1、精選優質文檔-傾情為你奉上 第一講：二次函數與一元二次方程的綜合考試要求中考第二輪復習 代數綜合題內容要求中考分值考察類型二次函數與一元二次方程綜合題會根據二次函數的解析式求其圖象與坐標軸的交點坐標，會確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸；會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解7二次函數與一元二次方程方法策略1. 熟練掌握二次函數的有關知識點2. 掌握二次函數與一元二次方程的聯系。例題精講27題圖【例1】（2015懷柔127）在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=（a-1）x2+2x+1與x軸有交點，a為正整數.（1）求a的值.（2）將二次函數y=（a-1）x2+2x+1的圖象向右平移m個單位

2、，向下平移m2+1個單位，當 -2x1時，二次函數有最小值-3，求實數m的值.27.解：（1）二次函數y=（a-1）x2+2x+1與x軸有交點，令y=0，則（a-1）x2+2x+1=0，解得a2. 1分. a為正整數. a=1、2又y=（a-1）x2+2x+1是二次函數，a-10，a1，a的值為2. 2分（2）a=2，二次函數表達式為y=x2+2x+1，將二次函數y=x2+2x+1化成頂點式y=（x+1）2二次函數圖象向右平移m個單位，向下平移m2+1個單位后的表達式為y=（x+1-m）2-（m2+1）.此時函數的頂點坐標為（m-1, -m2-1）. 4分當m-1-2，即m-1時， x=-2時

3、，二次函數有最小值-3，-3=（-1-m）2-（m2+1），解得且符合題目要求. 5分當 -2m-11,即-1m2,時，當 x= m-1時，二次函數有最小值-m2-1=-3，解得.不符合-1m2的條件，舍去.6分當m-11，即m2時，當 x=1時，二次函數有最小值-3，-3=（2-m）2-（m2+1），解得,不符合m2的條件舍去.綜上所述，m的值為或 7分【例2】（2015昌平123） 已知二次函數（1）二次函數的頂點在軸上，求的值；（2）若二次函數與軸的兩個交點A、B均為整數點（坐標為整數的點），當為整數時，求A、B兩點的坐標.23.解：（1）方法一二次函數頂點在軸上，且 1分即，且 3分（

4、2）二次函數與軸有兩個交點，且 分即，且 當且時，即可行、兩點均為整數點，且為整數5分當時，可使，均為整數，當時，、兩點坐標為和6分【例3】（2015門頭溝127）已知：關于x的一元二次方程x2+(m+1)x+(m+2)=0（m0）（1）求證：該方程有兩個不相等的實數根；（2）當拋物線y=x2+(m+1)x+(m+2)經過點（3，0），求該拋物線的表達式；（3）在（2）的條件下，記拋物線y=x2+(m+1)x+(m+2)在第一象限之間的部分為圖象G，如果直線y=k(x+1)+4與圖象G有公共點，請結合函數的圖象，求直線y=k(x+1)+4與y軸交點的縱坐標t的取值范圍（1）證明： = (m+1

5、)24×(1)×(m+2)=(m+3)2. 1分 m0， (m+3)20，即 0， 原方程有兩個不相等的實數根. 2分（2）解： 拋物線拋物線y=x2+(m+1)x+(m+2)經過點（3，0）， 32+3(m+1)+(m+2)=0，3分 m=1. y=x2+2x+3. 4分（3）解： y=x2+2x+3=(x1)2+4， 該拋物線的頂點為（1，4）. 當直線y=k(x+1)+4經過頂點（1，4）時， 4=k(1+1)+4， k=0， y=4. 此時直線y=k(x+1)+4與y軸交點的縱坐標為4. 5分 y=x2+2x+3， 當x=0時，y=3， 該拋物線與y軸的交點為（0，

6、3）. 此時直線y=k(x+1)+4與y軸交點的縱坐標為3. 6分 3t4. 7分【例4】（2014門頭溝123）已知關于x的一元二次方程.（1）求證：無論m取何實數時，原方程總有兩個實數根；（2）若原方程的兩個實數根一個大于3，另一個小于8，求m的取值范圍；（3）拋物線與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），現坐標系內有一矩形OCDE，如圖11，點C（0，-5)，D（6，-5) ，E（6，0),當m取第（2）問中符合題意的最小整數時，將此拋物線上下平移個單位，使平移后的拋物線與矩形OCDE有兩個交點，請結合圖形寫出h的取值或取值范圍（直接寫出答案即可）.解：(1)證明： =1分 = = 0，

7、 2分 無論m取何實數時，原方程總有兩個實數根. （2） 解關于x的一元二次方程，得 . 3分由題意得 4分解得 . 5分（3）或 . 7分 逆襲訓練1. （2015通州227）已知關于x的方程mx2(3m1)x+2m2=0（1）求證：無論m取任何實數時，方程恒有實數根（2）若關于x的二次函數y= mx2(3m1)x+2m2的圖象與x軸兩交點間的距離為2時，求二次函數的表達式.解：(1)=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1，=（m+1）2；=（m+1）20，.(1分)無論m取任何實數時，方程恒有實數根； (2)設x1，x2為拋物線y=mx2-（3m-1）x+2m-2與x軸交點的橫坐

8、標令y=0，則mx2-（3m-1）x+2m-2=0由求根公式得，x1=2， .(2分)拋物線y=mx2-（3m-1）x+2m-2不論m為任何不為0的實數時恒過定點（2，0）x2=0或x2=4，m=1或 )當m=1時，y=x2-2x，拋物線解析式為y=x2-2x當 時,答：拋物線解析式為y=x2-2x；或 .(3分)2. （2015朝陽227）已知：關于的一元二次方程（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；（2）設方程的兩個實數根分別為，（其中）若是關于的函數，且，求這個函數的表達式；（3）在（2）的條件下，結合函數的圖象回答：若使，則自變量的取值范圍為 （1）證明：是關于的一元二次方程，1分=4

9、即方程有兩個不相等的實數根2分（2） 解：由求根公式，得或3分，4分即為所求5分（3）07分3. （2015石景山227）已知關于的方程（1）求證：無論取任何實數時，方程恒有實數根；（2）若關于的二次函數的圖象經過坐標原點，得到拋物線將拋物線向下平移后經過點進而得到新的拋物線,直線經過點和點，求直線和拋物線的解析式；（3）在直線下方的拋物線上有一點，求點到直線的距離的最大值解：（1）當時，當時，綜上所述：無論取任何實數時，方程恒有實數根；3分（2）二次函數的圖象經過坐標原點4分B拋物線的解析式為：拋物線的解析式為：設直線所在函數解析式為：將和點代入直線所在函數解析式為：5分（3）據題意：過點作

10、軸交于，可證 ,則設，6分當時，隨增大而增大，為所求.7分4. （2015順義227）已知關于x的方程 （1）求證：方程總有兩個實數根；（2）求證：拋物線總過x軸上的一個定點；（3）在平面直角坐標系xOy中，若（2）中的“定點”記作A，拋物線與x軸的另一個交點為B，與y軸交于點C，且OBC的面積小于或等于8，求m的取值范圍 解：（1）=.1分=，方程總有兩個實數根.2分（2）=.3分，拋物線總過x軸上的一個定點（-1,0）.4分（3）拋物線與x軸的另一個交點為B，與y軸交于點C，B（3-m,0），C（0, m-3），.5分OBC為等腰直角三角形， OBC的面積小于或等于8， OB，OC小于或等

11、于4， 3-m 4或m-3 4， .6分m-1或m 7-1m7且.7分5.（2014朝陽123）已知關于x的一元二次方程 .（1）如果該方程有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍； （2）在（1）的條件下，當關于x的拋物線與x軸交點的橫坐標都是整數，且時，求m的整數值解：（1）由題意 m 0， 1分 方程有兩個不相等的實數根， >0 2分即 得 m3 3分 m的取值范圍為m0和m3； （2）設y=0，則 ， ， 5分當 是整數時，可得m=1或m=-1或m=3 6分 ， m的值為1或3 7分6.（2014東城223）已知：關于的一元二次方程（1）求證：無論取何值，此方程總有兩個實數根；（2）

12、設拋物線，證明：此函數圖像一定過軸，軸上的兩個定點（設軸上的定點為點A，軸上的定點為點C）；（3）設此函數的圖像與軸的另一交點為B，當ABC為銳角三角形時，求的取值范圍解：（1）無論m取何值，此方程總有兩個實數根.2分（2）由公式法：x1=1,x2=.4分此函數圖像一定過軸，軸上的兩個定點，分別為A（1，0）,C（0，3）4分（3）由（2）可知拋物線開口向上，且過點A（1，0）,C（0，3）和B（，0）.觀察圖象，當m0時，ABC為鈍角三角形，不符合題意.當m0時，可知若ACB=90°時，可證AOCCOB.32=1×.OB=9.即B(9,0) .當時，ABC為銳角三角形.即

13、當m>時，ABC為銳角三角形.7分7.（2012東城123）已知關于x的一元二次方程.（1）求證：無論m取何實數時，原方程總有兩個實數根；（2）若原方程的兩個實數根一個大于2，另一個小于7，求m的取值范圍；（3）拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，當m取（2）中符合題意的最小整數時，將此拋物線向上平移n個單位，使平移后得到的拋物線頂點落在ABC的內部（不包括ABC的邊界），求n的取值范圍（直接寫出答案即可）解：(1)證明： = = = 0， 無論m取何實數時，原方程總有兩個實數根. 2分（2） 解關于x的一元二次方程，得 . 3分由題意得 4分解得 . 5分 （3）符合題意的n的取

14、值范圍是 . 7分8.（2014海淀223）已知關于的方程：和，其中.（1）求證：方程總有兩個不相等的實數根；（2）設二次函數的圖象與軸交于、兩點（點在點的左側），將、兩點按照相同的方式平移后，點落在點處，點落在點處，若點的橫坐標恰好是方程的一個根，求的值；（3）設二次函數，在（2）的條件下，函數，的圖象位于直線左側的部分與直線（）交于兩點，當向上平移直線時，交點位置隨之變化，若交點間的距離始終不變，則的值是_.解：（1），1分由知必有，故.方程總有兩個不相等的實數根. 2分（2）令，依題意可解得，.平移后，點落在點處，平移方式是將點向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到.點按相同的方式平移

15、后，點為. 3分則依題意有. 4分解得，（舍負）.的值為3. 5分（3）. 7分課后練習1.（2013東城123）已知關于x的一元二次方程x2(m3)xm10（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數根； （2）當m為何整數時，原方程的根也是整數解：(1)證明： = = = = 0， 0 無論m取何實數時，原方程總有兩個不相等的實數根. 2分（2） 解關于x的一元二次方程x2(m3)xm10，得 . 3分要使原方程的根是整數，必須使得是完全平方數.設，則. +和的奇偶性相同，可得或解得或. 5分 將m=-1代入，得符合題意. 6分 當m=-1 時 ，原方程的根是整數. 7分2（201

16、3順義123）已知關于的方程（1）求證：無論取任何實數時，方程恒有實數根.（2）若關于的二次函數的圖象與軸兩個交點的橫坐標均為正整數，且為整數，求拋物線的解析式.（1）證明：當時，方程為，所以 ，方程有實數根. 1分 當時, = = = 2分 所以,方程有實數根綜所述，無論取任何實數時，方程恒有實數根 3分（2）令，則 解關于的一元二次方程，得 ， 5分 二次函數的圖象與軸兩個交點的橫坐標均為正整數，且為整數， 所以只能取1，2 所以拋物線的解析式為或7分3.（2014東城123）已知：關于x的一元二次方程mx2（4m+1）x+3m+3=0 （m1）（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；（2）

17、設方程的兩個實數根分別為x1，x2（其中x1x2），若y是關于m的函數，且y=x13x2，求這個函數的解析式；（3）將（2）中所得的函數的圖象在直線m=2的左側部分沿直線m=2翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象請你結合這個新的圖象回答：當關于m的函數y=2m+b的圖象與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍解：（1）證明：所以方程有兩個不等實根. 2分5分（3）作出函數的圖象，并將圖象在直線左側部分沿此直線翻折，所得新圖形如圖所示.易知點的坐標分別為當直線 過點 A 時，可求得 過點B時，可求得因此， 7分4.（2014石景山123）已知關于的方程有兩個實數根，且為非負整數.（1）求的值；（2）將拋物線：向右平移個單位，再向上平移個單位得到拋物線，若拋物線過點和點，求拋物線的表達式； （3）將拋物線繞點()旋轉得到拋物線，若拋物線與直線有兩個交點且交點在其對稱軸兩側，求的取值范圍解：（1）方程有兩個實數根， 且， 1分 則有且 且又為非負整數， . 2分（2）拋物線：平移后，得到拋物線：，3分 拋物線過，可得， 同理：，可得， 4分： . 5分（3）將拋物線：繞點()旋轉180°后得到的拋物線頂點為（）， 6分 當時， 由題意， 即： 7分5.（2014石景山223） 關于的一元二次方程 （1）求證：無論為何值時，方程總有一個