1、矩陣對角化的研究文獻(xiàn)綜述文獻(xiàn)綜述矩陣對角化的研究一、前言部分（說明寫作的目的,介紹有關(guān)概念、綜述范圍,扼要說明有關(guān)主題爭論焦點(diǎn)）（一）寫作目的矩陣可對角化問題是矩陣?yán)碚撝械囊粋€基本問題.通過此次寫作希望能比較全面的認(rèn)識矩陣的對角化的基礎(chǔ)知識,深入理解其基本內(nèi)容,領(lǐng)會其思想方法,并掌握求矩陣的對角化的方法.通過求矩陣的對角化的多種解決方法來了解矩陣的對角化問題,并通過比較總結(jié)出一套比較簡單易行的方案.除此之外,還要在原有的基礎(chǔ)上,得到一些有意義的結(jié)果,爭取在某些方面有所創(chuàng)新.（二）有關(guān)概念首先,我們給出文中常用的符號如下1:i 表示實數(shù)域;ii 表示實數(shù)域上的階矩陣的集合;iii 表示階復(fù)矩陣的

2、集合;iv 表示實矩陣集合;v 表示階實矩陣的集合;vi 表示階的單位矩陣;vii 表示矩陣的行列式;viii 表示主對角線上為元素的對角矩陣;定義12:對角線以外的元都等于0,即當(dāng)時有的方陣稱為對角矩陣.記為.如:特別地,稱為單位矩陣,簡稱單位陣,記.定義23:若階矩陣與對角矩陣相似,則稱可對角化,也稱是單純矩陣.（三）綜述范圍若一個階矩陣相似于對角陣時,可以使許多問題的研究和計算簡化.求解矩陣對角化先得確定矩陣是否符合可對角化的條件,所以在文獻(xiàn)4-5具體介紹了矩陣可對角化的條件,根據(jù)這些條件求一般矩陣以及一些特殊矩陣的對角化,在文獻(xiàn)6-8中比較詳細(xì)的介紹了他們的定理及證明方法.通常,矩陣可

3、對角化問題與特征值密切相關(guān),除此之外我們還可以通過可逆矩陣求解矩陣的對角陣.通過求矩陣可對角化的多種解決方法來了解矩陣的對角化問題,并通過比較總結(jié)出一套比較簡單易行的方案9.本文結(jié)合矩陣的基本知識原理,對矩陣對角化的各種常用求法進(jìn)行梳理、歸納,并舉例進(jìn)行說明.（四）主要的問題矩陣相似于對角陣時,可以使許多問題的研究和計算簡化.如何用最簡便的方法解決不同矩陣（如對稱矩陣,冪等矩陣,對合矩陣）的對角化問題.二、主體部分（闡明有關(guān)主題的歷史背景、現(xiàn)狀和發(fā)展方向,以及對這些問題的評述）（一）歷史背景矩陣這個概念是從解線性方程組中產(chǎn)生的.我國現(xiàn)存的最古老的數(shù)學(xué)書九章算術(shù)（成書于公元1世紀(jì),作者不詳）中,

4、就有一個線性方程組的例子:為了使用加減消去法解方程,古人把系數(shù)排成如下圖所示的方形:古時稱這種矩形的數(shù)表為“方程”或“方陣”,其意思與矩陣相仿.在西方,矩陣這個詞是1850年由西爾維斯特（JamesJosephSylvester,1814-1897,英國人）提出的.用矩陣來稱呼由線性方程組的系數(shù)所排列起來的長方形表,與我國“方程”一詞的意思是一致.（二）現(xiàn)狀和發(fā)展方向矩陣可對角化作為矩陣?yán)碚撝械囊粋€重要組成部分,目前已經(jīng)有了豐富的研究成果,其中包括對實對稱矩陣的對角化、冪等矩陣的對角化、對合矩陣的對角化、四元數(shù)矩陣的對角化的研究.主要成果有:刁成海10把判斷矩陣是否可對角化與求它的特征向量聯(lián)系

5、起來,同時給出一個不用線性方程組即可求得可對角化矩陣特征向量的方法.王新民,孫霞,張景曉11給出了解決矩陣對角化問題的一個簡便方法,即對特征矩陣施行初等變換.應(yīng)用這個方法,可同時求出的特征根及特征向量,判斷是否可對角化,在可對角化時,可直接寫出相應(yīng)的可逆矩陣,使為對角形矩陣.付立志,楊慶璽12對于對稱矩陣對角化的正交變換模型進(jìn)行了可行性研究,給出了相關(guān)定理的證明,以及模型法的操作原則、步驟和應(yīng)用舉例,使對稱矩陣對角化的正交變換凸現(xiàn)了程序化簡捷化的特點(diǎn),從而回避了常規(guī)解法中求特征值要解高次方程,求特征向量要解線性方程組的繁瑣過程.夏銀紅,趙文菊13在給出了次轉(zhuǎn)置矩陣逆矩陣的性質(zhì)的基礎(chǔ)上,根據(jù)矩陣

6、對角化理論,給出并證明了次轉(zhuǎn)置矩陣可對角化的條件陳惠汝14討論兩個矩陣可同時合同對角化、同時相似對角化的充分或充要條件由此進(jìn)一步推出了多個矩陣同時對角化的條件,并給出兩個矩陣同時合同對角化和同時相似對角化的算法.姜同松,魏木生15通過引入友向量的方法,進(jìn)一步研究了四元數(shù)矩陣的對角化問題,構(gòu)造性地給出了四元數(shù)矩陣對角化的實用算法岳嶸16利用矩陣的對角化的方法,對兩類具有特殊性質(zhì)的數(shù)列的通項公式.丘維聲17給出了特征不等于2的域F上兩個It級對稱矩陣一齊合同對角化的充分必要條件;證明了秩為1的兩個2級對稱矩陣一定可以一齊合同對角化.金佑來18 指出特征值出現(xiàn)重根的情形下,需用Schmidt正交方法

7、求正交特征向量,計算較為繁難.他給出另一種解法,即利用向量內(nèi)積構(gòu)造齊次線性方程組,求出每個特征值對應(yīng)的特征向量,從而求出正交矩陣.張偉濤,劉寧,樓順天19針對避免奇異解的聯(lián)合對角化算法計算量大的問題,提出兩種改進(jìn)的高效算法.在第一種改進(jìn)算法中,將對角化矩陣行列武按當(dāng)前更新的列展開,從而避免了計算行列式過程中的矩陣求逆.另一種改進(jìn)算法將列交換后的對角化矩陣進(jìn)行QR分解，由分解得到的上三角矩陣計算對角化矩陣的行列式.由于兩種改進(jìn)算法減少了一次矩陣求逆,因此降低了原算法的計算量.仿真結(jié)果表明,當(dāng)目標(biāo)矩陣個數(shù)和維數(shù)較大時,兩種改進(jìn)算法的計算量分別為原算法的18.9%和13.5%.其中關(guān)于外文文獻(xiàn)的引用

8、參見文獻(xiàn)8和文獻(xiàn)19三研究內(nèi)容1. 矩陣是否可對角化,可按下列思路進(jìn)行:思路1:計算出的特征值,如果得所有特征值兩兩互異,則可對角化充分條件如果的特征方程有重根;在計算對應(yīng)每個特征值的特征向置,如果有個線性無關(guān)的特征向量,則可對角化充要條件.思路2:不計算矩陣的特征向量,只需計算的特征值兩兩互異,則可對角化.思路3:計算矩陣的特征值,不計算的特征向量,只需計算特征矩陣的秩,如果對于每個重特征值的特征矩陣的秩等于.即秩,則方陣可對角化,否則不可對角化.思路4:不計算矩陣的特征值和特征向量.只需證明存在可逆矩陣和對角矩陣使得,則與相似,即可對角化.對于矩陣分解一般采用思路1,思路2和思路3的方法.

9、2. 矩陣可對角化的幾個定理及引理歸納如下定理12階矩陣可對角化的充要條件是有個線性無關(guān)的特征向量;定理210階矩陣可對角化的充要條件是特征子空間維數(shù)之和為;定理310階矩陣可對角化的充要條件是的初等因子是一次的;定理410階矩陣可對角化的充要條件是的最小多項式無重根引理112可逆矩陣一定可化為一系列初等矩陣之積;引理213對稱矩陣一定可對角化;引理313設(shè)都是階矩陣,則定理513設(shè)是實數(shù)域上的?個階矩陣,的特征根全在內(nèi),若是的全部不同的特征根,其重數(shù)分別為,那么1 可對角化的充要條件是秩2 當(dāng)1式成立時.的列空問就是的屬于特征根的特征子空間.推論1:設(shè)為實數(shù)域上的階矩陣,的特征根全為內(nèi).且是

10、的全部不同的特征根其維數(shù)分別為,若秩,秩.,則可以對角化.且的列向量組的極大無關(guān)組恰是屬于的極大線性無關(guān)的特征向量組,的列向量組的極大無關(guān)組恰是屬于的極大無關(guān)的特征向量組.上述定理把判斷矩陣是否對角化的問題與求它的特征向量的同題聯(lián)系起來,給出了一個不用線性方程而求得可對角化矩陣的特征向量的方瑩.在矩陣的不同特征根較少時,這個方法較方便.定理6若是的全部不同的特征根.作多項式,則上可以對角化的充要條件是定理9若是的全部不同的特征根.如果,-則屬于的特征子空間就是的列向量空間.定理7若是的全部不同的特征根,如果對每個都有那么,.從上述幾個定理可以看出,矩陣可對角化的判定以及求矩陣的線性無關(guān)的特征向

11、量完全可以歸結(jié)為矩陣的乘法運(yùn)算.3. 下面我們就實對稱矩陣與等冪矩陣的對角化作寫簡要敘述就矩陣的對角化問題我們可通過正交矩陣實現(xiàn)。具體計算時可以分以下幾步進(jìn)行:1 計算矩陣的特征多項式,再求出它的所有根;2 對于每個特征值求出它的所有特征向量.具體做法是解齊次線性方程組,求出一個基礎(chǔ)解系,這就是特征子空間的基.再通過正交化方法從這個基出發(fā)構(gòu)造一個規(guī)范正交基;3把2中構(gòu)造的各個規(guī)范正交基合并,就得到的規(guī)范正交基.這是因為對應(yīng)的不同特征值的特征值的特征向量互相正交,而且特征子空間的維數(shù)之和等于空間的維數(shù).以這個規(guī)范正交基作為列向量構(gòu)成的矩陣就是所要求的正交矩陣.上述方法是可行,但在具體操作時,由于

12、要事先求出實對稱矩陣的全部特征值.操作上有如下困難:(1)特征方程:給出困難(2)特征方程求根困難(5次以上的代數(shù)方程沒有統(tǒng)一的求根公式).因此有必要尋求其他方法.在數(shù)值分析中,數(shù)學(xué)家Jacobi曾對此問題進(jìn)行研究,給出Jacobi迭代法,其基本思想是利用一系列的平面旋轉(zhuǎn)變換(正交相似變換),使變換產(chǎn)生的迭代矩陣序列收斂于對角陣.此類方法有可操作性,但平面旋轉(zhuǎn)變換對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度每一步都不同,需反復(fù)計算,計算公式復(fù)雜、計算量大,而且迭代法通常無法通過有限步計算得到所要求的變換矩陣和相應(yīng)的對角陣.本文就這些問題對稱矩陣對角化的正交變換模型進(jìn)行了可行性研究,給出了相關(guān)定理的證明,以及模型法的操作原則

13、、步驟和應(yīng)用舉例,使對稱矩陣對角化的正交變換凸現(xiàn)了程序化簡捷化的特點(diǎn),從而回避了常規(guī)解法中求特征值要解高次方程,求特征向量要解線性方程組的繁瑣過程.操作步驟如下:定義32如果矩陣滿足,則稱為對稱矩陣,顯然也為實對稱矩陣,于是有,為對稱矩陣,則總可以找到一個正交陣,使得其中為單位矩陣;為對角陣,且的主對角線上的元素全為的特征值;的列向量均為對應(yīng)特征值的單位特征向量.定理8若為對稱矩陣,則總可以經(jīng)一系列對稱的初等變換化為對角陣.定理9若為對稱矩陣,則總可以經(jīng)一系列可逆的初等變換化為對角陣由定理8可得對角化合同變換法模型:其中對稱變換即合同變換,即每對施行一次初等行變換,同時對列施行一次相同的初等列

14、變換,隨作同步列變換.由定理6可得對角化相似變換法模型:,其中可逆變換即相似變換,即每對施行一次初等行變換,同時對列施行一次可逆的初等列變換,隨作同步列變換.關(guān)于模型2,根據(jù)文獻(xiàn)3中的有關(guān)結(jié)論,可給出較為簡便的分步操作模型下面我僅對模型1進(jìn)行討論.定理10設(shè)為對稱矩陣.若經(jīng)一系列對稱的初等變換化為對角陣,且每次對稱變換的倍乘系數(shù)均不含,即為不含的初等矩陣之積,則的主對角線上的元素必為的全部特征值,必為正交陣.顯然,在模型中矩陣的使用,確保了變換陣的正交性,但也相應(yīng)地增加了變換的一些難度.因此我們有必要對上述模型進(jìn)行一些改進(jìn):1 變換程序首先將或從始所在行和列的其它元素化為0;再依次將,所在行和

15、列的其它元素化為O;3最后將主對角線元素的系數(shù)化為1.2 操作原則規(guī)范性原則,即在做倍加和倍乘變換時,所乘系數(shù)不得含有;有序性原則,即盡可能由右向左、由下至上按順序化簡,逐個在主對角線上析出;簡化性原則.即盡可能的施行整數(shù)化和有理化運(yùn)算;4靈活性原則.即根據(jù)具體隋況在化簡的方式方法和順序等方面,均可以采取靈活多樣應(yīng)變措施.如可根據(jù)相同元素的多少直接進(jìn)行兩行兩列相加減來增加0元素的個數(shù).矩陣可對角化在求矩陣的高次冪中有重要應(yīng)用定義43若階方陣滿足,則稱為冪等陣.例如,形如是冪等矩陣.定理113冪等矩陣一定可以對角化證明:設(shè),且,則從而是的零化多項式,而的最小多項式滿足故無重根,所以冪等陣可以對角

16、化.如果矩陣只有兩個不同的特征值,我們可以得到如下結(jié)論:定理12設(shè),是的兩個不同的特征值,則可以對角化存在冪等陣,使得.注:將也看作冪等矩陣（因為）,則此處可寫成兩個冪等陣的線性組合.下面我們討論滿足條件的情況,有如下結(jié)論:定理13假設(shè)有個互不相同的特征值,對某個,則有當(dāng)且僅當(dāng)同時對角化.引理4設(shè),且,則存在可逆陣,使可同時對角化4.矩陣可對角化的應(yīng)用在矩陣乘法運(yùn)算、矩陣方程、二次型化標(biāo)準(zhǔn)形、矩陣?yán)碚摗⒕€性變換等方面有著廣泛的應(yīng)用總結(jié)部分（將全文主題進(jìn)行扼要總結(jié),提出自己的見解并對進(jìn)一步的發(fā)展方向做出預(yù)測）矩陣的可對角化是矩陣的奇異值分解、特征值分解和CS分解的基礎(chǔ),而兩個矩陣的同時可對角化又

17、是矩陣束分解廣義特征值分解,廣義分解等的基礎(chǔ).我們討論和運(yùn)用的矩陣對角化多為一個矩陣的對角化:如文獻(xiàn)9及一般的高等代數(shù).矩陣可對角化問題與特征值也密切相關(guān),在矩陣乘法運(yùn)算、矩陣方程、矩陣?yán)碚摗⒍涡突瘶?biāo)準(zhǔn)形及線性變換等方面有著廣泛的應(yīng)用,在高等代數(shù)和線性代數(shù)中占有重要地位四、參考文獻(xiàn)（根據(jù)文中參閱和引用的先后次序按序編排）陳惠汝.代數(shù)逆特征值及矩陣同時對角化問題C.湖北大學(xué),2008,5.陳志杰.高等代數(shù)與解析幾何M.北京:高等教育出版社.2000,6史榮昌,魏豐.矩陣分析M.北京:理工大學(xué)出版社.2005戴平凡.關(guān)于矩陣可對角化的幾個條件J.常州工程學(xué)院學(xué)報.2010,21:35-38賀福利

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