1、圓錐曲線常用結論(自己選擇)、橢 圓1 . 點P處的切線 PT平分 PFF2在點P處的外角.2 .PT平分 PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線 PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3 .以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離.4 .以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.225.若Po(Xo,yo)在橢圓 勺+4=1上，則過Po的橢圓的切線方程是 x2x+生y=1.a ba b22x y6.右Po(Xo,yo)在橢圓 f+，=1外，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2,則切點a b弦PR的直線方程是萼十邛=1.a2b222x y7.橢圓 +2r=1

2、 (a > b > 0)的左右焦點分別為F, F2,點P為橢圓上任意一點a byNF1PF2 =¥ ,則橢圓的焦點角形的面積為S缶pf2 =b2 tan -.22x y8 . 橢圓 一+%=1 (a>b>0)的焦半徑公式：a b|MF1 |=a e%, |MF2|=a-e%( F1(-c,0) , F2(c,0) M'y。).9 .設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別交相應于焦點 F的橢圓準線于 M N兩點，則MFL NF.10 .過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A、A2為橢圓長軸上的頂點

3、，A1P和A2Q交于點M, A2P和AQ交于點 N則MF!NF.11.AB是橢圓22a2b2二1的不平行于對稱軸的弦，M(x0,yO)為AB的中點，則kOM kABb2即Kab2 ， a b%2a V0一 x yQ + =1內，則被Po所平分的中點弦的萬程是 a b2x°xy°y _ Xoy°12.若Po(X0, y°)在橢21 2-2. 2 .a b a b2213.若Po(Xo, y0)在橢圓 x' + ' =1內，則過Po的弦中點的軌跡方程是 a b2 xa1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.2y x°x

4、y°y-2 = -2-2b a b二、雙曲線點P處的切線 PT平分 PF1F2在點P處的內角.PT平分 PFF2在點P處的內角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為 直徑的圓，除去長軸的兩個端點.以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交.以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.(內切：P在右支；外切:P在左支)22什一x y .,右Po(xo,yo)在雙曲線 不一，=1 (a>0,b>0)上，則過Po的雙曲線的切線方程 a b是曾一金=1.a b22x y .八 右Po(xo,yo)在雙曲線 不一%=1 (a>0,b>0)外，則過Po作雙曲線

5、的兩條切 a b線切點為P1、B,則切點弦P1P2的直線方程是 繆絲y=1.a2b222x y雙曲線 _,=1(a>0,b>o)的左右焦點分別為 F1, F2,點P為雙曲線上任意a by一點ZF1PF2 =" 則雙曲線的焦點角形的面積為S占1Pf2 =b2cota .22x y雙曲線二=1 (a>0,b >。)的焦半徑公式：(F1(c,0) , F2(c,0) a b當 M (xo,yo)在右支上時，|MF1 尸exo+a , | MF2 |= exo a .當 M (xo, yo)在左支上時，|MF1尸 xo + a, IMF2 尸一ex -a設過雙曲線焦點

6、F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點,連結AP和AQ分別交相應于焦點 F的雙曲線準線于 M N兩點，則MFL NF.過雙曲線一個焦點 F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A、A2為雙曲線實軸上的頂點,AP和A2Q交于點 M A2P和A1Q交于點 N,則 MFL NF.x2 y2AB是雙曲線 一2一一2=1 (a>o,b >。)的不平仃于對稱軸的弦，M(xo,yo)為ABa b22的中點，則Kom Kab =一產，即Kab =一產。a yoa yo22若Po(xo,yo)在雙曲線 告4=1 (a>o,b>o)內，則被 P。所平分的中點弦的 a b22方

7、程是2_皿=迎一正2.221 2 .a b a b2213.1.2.x y 右Po(xo,yo)在雙曲線(a>0,b>0)內，則過 Po的弦中點的軌跡萬a b22程旱 x y _ XoXy0y,王7H 2 一 2 一 -2- - , 2 .a b a b橢圓與雙曲線的對偶性質-(會推導的經典結論)橢 圓x2y2橢圓-2+4=1 (a>b>o)的兩個頂點為 A(a,0), A2(a,0),與y軸平行的直 a b22線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是 與4=1.a bx2y2過橢圓-2+4 = 1 (a >0,b >0)上任一點A(xo,y

8、。)任意作兩條傾斜角互補的直 a bb2x線交橢圓于B,C兩點，則直線 BC有定向且kBC=T" (常數).a Vo2 23 .若P為橢圓 與+4=1 (a>b>0)上異于長軸端點的任一點，Fi,F 2是焦點，a b , a-c:工l：, ZPF1F2, NPFzRnP,則=tancot.a c2222x y 4.設橢圓一2+3=1 (a>b>0)的兩個焦點為 F、F2,P (異于長軸端點)為橢圓上a2 b2任意一點，在 PF1F2 中，記 /FPF2 =口，/PFF2 =P , /F,F2P =尸，則有sin :c：=e.sin，- sina22x y5.右

9、橢圓 二+2=1 (a>b>0)的左、右焦點分別為 F、F2,左準線為L,則當0 a b<e< J2-1時，可在橢圓上求一點P,使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.226. P為橢圓32+4=1 (a>b>0)上任一點，F1,F2為二焦點，A為橢圓內一定點，a b則2a | AF2 APA|+| PF1 |«2a+| AF1 |,當且僅當A,F2,P三點共線時,等號成立.227.橢圓(x ：0)+(y -y0)=1與直線 Ax + By + C =0有公共點的充要條件是 a2b22 22 22A a B b - (Ax0 By0 C)

10、.8.已知橢圓=1 (a>b> 0),0為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且OP_LOQ.(1)a12|0P|的最小值是1- 2|0Q|a2b211224a2b2= f+t；(2)|0P| +|0Q| 的最大值為2； (3) S及PQ a ba b9.2過橢圓與a2,2 -a b2y工2=1 (a>b>0)的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦bMNM勺垂直平分線交x軸于 p,貝u| PF | =£ | MN | 210.22已知橢圓與4a2b2=1( a >b>0) ,A、B、是橢圓上的兩點， 線段AB的垂直平分線與x軸相交于點2.2a -

11、 b P(%,0),則a2.2a - b:二 x。：二11.22設P點是橢圓、+*=1 ( a >b>0)上異于長軸端點的任一點，F1、F2為其焦點a2b22b2-2記/F1PF2 =0 ,則(1)|PF1|PF2| =.(2)S.PF1F2 =b2tan.1 cos212.x2y2 一 一 .設A、B是橢圓-2+22=1( a >b>0)的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，a b/PAB =m , ZPBA = P , /BPA =¥ , c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有 22, 2，八,2ab | cos 1 |.2 c 2a b ,(1) | PA |

12、- -222 . tan tan - -1 - e .(3) S pab - -22 cota -c cosb - a13.22x y_已知橢圓二+ ' =1( a >b>0)的右準線l與x軸相交于點E ,過橢圓右焦點Fa b的直線與橢圓相交于 A B兩點，點C在右準線l上，且BC_Lx軸，則直線 AC經過線段EF的中點.14.過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直15.過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點,則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16.橢圓焦三角形中，內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑

13、之比為常數e(離心率).(注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點.)17.18.橢圓焦三角形中，內心將內點與非焦頂點連線段分成定比e.橢圓焦三角形中，半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項雙曲線22x y1.雙曲線-22=1 (a>0,b>0)的兩個頂點為 Ai(-a,0) , A2(a,0),與 y 軸 a b22平行的直線交雙曲線于P1、P2時A P1與A2P2交點的軌跡方程是 工十2 =1.a2b222x y2.過雙曲線 4=1 (a>0,b >o)上任一點 A(xo, yo)任意作兩條傾斜角互 a b補的直線交雙曲線于B,C兩點

14、，則直線BC有定向且kBC = (常數).a yo223.x y右P為雙曲線 =1 (a>0,b >0)右(或左)支上除頂點外的任一點，F1,a bc-a%PF 2 是焦點，/PF1F2=c(, 2PF2F1 = P,則= tacoA (或c a22c -a工=tanco t-).c a 224.22設雙曲線勺=1a2 b2(a>0,b >0)的兩個焦點為Fi、F2,P (異于長軸端點)為雙曲線上任意一點，在 PF1F2中記 F1PF2 =:/PF1F2 = P, /FiF2P=¥,則有sin ;-(sin -sin :)c一 = e.a22x y5.右雙曲線

15、 下/2=1 (a>0,b>0)的左、右焦點分別為F、F2,左準線為L,a b則當1vew J2+1時，可在雙曲線上求一點P,使得PFi是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.22x y6. P為雙曲線 2- =1 (a>0,b >0)上任一點，F1,F2為二焦點，A為雙曲線a b內一定點，則|AF2|-2aM|PA|+|PF1，當且僅當 A,F2,P三點共線且 P和A, F2在y軸同側時，等號成立.x y7.雙曲線 下3=1 (a>0,b>0)與直線Ax+ By+C = 0有公共點的充要條 a2 b2件是 A2a2 -B2b2 <C2.22x y8.

16、已知雙曲線 一，=1 (b>a >0),O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點， a b.2. 222 ;(3)Smpqb -a且 OP _ OQ .111122 .(1) r +=；(2) |OP| +|OQ| 的取小值為|OP|2 |OQ |2 a2 b22b2 的最小值是-2-b-b - a29.過雙曲線勺a2y22=1 (a>0,b >0)的右焦點 b2F作直線交該雙曲線的右支于10.11.M,N兩點，弦MN勺垂直平分線交 x軸于P,則|PF| 二£ | MN | 222x y已知雙曲線 2r =1 (a>0,b>0) ,A、B是雙曲線上的兩

17、點,a b垂直平分線與22a bx軸相父于點 P(x0 ,0),則x03或x0 Ea線段 AB的x2y2.一 設P點是雙曲線 =1 (a>0,b >0)上異于實軸端點的任一點卜、F2a2b2為其焦點記/F1PF2 =82b2一則 |PF1|PF21=E .C，2，S.PFiF2 - b c0t 2.2212.x y設A、B是雙曲線 二%=1 (a>0,b>0)的長軸兩端點，P是雙曲線上的 a b一點，/PAB=o(, NPBA = P ,NBPA = ¥, c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1) |PA| =一 2,2ab |cos- |222.|a -

18、c cos |c 2, 22a b ,22 cotb2 a2(2) tan - tan : =1-e2.(3)S PAB13.22xy已知雙曲線 一2'一-2" =1 (a>0,b >0)ab的右準線l與x軸相交于點E ,過雙曲線右焦點F的直線與雙曲線相交于A、B兩點，點C在右準線l上，且BC _L x軸，則直線 AC經過線段EF的中點.14.過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線,與以長軸為直徑的圓相交， 則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直15 .過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16 .雙曲線焦三角形中，

19、外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常 數e（離心率）.（注：在雙曲線焦三角形中，非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外 點）.17 .雙曲線焦三角形中，其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.18 .雙曲線焦三角形中，半焦距必為內、外點到雙曲線中心的比例中項其他常用公式：1、連結圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數關系來計算弦長，常用的弦長公式：|ab =，1 +k2N x2 =J+，2|y1 y22、直線的一般式方程：任何直線均可寫成出+ ® + C = O（a,b不同日寸為0）的形式。3、知直線橫截距 飛,常設其方程為1二期十 % （它不適用于斜率為0的直線）與直線上山+班+。=0垂直的直線可表示為 取一切+ 。4、兩平行線*出+郎+，1 =。12：出