1、-可編輯修改-因式分解的多種方法-知識延伸,向競賽過度1 .提取公因式：這種方法比較常規、簡單，必須掌握。常用的公式：完全平方公式、平方差公式例一：2x2-3x=0 解：x(2x-3)=0, x1=0,x2=3/2這是一類利用因式分解的方程。總結：要發現一個規律：當一個方程有一個解x=a時，該式分解后必有一個(x-a)因式，這對我們后面的學習有幫助。2 .公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式。注意：使用公式法前，部分題目先提取公因式。例二：x2-4分解因式分析：此題較為簡單，可以看出 4=2 2,適用平方差公式 a 2 -b 2 =(a+b)(a-b)2解：原式=(x+2)(x-2)3

2、.十字相乘法是做 競賽題 的基本方法，做平時的題目掌握了這個也會很輕松。注意：它不難。這種方法的關鍵是把二次項系數a分解成兩個因數a1,a2的積a1?a2,把常數項c分解成兩個因數c1,c2的積c1?c2,并使a1c2+a2c1正好是一次項 b,那么可以直接寫成結果例三：把2x2 -7x +3分解因式分析：先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數項，分別寫在十字交叉線的 右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數和，使其等于一次項系數分解二次項系數(只取正因數):2= 1 X2= 2X1；分解常數項：3=1 X3=3X1=(-3) X-1)=(-1) N-3).用畫十字交叉線

3、方法表示下列四種情況:1 1X2 33+2x1 =51 3X2 11x1+2x3 =71 -1X2 -31x(-3)+2x(-1) =-51 -3X2 -11x(-1)+2x(-3) T經過觀察，第四種情況是正確的，這是因為交叉相乘后，兩項代數和恰等于一次項系數-7.解原式二(x-3)(2x-1).總結：對于二次三項式axA2+bx+c(a刈)，如果二次項系數a可以分解成兩個因數之積，即 a=a1a2,常數項 c 可以分解成兩個因數之積，即 c=c1c2 ,把a1, a2, c1, c2,排列如下:a1 c1Xa2 c2a1c2+a2c1按斜線交叉相乘，再相加，得到 a1c2+a2c1 ,若它

4、正好等于二次三項式ax2+bx+c的一次項系數 b,即a1c2+a2c1=b ,那么二次三項式就可以分解為兩個因式a1x+c1與a2x+c2之積，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).這種方法要多實驗，多做，多練。它可以包括前兩者方法。4 .分組分解法也是比較常規的方法。一般是把式子里的各個部分分開分解，再合起來，需要可持續性！例四：x2 4x 4 - y2可以看出，前面三項可以組成平方，結合后面的負平方，可以用平方差公式解：原式=(x+2 ) A2-yA2=(x+2+y)(x+2-y)總結：分組分解法需要前面的方法作基礎，可見前面方法的重要性。5 .換元法整體代入，免去繁瑣的

5、麻煩，亦是建立的之前的基礎上例五：(x + y)2 -2(x + y) +1分解因式考慮到x+y是以整體出現，展開是十分繁瑣的，用a代替x+y那么原式=aA2-2a+1 =(a-1)A2 ,回代原式=(x+y-1 )人26 . 主元法這種方法要難一些，多練即可。即把一個字母作為主要的未知數，另一個作為常數例六：因式分解 16y 2x2(y-1)2 8x2y x4(y-1)2分析：本題尚且屬于簡單例用，只是稍加難度，以y為主元會使原式極其煩瑣，而以 x為主元的話，原式的難度就大大降低了。原式=x4(y -1)2 +2x2( y -1)2 +8x2y +16y主元法x2(y-1)2 8yx228x

6、2y 2x2(y-1)2二(xA2yA2-2xA2y+xA2+8y)(xA2+2) 【十字相乘法】可見，十字相乘十分重要。7 .雙十字相乘法難度較之前的方法要提升許多。是用來分解形如ax2 +bxy +cy2 +dx +ey+f的二次六項式在草稿紙上，a =mn, c = pq, f = jk如果mq + np=b, pk+qj=e, mk+nj=d,即第1,2列和第2,3列都滿足十字相乘規則。則原式=（ mx+py+j） （ nx+qy+k）要訣：把缺少的一項當作系數為0, 0乘任何數得 0,2例七：ab+b + ab2分解因式解：原式= oxi >A2+ ab+ bA2 + a- b

7、-2=(0Xa+ b+ 1) ( a+ b 2)=(b+ 1) ( a+b-2)8 .待定系數法將式子看成方程，將方程的解代入，這時就要用到“1”中提到的知識點了當一個方程有一個解 x=a時，該式分解后必有一個（x-a）因式2.例八：x x -2該題可以用十字相乘來做，這里介紹一種待定系數法我們可以把它當方程做，xA2+x-2=0一眼看出，該方程有一根為 x=1 ,那么必有一因式為（x-1）結合多項式展開原理，另一因式的常數必為2 （因為乘-1要為-2）一次項系數必為1 （因為與1相乘要為1）,所以另一因式為（x+2）,分解為（x-1）（x+2）9. 列豎式讓人拍案叫絕的方法。原理和小學的除法

8、差不多。要建立在待定系數法的方程法上，不足的項要用0補除的時候，一定要讓第一項抵消例九：3x3 +5x2 2分解因式提示：x=-1可以使該式=0,有因式（x+1 ）224m +8mn+ 3n4n +4n 15x +2x-83x2+2x-2X+l13父 3+5-2-2/ 3x3+3x2E2-2Zf 2x-2x2-2x-2O'那么該式分解為(x+1 ) (3xA2+2x-2)因式分解有9種方法，這么多？其實是不止的，還有很多很多。不過了解這些，初中的因式分解是不會有問題了。考慮到每種方法只有一個例題，下面提供一些題目，供大家練習。(ab b)2 -(a b)2(a2-x2)2-4ax(x-a)2-3, 2- 2, 222 33a b c -6a b c +9ab cxy+62x 3y22(3a -b) -4(3a -b)(a +3b) +4(a +3b)(x+2)(x3)+(x+2)(x+4)2.2.212x -29x+ 15x(y+2)-x-y- 14x +4xy+y -4x -2y-32x4 13x3 20x2 11x 22x2 -7xy-22y2 -5x 35y