從 N(0,0.09)分布,試求 P£ Xi2 >1.44 o習(xí)題答案:1.2.73,21.0。2.-1.860, 1.782。3.i4.88, 3.37。側(cè)0.05分位數(shù)側(cè)0.1分位數(shù)。4. 1.960為