1、初中數學專題講義-四邊形(一)一、課標下復習指南1.多邊形(1)多邊形的定義在平面內，由不在同一條直線上的一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.(2)多邊形的性質n邊形的內角和等于(n 2) 180° ;任意多邊形的外角和等于360° ;1n邊形的對角線的條數等于一n(n 3).22 .四邊形的分類(一般平行四邊形平行四邊形科平行四邊朝臂限方形一般梯形3 1等腰梯形特殊梯形(直用梯形，其他四邊形4 .平行四邊形(1)平行四邊形的定義兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.(2)平行四邊形的性質兩組對邊分別平行且相等；兩組對角分別相等；兩條對角線互相平分；平行四邊形是中心

2、對稱圖形，兩條對角線的交點是它的對稱中心.(3)平行四邊形的判定根據平行四邊形的定義判定；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.5 .矩形(1)矩形的定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.(2)矩形的性質具有平行四邊形的所有性質；四個角都是直角；兩條對角線相等；矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，它的兩條對稱軸是過每組對邊中點的直線.(3)矩形的判定根據矩形的定義判定；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形.6 .菱形(1)菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.(2)菱形的性質具有

3、平行四邊形的所有性質；四條邊都相等；兩條對角線互相垂直，且每一條對角線平分一組對角；菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，它的兩條對稱軸是兩條對角線所在的直線.(3)菱形的判定根據菱形的定義判定；四條邊都相等的四邊形是菱形；兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.7 .正方形(1)正方形的定義有一個角是直角，并且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形.(2)正方形的性質具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質.它既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，它 有四條對稱軸.(3)正方形的判定有一組鄰邊相等的矩形是正方形；有一個角是直角的菱形是正方形.二、例題分析例1 已知：如圖11 1, BD為DABCD的對角線

4、，。為BD的中點，EFLBD于點O, 與AD, BC分別交于點 E, F.求證：DE = DF.分析 因為BDLEF于點O,所以欲證 DE = DF,只要證EO=FO;另外對于 DEF , 欲證 DE=DF,只要證/ DEF = /DFE.證法一如圖11-1,在DABCD中，圖 11 1 AD / BC, ./ EDO = Z FBO. .O為BD的中點，DO= BO.在 EDO和 FBO中，EDO FBO,DO BO,DOE FOB,EDOA FBO.EO=FO.又. BDEF于點O, DE = DF .證法二如圖11- 1 ,. EF垂直平分BD于點O,BF= DF . ./ FBO =

5、Z FDO ,從而/ BFE = Z DFE . 四邊形ABCD是平行四邊形， . AD / BC . ./ DEF =/ BFE. ./ DEF =/ DFE .DE = DF .說明(1)請總結證法一及證法二的基本思路和方法，想一想，還可以怎么證？(2)如圖11 2,在例1的條件下，若連接BE,則四邊形EBFD是怎樣的四邊形？為什么？圖 11 2(3)如圖 11-2,在例 1 的條件下，若 BD=24cm, EF=10cm, FC = 2cm,試計算 DABCD 的面積.例2 如圖113,在梯形ABCD中，AD / BC, AD>CD,將紙片沿過點 D的直線折 疊，使點C落在AD上的

6、點C'處，折痕 DE交BC于點E,連接C' E.圖 11 3(1)求證：四邊形 CDC' E是菱形；(2)若BC= CD +AD,試判斷四邊形 ABED的形狀，并加以證明. 分析 證明四邊形 CDC' E是菱形的關鍵是證明 CD=CE.解 (1)證明：根據題意可知， CDEAC DE. .CD = C' D, CE=C' E, /CDE = /C' DE. AD / BC,. C' DE = Z CED. ./ CDE = Z CED .CD = CE.-.CD = CE = C，D = C' E.，四邊形CDC'

7、 E是菱形.(2)當BC=CD+AD時，四邊形 ABED是平行四邊形，證明如下：由(1)知，CE = CD.又. BC = CD + AD,即 BE + CE = CD + AD, BE=AD.又 BE /AD , 四邊形ABED是平行四邊形.形的方法不唯一，想一想，給出你的說明對于第題，證明四邊形 CDC' E 其他證法.(2)對于第(2)題，在BC=CD + AD的條件下，若設 AD= a、CD=b,那么梯形 ABEC ' 的面積、四邊形 ABED的面積、菱形 CDC ' E的面積、梯形 ABCD的面積的比是多少？例3 如圖114,在DABCD中，/ BAD = 3

8、2° ,分別以 BC, CD為邊向外作 BCE 和 DCF,使 BE=BC, DF = DC, / EBC = Z CDF ,延長 AB 交邊 EC 于點 H,點 H 在 E, C兩點之間，連接AE, AF. (1)求證：AABEA FDA . (2)當AEAF時，求/ EBH的度數.圖 11 4解(1)證明：在DABCD 中，AB=DC,又 DF = DC , AB= DF .同理EB = AD.在 DABCD 中，/ ABC = Z ADC , 又. / EBC=Z CDF , ./ ABE=/ ADF, .ABEA FDA.(2) /A ABEA FDA , ./ AEB=/

9、DAF. . / EBH = Z AEB+Z EAB, ./ EBH = Z DAF +Z EAB.AEXAF, ./ EAF = 90° . . / BAD = 32° , ./DAF+/ EAB= 90° - 32 = 58° . ./ EBH = 58° .例4 已知：如圖11-5,在矩形 ABCD中，AE平分/ BAD,交BC于點E, / EAC = 15° .圖 11 5試比較線段BO與BE的大小，并證明你的結論；(2)若連接OE,求/ BOE.BO, BE的長度提出猜想,分析(1)依題意正確畫出示意圖后，可通過分別度量線段

10、在證明結論時，應注意分析線段BO, BE分別與邊AB的位置關系和相應的數量關系；(2)在求/ BOE的度數時，如果利用第(1)小題的結論，可將問題轉化為求/ OBC的度數.解(1)線段BO, BE的大小關系是BO=BE,證明如下： 四邊形ABCD是矩形，DAB = /ABC=90° , OA=OB. AE 平分 / BAD, ./ BAE=Z EAD=45° .AB= BE. . / EAC= 15° , .Z BAC=Z BAE+Z EAC = 45° +15° =60° . .OAB是等邊三角形.BO = AB.BE= BO.（2

11、） /Z OBC=Z ABC-Z ABO = 90° 60° =30°，而 BO=BE, -1BOE BEO -（180 30） 75,即/ BOE = 75 ° .說明 在解答第（1）小題時，一定要先寫出結論，然后再說明理由，在解答第（2）小題時，一定要注意第（1）、（2）小題之間是否有必然聯系；（2）若例4再添加AB=4 cm這個條件，請想一想，怎樣求出E點到對角線AC的距離.例5 如圖11 6,在正方形 ABCD中，點E, F分別為邊 BC, CD的中點，AF, DE 相交于點G,則可得結論： AF = DE;AFDE （不需要證明）圖 11 6（

12、1）如圖11 7,若點E, F不是正方形 ABCD的邊BC, CD的中點，但滿足 CE= DF , 則上面的結論、是否仍然成立？（請直接回答“成立”或“不成立” ）（2）如圖11 8,若點E, F分別在正方形 ABCD的邊CB的延長線和DC的延長線上, 且CE=DF,此時上面的結論、是否仍然成立*成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.（3）如圖119,在（2）的基礎上，連接 AE和EF,若點M, N, P, Q分別為AE, EF ,FD, AD的中點，請判斷四邊形 MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一種并寫出證明過程.圖 11 9解(1)答：成立.(2)答：成立.理由如下：

13、如圖 11-8, 四邊形ABCD是正方形， ./ADF =/DCE = 90° , AD = CD.又 DF= CE,ADFA DCE .AF=DE, / F = Z E. /DGF = 180° (/F+/FDB)= 180° (/E+/ FDB)=/DCE= 90° , AFXDE.答：四邊形 MNPQ是正方形.理由如下: 如圖11-9,在 AED中， 點M、Q分別是AE, AD的中點，1MQ/ED,MQ -ED.1NP ED,PQ2AF. 2同理可證：MN/AF MN AF；,. AF=DE, . MN = NP=PQ = MQ. 四邊形MNPQ是

14、菱形. MQ/ED, AFXDE, MQ XAF,又，MQ / AF,MQ± MN,即/ QMN= 90° . 四邊形MNPQ是正方形.說明“中點四邊形”是一個重要的知識點.考生應會證明“任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形”；“對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形”；“對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形是矩形” .另外，請掌握解答這類問題時，書寫表達如何更加規范.例6 如圖11-10,正方形ABCD中，M為AB邊上一點，E為AB延長線上一點，DM LMN于M, MN交/CBE的平分線于 N.求證：DM = MN .圖 11-10分析證線段相等，可考慮構造三角形全等或集中在一

15、個三角形中，利用“等角對等邊”來證.證明如圖11-11,在 DA上截取 DF = BM,連接 MF .圖 11-11,.在正方形 ABCD中，AD = AB,又/A=90° , ./ AFM =/ AMF =45° . ./ DFM =135° .又 BN 平分/ CBE, /CBE=90° , ./ MBN = 135° .又 MNDM , .1+Z DMA = 90° .又/ 2+/ DMA = 90 ° , 1=/ 2. .DFM MBN.DM= MN.說明(1)將“M在AB上”的條件改為“ M在AB的延長線上”，其他

16、條件不變，DM = MN的結論還成立嗎？(2)若將正方形推廣到任意正n邊形，需將條件相應地做怎樣的改變，仍有類似的線段相等的結論成立？三、課標下新題展示例7 如圖1112所示，在矩形ABCD中，AB=12, AC= 20,兩條對角線相交于點 O, 以OB, OC為鄰邊作第1個平行四邊形OBBQ,對角線相交于點 A1,再以A1B1, A1C為鄰 邊作第2個平行四邊形 A1B1C1C,對角線相交于點 O1；再以O1B1, O1C1為鄰邊作第3個平 行四邊形O1B1B2C1,依此類推.圖 11-12(1)求矩形ABCD的面積；(2)求第1個平行四邊形 OBBiC、第2個平行四邊形 A1B1C1C和第

17、6個平行四邊形的面 積.解（1）在 RtABC 中，BC JACAB2 J202 122 16,S 矩形 abcd = AB - BC=12X 16 = 192.(2)二矩形ABCD,對角線相交于點 O, Sabcd = 4字OBC . 四邊形OBBiC是平行四邊形， OB/CB1, OC/ BBi, ./OBC = /BiCB, /OCB = /BiBC. 又 BC = CB,.,.OBCABiCB.S OBB1C2 s obc2 s巨形ABCD96.同理，S A1 B1C1C-Sabcd248.第6個平行四邊形的面積為qSabcd23.例8在邊長為 連接DM交AC于點(1)如圖 11-13

18、,從點A出發，沿A-B-C向終點C運動,BN.6的菱形ABCD中，動點M N.當點M在AB邊上時，連接圖 11-13求證： ABN-ADN;若/ABC=60° , AM = 4, Z ABN =,求點 M到AD的距離及tan的值； (2)如圖1114,若/ ABC=90° ,記點 M運動所經過的路程為 x(6WxW12).圖 11-14試問：x為何值時， ADN為等腰三角形.證明：.四邊形 ABCD是菱形，AB=AD, / 1 = / 2.又 AN = AN ,.ABNA ADN .解：作 MH，DA交DA的延長線于點 H,由AD / BC,得/ MAH = / ABC =

19、 60在 RtAMH 中，MH am sin 60273.點M到AD的距離為2顯 易求 AH = 2,則 DH =6+ 2=8.在 RtDMH 中，tan MDHMH 2 3,3DH由知，/ MDH=/ABN =故 tan .（2）解：ABC = 90 ° ,菱形ABCD是正方形.此時，/ CAD = 45 ° .下面分三種情況：（見圖1115）圖 1115若 ND = NA,則/ ADN = /NAD=45° .此時，點M恰好與點B重合，得x=6.若 DN = DA,則/ DNA = Z DAN =45° .此時，點M恰好與點C重合，得x=12.若 A

20、N = AD=6,則/ 1 = 7 2.由 AD / BC,得/ 1 = 7 4,又/ 2 = / 3, / 3= / 4,從而 CM=CN.易求AC 6.2.CM= CN= AC-AN= 6<2 -6.故 x=12CM = 12(6J2 6)= 18 6<2 .綜上所述，當x= 6或12或18- 6收 時， ADN是等腰三角形.四、課標考試達標題（一）選擇題1 .如圖1116,在DABCD中，EF/AB, GH /AD, EF與GH交于點 O,則該圖中的平 行四邊形的個數共有（）.圖 11-16A. 7 個B. 8 個C. 9 個D. 11 個2 .在四邊形ABCD中，。是對角線

21、的交點，能判定這個四邊形是正方形的條件是().A. AC=BD, ABMCDB. AD / BC, / A=/ CC. AO=BO=CO = DO, ACXBDD. AO=CO, BO = DO , AB= BC3 .如圖11-17,在DABCD中，對角線 AC, BD相交于點 O,將 AOD平移至 BEC的位置，則圖中與OA相等的其他線段有（）.圖 11-17A. 1條B. 2條C. 3條D. 4條4 .在DABCD中，AB=6, AD = 8, / B是銳角，將 ACD沿對角線 AC折疊，點 D落 在 ABC所在平面內的點 E處，若AE過BC的中點，則DABCD面積為（）.A. 48B.

22、10V6C. 12/D. 24V”5 .如圖1118,在DABCD中，對角線AC, BD相交于點 O, E, F是對角線 AC上的兩點, 當E, F滿足下列哪個條件時，四邊形 DEBF不一定是平行四邊形（）.A. OE= OFC. / ADE = / CBF圖 1118B. DE = BFD. / ABE = / CDF6.如圖1119,菱形 ABCD中，對角線 AC與BD相交于點 O, OE/ DC交BC于點 巳AD = 6cm,則OE的長為（A. 6cm（二）填空題7 .若菱形兩條對角線長分別為B.10和24,則它的邊長為D. 2cm8 .如圖11 20,把一張長方形紙條按圖中那樣折疊后，

23、若得到/AOB' = 70° ,則/ B'OG =DB圖 11-209.如圖11 21,菱形ABCD的對角線的長分別為 2和5,若P是對角線AC上任一點（點P不與點A, C重合），且PE/ BC交AB于E, PF /CD交AD于F,則陰影部分的面積是圖 11 2110.如圖11-22,在平面直角坐標系中，若(0, 0), (5, 0), (2, 3),則頂點C的坐標是 ABCD的頂點A, B, D的坐標分別是(三)解答題H分另IGEHF圖 11 2311 .已知：如圖11 23, E, F是DABCD的對角線 BD上的兩點，BE=DF,點G, 在BA和DC的延長線上，且 AG = CH,連接GE, EH, HF , FG.求證：四邊形 是平行四邊形.12 .已知：如圖 11 24,在 ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過 A點作 BC的平行線交 CE的延長線于F ,且AF = BD ,連接BF .圖 11-24求證：D是BC的中點；(2)如果AB=AC,試判斷四邊形 AFBD的形狀，并證明你的結論.13 .已知：如圖 11