1、橢圓一知識清單1. 橢圓的兩種定義：平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2 的距離的和等于定長2a 2aF1 F2 的動點P 的軌跡，即點集M=P|PF|+|PF |=2a ， 2a |FF | ；（ 2aF1 F2時為線段 F1F2 ， 2aF1F2 無軌跡）。其中兩定1212點 F1， F2 叫焦點，定點間的距離叫焦距。平面內(nèi)一動點到一個定點和一定直線的距離的比是小于1 的正常數(shù)的點的軌跡，即點集M=P|PFe， 0 e 1 的常數(shù)。（ e1為拋物線； e1為雙曲線）d（利用第二定義 , 可以實現(xiàn)橢圓上的動點到焦點的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化，定點為焦點，定直線為準(zhǔn)線） .2 標(biāo)準(zhǔn)方程：（ 1）焦點

2、在 x 軸上，中心在原點：x2y 21 （a b 0）；a2b 2焦點 F （ c， 0）， F（ c，0）。其中 ca2b2（一個 Rt 三角形）12（ 2）焦點在 y 軸上，中心在原點：y 2x 21（ ab 0）；a2b2焦點 F1（ 0， c）， F2（ 0， c）。其中 ca 2b 2注意： 在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有a b 0， ca 2b2 并且橢圓的焦點總在長軸上；兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A 0，B 0，A B），當(dāng) A B 時，橢圓的焦點在 x 軸上， A B 時焦點在 y 軸上。3 參數(shù)方程： 焦點在 x 軸，xa cos（為參數(shù)）yb sin4 一

3、般方程： Ax 2By 21( A0,B 0)5. 性質(zhì)： 對于焦點在 x 軸上，中心在原點：x2y21（ a b 0）有以下性質(zhì)：a2b2坐標(biāo)系下的性質(zhì)： 范圍： |x|a， |y|b； 對稱性： 對稱軸方程為x=0， y=0，對稱中心為O（0， 0）；頂點： A1（ -a ， 0）， A2（ a， 0）， B1（ 0， -b ），B2（ 0， b），長軸 |A 1A2|=2a ，短軸 |B 1B2|=2b ；（ a 半長軸長， b 半短軸長）； 橢圓的準(zhǔn)線方程：對于 x2y 21，左準(zhǔn)線 l 1 : xa 2；右準(zhǔn)線 l 2 : xa2a 2b 2cc對于 y 2x 21，下準(zhǔn)線 l1 :

4、 ya 2；上準(zhǔn)線 l 2 : ya 2a 2b 2cc1焦點到準(zhǔn)線的距離 pa2a 2c 2b 2cc（焦參數(shù)）cc橢圓的準(zhǔn)線方程有兩條，這兩條準(zhǔn)線在橢圓外部，與短軸平行，且關(guān)于短軸對稱 焦半徑公式： P（ x0，y0）為橢圓上任一點。 |PF 1|= r左 =a+ex0，|PF 2|= r右 =a-ex 0；|PF 1|= r下 =a+ey0，|PF 2|=r上 =a-ey 0PF maxac, PF minac ，左加右減，上減下加 通徑： 過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓通徑，通徑最短= 2b2 a平面幾何性質(zhì)： 離心率： e= cc21aa2 焦準(zhǔn)距 pb

5、2；準(zhǔn)線間距c 兩個最大角F1 PF2 max焦點在 y 軸上，中心在原點：6 焦點三角形 應(yīng)注意以下關(guān)系：(1) 定義： r 1r 22a2b（焦距與長軸長之比）0,1 ； e 越大越扁， e0 是圓。a2a2cF1 B2 F2 , A1PA2 maxA1B2 A2y 2x 2a 21（ a b 0）的性質(zhì)可類似的給出。b 2(2)余弦定理： r12 r22 2r 1r 2cos2 (2 c)(3)面積： SPF1F 21r rsin1·2 |y|=c|y|=b2tan2122002(其中P(x0 , y0) 為橢圓上一點， |PF112212| r ，|PF | r，F(xiàn)PF )7

6、. 共焦點的橢圓系設(shè)法：把橢圓 x2y21（a b 0）的共焦點橢圓設(shè)為x2y21(b2 )a2b 2a 2b28. 特別注意：橢圓方程中的a,b,c,e與坐標(biāo)系無關(guān), 而焦點坐標(biāo), 準(zhǔn)線方程 , 頂點坐標(biāo), 與坐標(biāo)系有關(guān) . 因此確定橢圓方程需要三個條件: 兩個定形條件a,b, 一個定位條件焦點坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程 .x1x2b12 y1 y2a （ a,b,c9. 弦長公式： AB1 k 2 x1 x211 k2為kacx1 x2a方程的系數(shù)考點 1橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程題型 1: 橢圓定義的運用 例 1 ( 湖北部分重點中學(xué)2009 屆高三聯(lián)考 ) 橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光2

7、線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A、 B是它的焦點，長軸長為2a，焦距為 2c，靜放在點 A 的小球（小球的半徑不計） ，從點 A 沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點A 時，小球經(jīng)過的路程是yA 4aB 2(a c)C 2(a+c)D以上答案均有可能P 解析 按小球的運行路徑分三種情況:CD(1)ACA, 此時小球經(jīng)過的路程為2(a c);OxABDBA, 此時小球經(jīng)過的路程為AB(2)2(a+c);(3)APBQA 此時小球經(jīng)過的路程為4a, 故選 DQ【名師指引】考慮小球的運行路徑要全面【新題導(dǎo)練】1. 短軸長為5 ，離心率e21212

8、的橢圓兩焦點為 F ， F ，過F 作直線交橢圓于 A、 B 兩點，則ABF3的周長為（）A.3B.6C.12D.24 解析 C.長半軸 a=3， ABF2 的周長為 4a=122. 已知 P 為橢圓 x2y21上的一點， M , N 分別為圓 ( x3)2y21和圓 ( x 3)2y24上的2516點，則 PMPN 的最小值為（）A 5B 7C 13D 15 解析 B.兩圓心 C、D 恰為橢圓的焦點，|PC|PD |10，PMPN 的最小值為 10-1-2=7題型 2 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 例 2 設(shè)橢圓的中心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸，一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點

9、距離為4 24，求此橢圓方程 .【解題思路】將題中所給條件用關(guān)于參數(shù)a,b,c 的式子“描述”出來 解析 設(shè)橢圓的方程為x2y21 或 x2y 21(ab 0) ，a2b2b2a 2bc則 a c4(21) ，a2b2c2解之得： a42， b=c 4. 則所求的橢圓的方程為x2y21或 x2y 21.32161632【名師指引】準(zhǔn)確把握圖形特征，正確轉(zhuǎn)化出參數(shù)a, b, c 的數(shù)量關(guān)系警示易漏焦點在y 軸上的情況【新題導(dǎo)練】3. 如果方程 x2+ky2=2 表示焦點在 y 軸的橢圓，那么實數(shù)k 的取值范圍是 _.3 解析 (0,1).橢圓方程化為x2+ y 2=1. 焦點在 y 軸上，則2

10、>2，即 k<1.22kk又 k>0， 0<k<1.4. 已知方程 x2 cosy2 sin1,(0, ) , 討論方程表示的曲線的形狀解析當(dāng)(0,) 時， sincos，方程表示焦點在 y 軸上的橢圓，4當(dāng)時， sincos，方程表示圓心在原點的圓，4當(dāng)(, ) 時， sincos，方程表示焦點在 x 軸上的橢圓4 25. 橢圓對稱軸在坐標(biāo)軸上， 短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成一個正三角形，焦點到橢圓上的點的最短距離是3，求這個橢圓方程 .ac3a232+ y222解析b 3 ，所求方程為 x=1 或 x+ y =1.，a2cc3129912考點 2 橢圓的幾何性

11、質(zhì)題型 1: 求橢圓的離心率（或范圍）例3在 ABC中，A300,|AB|2,SABC3 若以，B為焦點的橢圓經(jīng)過點C，則該A橢圓的離心率 e【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率解析S ABC1|AB| AC | sin A3 ，2|AC|2 3，|BC| AB|2| AC |2 2 | AB | | AC | cos A2e|AB|2312322|AC| |BC|【名師指引】 （ 1）離心率是刻畫橢圓“圓扁”程度的量，決定了橢圓的形狀；反之，形狀確定，離心率也隨之確定（ 2）只要列出 a、b、c 的齊次關(guān)系式，就能求出離心率（或范圍）（ 3）“焦點三角形”應(yīng)給予足夠關(guān)注【

12、新題導(dǎo)練】6. 如果一個橢圓的長軸長是短軸長的兩倍, 那么這個橢圓的離心率為A .5B .3C .2D .14222解析選B47. 已知 m,n,m+n 成等差數(shù)列，m， n， mn成等比數(shù)列，則橢圓x2y2m1的離心率為n2n2mnm222解析由n2m2 ny1的離心率為2n，橢圓 xmn04mn2題型 2: 橢圓的其他幾何性質(zhì)的運用（范圍、對稱性等）例4已知實數(shù) x, y 滿足 x2y21, 求 x2y2x 的最大值與最小值42【解題思路】把 x2y2x 看作 x 的函數(shù) 解析由 x2y 21得 y221 x2 ,42221 x202x22x2y2x1x2x21(x1)23, x2,222

13、2當(dāng) x1時 , x2y2x 取得最小值3 , 當(dāng) x2時 , x2y 2x 取得最大值 62【新題導(dǎo)練】9. 已知點 A, B 是橢圓 x2y21（m0，n0）上兩點 , 且AOBO, 則 =m2n2解析由 AOBO 知點 A,O,B 共線 ,因橢圓關(guān)于原點對稱,110. 如圖，把橢圓 x2y21 的長軸 AB 分成 8等份，過每個分點作x 軸的垂線交橢圓的上半部分于2516P1, P2 , P3 , P4 , P5 , P6 , P7 七個點， F 是橢圓的一個焦點則 PFP FP FP FP FP FP F_1234567解析由橢圓的對稱性知：P FP FP FP FP FP F2a35

14、 172635考點 3橢圓的最值問題例5橢圓 x2y 21上的點到直線 l: xy 9 0 的距離的最小值為 _169【解題思路】把動點到直線的距離表示為某個變量的函數(shù) 解析 在橢圓上任取一點P, 設(shè) P( 4cos,3sin).那么點 P 到直線 l 的距離為：| 4cos 3sin 12 |2 |5sin() 9 | 2 2.12122【名師指引】也可以直接設(shè)點P( x, y) ，用 x 表示 y 后，把動點到直線的距離表示為x 的函數(shù)，關(guān)鍵5是要具有“函數(shù)思想”【新題導(dǎo)練】11. 橢圓 x2y 21的內(nèi)接矩形的面積的最大值為169 解析 設(shè)內(nèi)接矩形的一個頂點為 ( 4cos ,3sin)

15、 ，矩形的面積 S 48sincos24 sin 22412. P 是橢圓 x2y21 上一點， F1 、 F2 是橢圓的兩個焦點，求| PF1 | | PF2 | 的最大值與最小值a2b2解析| PF1 | | PF2 | | PF1 | (2a | PF1 |)(| PF1 | a)2a2 ,| PF1 | a c, a c當(dāng)| PF1|a 時， | PF1 | | PF2 | 取得最大值 a2，當(dāng)| PF1|a c 時， | PF1 | PF2 |取得最小值 b22x213. 已知點 P 是橢圓y1 上的在第一象限內(nèi)的點，又A(2,0) 、 B(0,1) ，O 是原點，則四邊形OAPB

16、的面積的最大值是 _解析設(shè) P(2 cos, sin),(0,) ，則2SOAPBS OPAS OPB1 OA sin1 OB2cossincos222考點 4橢圓的綜合應(yīng)用題型：橢圓與向量、解三角形的交匯問題例 6已知橢圓 C 的中心為坐標(biāo)原點O , 一個長軸端點為0,1 , 短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，直線l與y軸交于點P 0mC交于相異兩點A B（ ， ），與橢圓、 ，且 AP 3PB（ 1）求橢圓方程；（ 2）求 m的取值范圍【解題思路】通過AP3PB ，溝通 A、B 兩點的坐標(biāo)關(guān)系，再利用判別式和根與系數(shù)關(guān)系得到一個關(guān)于 m的不等式 解析 （ 1）由題意可知橢圓C 為焦點在

17、 y 軸上的橢圓，可設(shè)y2x21 (a b 0)C :2b2a由條件知 a 1 且 b c ，又有 a2b2c2 ，解得a 1 , bc22故橢圓 C 的離心率為 ec2，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2x 21a212（ 2）設(shè) l 與橢圓 C交點為 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）6y kx m2x2 y2 1得（k22）x2 2（21） 0kmxm（ 2）2 4（k2 2）（21） 4（k2 222）>0 （* ）kmmm2 2kmm 1x1 x2 k2 2 ， x1x2k2 2x1 x2 2x2 AP 3 PB x1 3x2 2x1x2 3x222 2km2m 1消去 x2，得 3

18、（ x1 x2） 4x1x20， 3（ k2 2 ） 4k2 2 02222整理得 4k m 2m k 201212 2222mm 時，上式不成立；m 時， k 2，444m 1211因3 k0 k22 2m<2>0， 1<或< <14m 1m22 m22成立，所以（ * ）成立容易驗證 k>2m 21 1即所求 m的取值范圍為（ 1， 2）（ 2， 1）【名師指引】橢圓與向量、解三角形的交匯問題是高考熱點之一，應(yīng)充分重視向量的功能例 7橢圓 x2y21(ab 0) 上一點 P 向 x 軸引垂線 , 垂足恰為橢圓的左焦點F1 , A 為橢圓的右a2b2uuu

19、vuuuv0) .頂點， B 是橢圓的上頂點 , 且 ABOP(、求該橢圓的離心率 .、若該橢圓的準(zhǔn)線方程是x25 ，求橢圓方程 .uuuvuuuvABOP， PF1O BOA ,解析、 QABOP ，PF1FO1cPF1bcBOOAa，a又 P( c, y)c2PF11PF1b2a2b2a2 ， b c ,而 a2b2c2a22c2e2 .2、 Q x25 為準(zhǔn)線方程，a22 5a225c ,ca225ca210x2y2由 bc所求橢圓方程為21105a2b2c2b5【新題導(dǎo)練】714. 設(shè)過點 P x, y 的直線分別與x 軸的正半軸和y 軸的正半軸交于A 、 B 兩點，點 Q 與點 P

20、關(guān)于 y軸對稱， O 為坐標(biāo)原點，若 BP2PA，且 OQ AB1，則 P 點的軌跡方程是（）A.3 x 23 y21 x0, y0B.3 x 23y 21 x 0, y 022C. 3x2 3 y 21 x0, y 0D.3x23 y 21 x 0, y 022解析3,3y),OQ(, )323y21，選A.AB ( xx yx2215.如圖，在 Rt 中， CAB=90°， AB=2，AC= 2。一曲線 E 過點 ，動點P在曲線E上運動，ABC2C且保持 |+| 的值不變，直線l經(jīng)過 A 與曲線 E 交于 M、 N兩點。PAPB（ 1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E 的方程；（ 2）

21、設(shè)直線 l 的斜率為 k，若 MBN為鈍角，求 k 的取值范圍。解：（ 1）以 AB所在直線為 x 軸， AB的中點 O為原點建立直角坐標(biāo)系，則A（ 1， 0）， B（1， 0）由題設(shè)可得|PA| |PB| |CA| |CB|222( 2)22 3 22 22222動點 P 的軌跡方程為 x 2y 21(ab0) ，a 2b 2則a2,c1.a2c21b曲線 E 方程為 x 2y212（ 2）直線 MN的方程為 yk ( x1), 設(shè) M ( x1 , y1 ),設(shè) M ( x1 , y1 , ), N (x2 , y2 )由yk( x1)得(122)2422(21)0x22 y 220kxk

22、xk8k280方程有兩個不等的實數(shù)根x 14k 22 , x12(k 21)x2x222 2k1 2kBM ( x11, y1 ), BN ( x2 1, y2 )BM BN( x1 1)( x21)y1 y2 (x1 1)( x2 1) k 2 (x1 1)( x1 1)(1 k 2 ) x1 x2 ( k21)( x1x2 ) 1 k 28(1 k22(k 21)(k21)(4k 22 ) 1 k27k 21)2k212k12k21 MBN是鈍角BMBN0即 7k21012k 2解得：7k777又 M、 B、 N三點不共線k0綜上所述， k 的取值范圍是 (7 ,0)( 0,7 )77二典

23、型例題考點 1橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程題型 1: 橢圓定義的運用例 2.點 P為為橢圓x 2y21(ab0) 上一點， F 、F 是橢圓的兩個焦點，試求：1PF2 取a2b212得最值時的P 點坐標(biāo)。題型 2 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例 3. 設(shè)橢圓的中心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸，一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為 4 2 4，求此橢圓方程 .考點 2 橢圓的幾何性質(zhì)題型 1: 求橢圓的離心率（或范圍）例 4. 在 ABC 中，A300,| AB | 2, S ABC 3 若以 A， B 為焦點的橢圓經(jīng)過點C ，則該橢圓的離心率 e題型 2: 橢圓的其他幾何性質(zhì)的運用（范圍、

24、對稱性等）9x2y2例 5.已知實數(shù) x, y 滿足 41222, 求 xy x 的最大值與最小值考點 3 橢圓的最值問題題型 1:動點在橢圓上運動時涉及的距離、面積的最值x2y2例 6.橢圓 161xy 9 0的距離的最小值為 _9上的點到直線 l:題型 2.一、的最值若 A 為橢圓內(nèi)一定點（異于焦點） ， P 是 C 上的一個動點， F 是 C 的一個焦點， e 是 C 的離心率，求的最小值。例 7.已知橢圓內(nèi)有一點A（ 2，1）， F 是橢圓 C 的左焦點， P 為橢圓 C 上的動點，求的最小值。二、的最值若 A 為橢圓 C 內(nèi)一定點（異于焦點） ， P 為 C 上的一個動點，F(xiàn) 是 C

25、 的一個焦點，求的最值。例 8 已知橢圓內(nèi)有一點A（ 2，1），F(xiàn) 為橢圓的左焦點，P 是橢圓上動點， 求的最大值與最小值。10三、的最值若 A 為橢圓 C 外一定點，為 C 的一條準(zhǔn)線， P 為 C上的一個動點， P 到的距離為d，求的最小值。例 9.已知橢圓外一點 A（5， 6），為橢圓的左準(zhǔn)線，P 為橢圓上動點，點P 到的距離為 d，求的最小值。四、橢圓上定長動弦中點到準(zhǔn)線距離的最值例 10.定長為的線段 AB 的兩個端點分別在橢圓上移動，求AB 的中點 M到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離。考點 4 直線與橢圓相交問題題型 1 直線與橢圓相交求弦長(1) 常用分析一元二次方程解的情況，僅有還不夠，

26、且用數(shù)形結(jié)合的思想。(2)弦的中點，弦長等，利用根與系數(shù)的關(guān)系式，但>0 這一制約條件不同意。x1x2b212a （ a,b,cAB1 kx1x21y1y21 k為方程的系數(shù)）k2ax1 x2ca例 11. 已知直線 l 過橢圓 8x29y272 的一個焦點， 斜率為2， 與橢圓相交于M、N兩點，求弦MNl的長。11題型 2“點差法”解題。 “設(shè)而不求”的思想。當(dāng)涉及至平行法的中點軌跡，過定點弦的中點軌跡，過定點且被定點平分的弦所在直線方程，用“點差法”來求解。步驟： 1. 設(shè) A(x 1,y 1) B(x 2,y 2) 分別代入橢圓方程；2. 設(shè) p( x0 , y0 )y1y2b2

27、(x1x2 )b2 x0為 AB 的中點。兩式相減，x2a2 ( y1y2 )a 2 y0x13. 得出 ky1y2x1x2注：一般的，對橢圓x2y 21上弦 AB 及中點， M ，有 K AB K OMb2a2b 2a 2例 12. 已知橢圓 x2y 21 ， 求斜率為2 的平行弦的中點軌跡方程2考點五 . 軌跡問題這一問題難，但是解決法非常多，有如下幾種。1. 直接法：根據(jù)條件，建立坐標(biāo)系，設(shè)動點(x ， y) ，直接列出動點所應(yīng)滿足的方程。2. 代入法：一個是動點Q(x0,y 0) 在已知曲線 F(x,y)=0，上運動，而動點P(x,y)與 Q點滿足某種關(guān)系，要求P 點的軌跡。其關(guān)鍵是列

28、出P、 Q兩點的關(guān)系式x0f (x, y)yoy(x, y)3. 定義法：通過對軌跡點的分析，發(fā)現(xiàn)與某個圓錐曲線的定義相符，則通過這個定義求出方程。4. 參數(shù)法：在 x，y 間的方程 F(x,y)=0xf (t)難以直接求得時，往往用(t 為參數(shù) ) 來反映yy(t)x， y 之間的關(guān)系。常用的參數(shù)有斜率k 與角等。例 13： ABC 的一邊的的頂點是B(0,6) 和 C(0,-6)，另兩邊斜率的乘積是4，求頂點 A 的軌跡方9程：基礎(chǔ)訓(xùn)練A 組1橢圓 2x 23y 26 的焦距是（）A2B 2(32)C25D2(32)2 F1、F2 是定點， |F 1F2|=6 ，動點 M滿足 |MF1|+

29、|MF 2|=6 ，則點 M的軌跡是（）12A橢圓B直線C線段D圓3P 是橢圓 x 2y 21上一點， P 到右焦點 F2 的距離為1，則 P 到相應(yīng)左焦點的準(zhǔn)線距離為 （）4A3B2 3C3D2 36324若橢圓經(jīng)過原點，且焦點為F1（1， 0），F(xiàn)2（3， 0），則其離心率為（）A 3B 2C 1D 143244若橢圓的對稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到橢圓上點的最短是距離為3 ，這個橢圓方程為（）A x2y 21B x2y 21129912C x2y 2或 x2y 21D以上都不對12919126離心率 e1 ，一個焦點是F0, 3的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為_ .27與橢圓 4 x 2+ 9 y2=36有相同的焦點 , 且過點 ( 3， ) 的橢圓方程為 _ 8. 設(shè)雙曲線x2y21 （ a 0,b 0）的漸近線與拋物線2