1、數學各種公式及性質1 .乘法與因式分解(a+b)(ab)=a? b?；(a±bF=3±2ab+b2；(a+b)(a?ab+b?)= 2+b+(a b)(a + ab+ b2) = a3b3; a + b2= (a+ b)2 2ab; (a b)2 = (a+ b)2 4abo2 .幕的運算性質namxH=+n；am+W = #n；建)n=臚；(ab)三才心(旦)n=.T;b bna-n=j,特別：。戶=5)n；3=常0)。3 .二次根式(面)2 =琬>0) ; (/= I a I ; fah =內義 盒;一,(a>0, b> 0)。4 .三角不等式|a|-

2、 |b| < |a ± b| < |a|+|b|(定理)加強條件：|a|- |b| < |a ± b| < |a|+|b| 也成立，這個不等式也可稱為向量的三角不等式(其 中a, b分別為向量a和向量b)|a+b| < |a|+|b|a-b| < |a|+|b|; |a| < b<=b>< a< b；|a_b| > |s| -|b| ； -|a| w aw |a| ;5 .某些數列前n項之和1+2+3+4+5+6+7+8+9+n=n(n+1)/2; 1+3+5+7+9+11+13+15+ 刊所？；999

3、9999992+4+6+8+10+12+14+ +(2n)=n(n+1) 1;+2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +- +n =n(n+1)(2n+1)/6 ;13+23+3 3+43+53+6 3+ - n 3=n 2(n+1 )2/4 ; 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+n(n+1 尸n(n+1)(n+2)/3 ;6 . 一元二次方程對于方程：ax + bx+ c=0:求根公式是乂= b 舊 4ac ,其中= b?做根的判別式。2a當>()時，方程有兩個不相等的實數根；當4=0時，方程有兩個相等的實數根；當<0時，方程沒有實數根.注意：當能0時，方程有實數

4、根。若方程有兩個實數根Xi和X2,則二次三項式aV+bx+c可分解為a(x x0(x x?)。以a和b為根的一元二次方程是x2 (a+ b)x + ab= 0。7 . 一次函數一次函數v= kx+ b(k w 0)的圖象是一條直線(b是直線與y軸的交點的縱坐標，稱為截距)。當k>0時，y隨x的增大而增大(直線從左向右上升)；當k<0時，y隨x的增大而減小(直線從左向右下降)；特別地：當b = 0時，y= kx(kw0)又叫做正比例函數(y與x成正比例)，圖象必過原點。8 .反比例函數反比例函數y=p|(kw 0)的圖象叫做雙曲線。當k>0時，雙曲線在一、三象限(在每一象限內，

5、從左向右降)；當k<0時，雙曲線在二、四象限(在每一象限內，從左向右上升)。9 . 二次函數(1) .定義：一般地，如果y ax2 bx c(a,b,c是常數，a 0),那么y叫做x的二次函數。(2) .拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點。a的符號決定拋物線的開口方向：當 a 0時，開口向上；當a 0時，開口向下；a|相等，拋物線的開口大小、形狀相同。平行于y軸(或重合)的直線記作x h.特別地，y軸記作直線x 0(3).幾種特殊的二次函數的圖像特征如下：函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標2y ax當a 0時x 0 ( y 軸)(0,0)2y ax k開口向上x 0 ( y 軸)(0.

6、 k),2 y ax h當a 0時x h(h,0),2.y a x h k開口問卜x h(h,k) 2 . 八 y ax bx cb x2ab 4ac b2(c ,/)2a 4a（4）.求拋物線的頂點、對稱軸的方法公式法： y ax2 bx c ax4ac,頂點是（ ,4ac, 對稱軸是2a 4a2a 4a直線x o 2a配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為y ax h2 k的形式，得到頂點為（h,k）,對稱軸是直線x h0運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸與拋物線的交點是頂點。若已知拋物線上兩點（xi,y）、（x2,y）（及y值相同），則對稱軸方程可以表

7、示為：x 風2222（5）拋物線y ax bx c中，a，b，c的作用a決定開口方向及開口大小，這與 y ax2中的a完全一樣。b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y ax2 bx c的對稱軸是直線。x 旦，故：b 0時，對稱軸為y軸；2 0 （即a、b同號）時，對稱軸在y軸2aa左側；b 0 （即a、b異號）時，對稱軸在y軸右側。 ac的大小決定拋物線y ax2 bx c與y軸交點的位置。當x 0時，y c, 拋物線y ax2 bx c與y軸有且只有一個交點（0, c）:c 0,拋物線經過原點；c 0,與y軸交于正半軸；c 0,與y軸交于負半軸.以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立

8、.如拋物線的對稱軸在y軸右側，則b 0。 a（6）用待定系數法求二次函數的解析式一般式：y ax2 bx c.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.頂點式：y ax h 2 k.已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式。交點式：已知圖像與x軸的交點坐標x1、x2,通常選用交點式：y a x x x x2。（7） .直線與拋物線的交點y軸與拋物線y ax2 bx c得交點為（0, c）。拋物線與x軸的交點。二次函數y ax2 bx c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標為、x2 ,是對應一元二次方程ax2 bx c 0的兩個實數根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別 式判

9、定:a有兩個交點（0） 拋物線與x軸相交；b有一個交點（頂點在x軸上）（0） 拋物線與x軸相切；c沒有交點 （0） 拋物線與x軸相離。平行于x軸的直線與拋物線的交點同一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等， 設縱坐標為k ,則橫坐標是ax2 bx c k的兩個實數根。一次函數y kx nk 0的圖像l與二次函數y ax2 bx c a 0的圖像G的交點，由y kx n方機組 y 2的解的數目來確定：y ax bx ca方程組有兩組不同的解時l與G有兩個交點；b方程組只有一組解時l與G只有一個交點；c方程組無解時l與G沒有交點。拋物線與x軸兩交點之間的距離：若

10、拋物線y ax2 bx c與x軸兩交點為 A x1,0 , B x2,0 ,則 AB |x1 x210. 統計初步（1）概念：所要考察的對象的全體叫做 總體，其中每一個考察對象叫做 個體.從總體中抽取的一部份個體叫做總體的一個 樣本，樣本中個體的數目叫做 樣本容量.在一組數據中，出現 次數最多的數（有時不止一個），叫做這組數據的眾數.將一組數據按大小順序排列，把處在 最中間的一個數（或兩個數的平均數）叫做這組數據的中位數.（2）公式：設有n個數x1，x2,，xn,那么：平均數為：x = x1 + x2 + xn ; n極差：用一組數據的最大值減去最小值所得的差來反映這組數據的變化范圍，用這種方

11、法得到的差稱為極差，即：極差 二最大值-最小值;方差：數據x1、x2xn的方差為S2 ,至 一222(x1 - x ) + (x2 - x ) + .+ (xn - x )標準差：方差的算術平方根。數據Xi、X2Xn的標準差S則 S= JHX1- X)2 + (- - I), .+ (xn- X)2一組數據的方差越大，這組數據的波動越大，越不穩定。11. 頻率與概率(1)頻率頻率二 & 各小組的頻數之和等于總數，各小組的頻率之和等于1,頻率分布直方圖中各總數個小長方形的面積為各組頻率。(2)概率如果用P表示一個事件A發生的概率，則0&P (A) < 1;P (必然事件)=

12、1;P (不可能事件)=0;在具體情境中了解概率的意義，運用列舉法(包括列表、畫樹狀圖)計算簡單事件發生的 概率。大量的重復實驗時頻率可視為事件發生概率的估計值；12. 銳角三角形設/ A是 ABC勺任一銳角，則/ A的正弦：sinA=/船豆，/A的余弦：c。® 個魯, /A的正切：tanA=英器/ .并且sin2A + cos2A= 1。0<sinA< 1, 0<cosA< 1, tanA>0. /A越大，/ A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。余角公式：sin(90。A戶 cosA, cos(90o A= sinA。特殊角的三角函數值：sin30o

13、 = cos60。，=sin45o = cos45。尹 sin60o = cos30。尸tan30o 苗,tan45o 與 tan60o 占 0斜坡的坡度：i=秘，=1.設坡角為a,則12門ccf水平寬度'L13.正(余)弦定理(1)正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ；注：其中 R表示三角形的外接圓半徑。正弦定理的變形公式：(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC ; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c(2)余弦定理b2=a2+c2-2accosB a2=b2+c2-2bccosA c2=a2+b2-2a

14、bcos(C注：/ C所對的邊為c, / B所對的邊為b, / A所對的邊為a14 .三角函數公式(1)兩角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)(2)

15、倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a(3)半角公式$訪/出=v/-c0sA)/2) sin(A/2)=- V (tcosA)/2)8$/出= V (1+cosA) cos(A/2-H (1+cosA)tan(A/2)=，40sA)/(1+cosA) tan(A/2)=- V (tcosA)/(1+cosA)ctg(A/2)=V (1+cosA)/(C0sA) ctg(A/2)=- V (1+cosA)/(1 -cosA)(4)和差化積sinA+sinB=2sin(A+

16、B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB(5)積化和差2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)15 .平面直角坐標系中的有關知識(1)對稱性：

17、若直角坐標系內一點P (a, b),則P關于x軸對稱的點為Pi (a, -b), P關于y軸對稱的點為P2 (a, b),關于原點對稱的點為P3 (a, b)。(2)坐標平移：若直角坐標系內一點P (a, b)向左平移h個單位，坐標變為P (a h, b), 向右平移h個單位，坐標變為P (a+ h, b);向上平移h個單位，坐標變為P (a, b+h),向下 平移h個單位，坐標變為P (a, b-h).如：點A (2, -1)向上平移2個單位，再向右平移5 個單位，則坐標變為A (7, 1)。16 .多邊形內角和公式多邊形內角和公式：n邊形的內角和等于(n2)180。n3, n是正整數)，外

18、角和等于 360o17 .平行線段成比例定理(1)平行線分線段成比例定理： 三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。如圖：a/ b/c,直線I1與I2分別與直線a、b、c相交與點A、B、C和D、E、F,AB DE AB DE BC EF則有,。BC EF AC DF AC DF(2)推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例。整理范本如圖：ZXABC中DE / BC,DE 與 AB、AC相交與點D、E ,則有：DE DBBC , ABECACAD AE AD AEDB EC , AB AC18.直角三角形中的射影定理直角三角形中的射影定理:如圖：RtzA

19、BC 中，/ACB = 90。則有：(1) CD2 AD BD(2) AC2 AD AB (3) BC2 BD ABCCD LAB.19.圓的有關性質(1)垂徑定理：如果一條直線具備以下五個性質中的任意兩個性質：經過圓心；等 平分弦；平分弦所對的劣弧；平分弦所對的優弧，那么這條直線就具有另外三 質.注：具備，時，弦不能是直徑。(2)兩條平行弦所夾的弧相等。(3)圓心角的度數等于它所對的弧的度數。(4) 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。(5)圓周角等于它所對的弧的度數的一半。(6)同弧或等弧所對的圓周角相等。(7)在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的 弧相等。(8) 90o的圓周角所對的弦是直徑，反之，直徑所對的圓周角是90o,直徑是強(9)圓內接四邊形的對角互補。20.三角形的內心與外心(1)三角形的內切圓的圓心叫做三角形的 內心.三角形的內心就是三內角角平分線在(2)三角形的外接圓的圓心叫做三角形的 外心.三角形的外心就是三邊中垂線的交K 常見結論：Rt ABC勺三條邊分別為：& b、