1、2019屆高三數學第一輪復習教學案18：難點突破：立體圖形的外接球與內切球問題一、基礎知識與概念：1球的截面：用一個平面去截球，截面是圓面；用一個平面去截球面，截面是圓大圓：截面過球心，半徑等于球半徑（截面圓中最大）；小圓：截面不過球心2球心和截面圓心的連線垂直于截面3球心到截面的距離與球半徑及截面圓半徑的關系：4幾何體的外接球：幾何體的頂點都在球面上；幾何體的內切球：球與幾何體的各個面都相切二、多面體的外接球（球包體）模型1：球包直柱（直錐）：有垂直于底面的側棱（有垂底側邊棱）球包直柱球徑公式：，（為底面外接圓半徑）球包正方體球包長方體球包四棱柱球包三棱柱球包直錐三棱錐四棱錐速算 模型2：“

2、頂點連心”錐：錐體的頂點及球心在底面的投影都是底面多邊形外接圓的圓心（兩心一頂連成線）實例：正棱錐球徑計算方程：，（為棱錐的高，為底面外接圓半徑）特別地，（1）邊長為正四面體的外接球半徑：_（2）底面邊長為，高為的正三棱錐的外接球半徑：_（3）底面邊長為，高為的正四棱錐的外接球半徑：_例：1（2017年全國卷III第8題）已知圓柱的高為，它的兩個底面的圓周在直徑為的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為A B C D 【解析】模式辨識：“球包體”中的“垂底側邊棱（母線）”類型，底面半徑為，則由得：， 2（2010年全國新課標卷第10題）設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱的長都為，頂點都在一個球面上，

3、則該球的表面積為A B C D 【解析】“球包體”中的“垂底側邊棱”類型，所以該球的表面積答案B3（2014年全國大綱卷第8題）正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為A B C D 【解析】模式辨識：“球包體”中的“頂點連心錐”，則，所以，答案：A 4（2013年全國卷I第6題）如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6，如果不計容器的厚度，則球的體積為A B C D【解析】設水面與球的接觸點（切點）為，球心為，則垂直于正方體的上表面，依題意到正方體上表面的距離為，球與正方體

4、上表面相交圓的半徑，有：，所以球的體積三、定心大法：球心在過截面圓的圓心且垂直于截面圓所在平面的直線上兩圓定心法：如下圖，過兩個截面圓的圓心分別作相應截面圓的垂線，由兩垂線的交點確定圓心例2：1已知邊長為的棱形中，現沿對角線折起，使得二面角為，此時點，在同一個球面上，則該球的表面積為（）A B C D 2在矩形中，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為_3在邊長為的菱形中，沿對角線將菱形折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為_四、正多面體的內切球（體中球）錐體的內切球：_圓錐的內切球：邊長為的正方體：等邊圓柱（母線）：邊長的正八面體：五、正多面體的“切邊球”（與所有的棱都相切的球

5、）正四面體邊長為，球半徑正方體邊長為，球半徑正四面體邊長為，球半徑例3：1一個球的外切正方體的全面積為，則球的體積為_2某圓錐的截面為邊長為的正三角形，則該圓錐的內切球的表面積為_3（2016年全國卷III第10題）在封閉的直三棱柱內有一個體積為的球，若，則的最大值是A BC D【解析】考查直三棱柱中截面的內切圓為球的大圓的情景，有，故當球半徑為時球的體積最大為答案B練習：1（2015年全國卷II第9題）已知，是球的球面上兩點，為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為A B C D 2（2016年福建漳州市5月質檢）三棱錐中，平面，是邊長為的正三角形，則三棱錐的外接球的表面

6、積為（）A B C D3（2014年湖南卷）一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于（ ）A B C D 4（2013年遼寧卷理10）已知三棱柱的個頂點都在球的球面上，若，則球的半徑為（）A B C D 5（2012年全國新課標卷第11題）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為A B C D 6在正三棱錐中，側棱與底面所成的角為，則該三棱錐外接球的體積為（）AB C D7已知底面邊長為，側棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為（ ）A B C D 8（2017年福建省質檢）空間四邊形ABCD的四個頂點都在同一球面上，E、F分別是AB、CD的中點，且，若，則該球的半徑等于A B C D9若三棱錐的最長的棱，且各面均為直角三角形，則此三棱錐的外接球的體積是_10（2008年高考浙江卷理14）已知球的面上四點、，平面，則球的體積為_11（2016年東北三省三校聯考）三棱柱各頂點都在一個球面上，側棱與底面垂直，則這個球的表面積為_12在三棱柱中，側棱垂直底面，且三棱柱的體積為，則三棱柱的外接球表面積為_13在正三棱錐中，分別是棱、的中點，且，若側棱，則正三棱錐外接球的表面積是_14在三棱錐中，則三棱錐外接球的表面積為_15（2