1、高中數學幾何證明相關定理公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有點都在這個平面內。(1)判定直線在平面內的依據(2)判定點在平面內的方法公理2:如果兩個平面有一個公共點，那它還有其它公共點，這些公共點的集合是一條直線(1)判定兩個平面相交的依據(2)判定若干個點在兩個相交平面的交線上公理3:經過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。(1)確定一個平面的依據(2)判定若干個點共面的依據推論1:經過一條直線和這條直線外一點，有且僅有一個平面。(1)判定若干條直線共面的依據(2)判斷若干個平面重合的依據(3)判斷幾何圖形是平面圖形的依據推論2:經過兩條相交直線，有且僅有一個平

2、面。推論3:經過兩條平行線，有且僅有一個平面。立體幾何直線與平面 空間二直線平行直線公理4:平行于同一直線的兩條直線互相平行等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等。異面直線空間直線和平面位置關系(1)直線在平面內一一有無數個公共點(2 )直線和平面相交一一有且只有一個公共點(3 )直線和平面平行一一沒有公共點立體幾何直線與平面直線與平面所成的角(1)平面的斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線與平面所成的角(2) 一條直線垂直于平面，定義這直線與平面所成的角是直角(3) 一條直線和平面平行，或在平面內，定義它和平面所成的角是00的角三垂線定理

3、 在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂直三垂線逆定理 在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直空間兩個平面兩個平面平行判定性質(1)如果一個平面內有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行(2)垂直于同一直線的兩個平面平行(1)兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面(2)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行(3) 一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面 相交的兩平面二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫二面角的線，這兩個半平面叫

4、二面角的面二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個面內分另作垂直棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角兩平面垂直判定性質如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直(1)若二平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面(2)如果兩個平面垂直，那么經過第一個平面內一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內立體幾何多面體、棱柱、棱錐 多面體定義由若干個多邊形所圍成的幾何體叫做多面體。棱柱斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱。直棱柱：側棱與底面垂直的棱柱。正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱。棱錐正棱錐：如果棱錐的底面是正

5、多邊形，并且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。球：到一定點距離等于定長或小于定長的點的集合。歐拉定理 簡單多面體的頂點數 V 棱數E及面數F間有關系：V+F-E=2平行四邊形的判定與性質：平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。平行四邊形的性質：(1)平行四邊形的對邊相等；(2)平行四邊形的對角相等；(3)平行四邊形的對角線互相平分；(4)平行線之間的距離處處相等。平行四邊形的判定：(1) 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；(2)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；(3)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；(4)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。1

6、.直線與平面平行的(判定)1 .判定定理.平面外一條直線如果平行于平面內的一條直線，那么這條直線與這個平面平行.2 .應用：反證法（證明直線不平行于平面）2 .平面與平面平行的（判定）1 .判定定理：一個平面上兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行2 .關鍵：判定兩個平面是否有公共點3 .直線與平面平行的（性質）1 .性質：一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一與此平面的交線與該直線平行2 .應用：過這條直線做一個平面與已知平面相交，那么交線平行于這條直線4 .平面與平面平行的（性質）1 .性質：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行2 .應用：通過做與兩個平行

7、平面都相交的平面得到交線，實現線線平行五：直線與平面垂直的（定理）1 .判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直2 .應用：如果一條直線與一個平面垂直，那么這條直線垂直于這個平面內所有的直線（線面垂直-線線垂直）六.平面與平面的垂直（定理）1 .一個平面過另一個平面的垂線 ，則這兩個平面垂直（或者做二面角判定）2 .應用：在其中一個平面內找到或做出另一個平面的垂線，即實現線面垂直證面面垂直的轉換七.平面與平面垂直的（性質）1 .性質一：垂直于同一個平面的兩條垂線平行2 .性質二：如果兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直3 .性質三：如果兩個

8、平面互相垂直，那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面內的直線，在第一個平面內（性質三沒什么用，可以不用記） 以上，是立體幾何的定理和性質整理 .是一定要記住的基本！空間立體幾何定理基本概念公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內。公理2:如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線。公理3:過不在同一條直線上的三個點，有且只有一個平面。推論1:經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面。推論2:經過兩條相交直線，有且只有一個平面。推論3:經過兩條平行直線，有且只有一個平面。公理4 :平行于同一條直線的兩條直線互相平行。等角定

9、理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。空間兩直線的位置關系：空間兩條直線只有三種位置關系：平行、相交、異面1、按是否共面可分為兩類：（1）共面：平行、相交（2）異面：異面直線的定義：不同在任何一個平面內的兩條直線或既不平行也不相交。異面直線判定定理：用平面內一點與平面外一點的直線，與平面內不經過該點的直線是異面直線。兩異面直線所成的角：范圍為 （ 0 ，90 ） esp. 空間向量法兩異面直線間距離: 公垂線段（ 有且只有一條 ） esp. 空間向量法2、若從有無公共點的角度看可分為兩類：（ 1 ）有且僅有一個公共點相交直線；（ 2）沒有公共點平行或異面直

10、線和平面的位置關系： 直線和平面只有三種位置關系：在平面內、與平面相交、與平面平行直線在平面內有無數個公共點直線和平面相交有且只有一個公共點直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個平面內的射影所成的銳角。esp. 空間向量法（ 找平面的法向量）規定：a 、直線與平面垂直時，所成的角為直角，b 、直線與平面平行或在平面內，所成的角為 0角由此得直線和平面所成角的取值范圍為 0 ，90 最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內任一條直線所成角中的最小角三垂線定理及逆定理: 如果平面內的一條直線 , 與這個平面的一條斜線的射影垂直， 那么它也與這條斜線垂直esp. 直線和平面垂直直線和平

11、面垂直的定義： 如果一條直線 a 和一個平面 內的任意一條直線都垂直， 我們就說直線a 和平面 互相垂直 . 直線 a 叫做平面 的垂線，平面 叫做直線 a 的垂面。直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。直線與平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。直線和平面平行沒有公共點直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么我們就說這條直線和這個平面平行。直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。直線和平面平行的性質定理：如果一條直線和一

12、個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。兩個平面的位置關系：（ 1 ）兩個平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點（ 2 ）兩個平面的位置關系：兩個平面平行 沒有公共點； 兩個平面相交 有一條公共直線。a、平行兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。兩個平面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么交線平行。b、相交二面角（ 1 ）半平面：平面內的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中每一個部分叫做半平面。（ 2） 二面角： 從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。 二面角的取值范圍為0

13、，180 （ 3 ）二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。（ 4 ）二面角的面：這兩個半平面叫做二面角的面。（ 5 ）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。（ 6 ） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。esp. 兩平面垂直兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。記為兩平面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直兩個平面垂直的性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。Attention ：二面

14、角求法：直接法（作出平面角） 、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法（注意求出的角與所需要求的角之間的等補關系）多面體棱柱棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。棱柱的性質（ 1 ）側棱都相等，側面是平行四邊形（ 2 ）兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形（ 3 ）過不相鄰的兩條側棱的截面（對角面）是平行四邊形棱錐棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐棱錐的性質：（ 1 ）側棱交于一點。側面都是三角形（ 2 ）平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方正棱錐正棱錐的定義：如果一個棱錐底面是正多邊形，并且頂點在底面內的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。正棱錐的性質：（ 1 ）各側棱交于一點且相等，各側面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。（ 3 ）多個特殊的直角三角形esp ： a 、相鄰兩側棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點在