1、第五章 恒定磁場重點和難點該章重點及處理方法與靜電場類似。但是磁感應強度的定義需要詳細介紹，尤其要強調磁場與運動電荷之間沒有能量交換，電流元受到的磁場力垂直于電流的流動方向。說明磁導率與介電常數不同，磁導率可以小于1，而且大多數媒質的磁導率接近1。講解恒定磁場時，應與靜電場進行對比。例如，靜電場是無散場，而恒定磁場是無旋場。在任何邊界上電場強度的切向分量是連續的，而磁感應強度的法向分量是連續的。重要公式磁感應強度定義：根據運動電荷受力：根據電流元受力：根據電流環受力：真空中恒定磁場方程：積分形式：微分形式：已知電流分布求解電場強度：1，2，畢奧薩伐定律。3，安培環路定律。面電流產生的矢量磁位及

2、磁感應強度分別為線電流產生的矢量磁位及磁感應強度分別為矢量磁位滿足的微分方程：無源區中標量磁位滿足的微分方程：媒質中恒定磁場方程：積分形式：微分形式：磁性能均勻線性各向同性的媒質：場方程積分形式：場方程微分形式：矢量磁位微分方程：矢量磁位微分方程的解：恒定磁場邊界條件：1，。對于各向同性的線性媒質，2，。對于各向同性的線性媒質，題 解5-1 在均勻線性各向同性的非磁性導電媒質（即）中，當存在恒定電流時，試證磁感應強度應滿足拉普拉斯方程，即。證 在均勻線性各向同性的非磁性導電媒質中，由及，得對等式兩邊同時取旋度，得但是，考慮到恒等式，得又知，由上式求得。5-2 設兩個半徑相等的同軸電流環沿x軸放

3、置，如習題圖5-2所示。試證在中點P處，磁感應強度沿x軸的變化率等于零，即Paaaz習題圖5-2xyo解 設電流環的半徑為a，為了求解方便，將原題中坐標軸x換為坐標軸z，如圖示。那么，中點P的坐標為（z，0，0），電流環位于處，電流環位于處。根據畢奧沙伐定律，求得電流環在P點產生的磁感應強度為取圓柱坐標系，則，因此 同理可得，電流環在P點產生的磁感應強度為那么，P點合成磁感應強度為 由于和均與坐標變量z無關，因此P點的磁感應強度沿z軸的變化率為零，即ao aaPxyACB習題圖5-35-3 已知邊長為a的等邊三角形回路電流為I，周圍媒質為真空，如習題圖5-3所示。試求回路中心點的磁感應強度。解

4、 取直角坐標系，令三角形的AB邊沿x 軸，中心點P位于y軸上，電流方向如圖示。由畢奧沙伐定律，求得AB段線電流在P點產生的磁感應強度為式中，即由于軸對稱關系，可知BC段及AC段電流在P點產生的磁感應強度與AB段產生的磁感應強度相等。因此，P點的磁感應強度為5-4 已知無限長導體圓柱半徑為a，通過的電流為I，且電流均勻分布，試求柱內外的磁感應強度。解 建立圓柱坐標系，令圓柱的軸線為Z軸。那么，由安培環路定律得知，在圓柱內線積分僅包圍的部分電流為，又，則即在圓柱外，線積分包圍全部電流，那么即習題圖5-5(b)YXrYXcabJY習題圖5-5(a)5-5 已知無限長導體圓柱的半徑為a，其內部存在的圓

5、柱空腔半徑為b，導體圓柱的軸線與空腔圓柱的軸線之間的間距為c，如習題圖5-5（a）所示。若導體中均勻分布的電流密度為，試求空腔中的磁感應強度。解 柱內空腔可以認為存在一個均勻分布的等值反向電流，抵消了原有的電流而形成的。那么，利用疊加原理和安培環路定律即可求解。已知半徑為，電流密度為的載流圓柱在柱內半徑r處產生的磁場強度H1為求得，或寫為矢量形式對應的磁感應強度為同理可得半徑為，電流密度為的載流圓柱在柱內產生的磁場強度為對應的磁感應強度為上式中的方向及位置如習題圖5-5（b）示。因此，空腔內總的磁感應強度為5-6 兩條半無限長直導線與一個半圓環導線形成一個電流回路，如習題圖5-6所示。若圓環半

6、徑r =10cm，電流I = 5A，試求半圓環圓心處的磁感應強度。rI0X習題圖5-6Y解 根據畢奧沙伐定律，載流導線產生的磁場強度為 設半圓環圓心為坐標原點，兩直導線平行于X軸，如圖所示。那么，對于半無限長線段，因此，在圓心處產生的磁場強度為同理線段在圓心處產生的磁場強度為對于半圓形線段, , 因此，它在半圓心處產生的磁場強度為 那么，半圓中心處總的磁感應強度為5-7 若在處放置一根無限長線電流，在y = a處放置另一根無限長線電流，如習題圖5-7所示。試YZ-aaI0IX習題圖5-7求坐標原點處的磁感應強度。解 根據無限長電流產生的磁場強度公式，求得位于處的無限長線電流在原點產生的磁場為位

7、于處的無限長線電流產生的磁場為因此，坐標原點處總磁感應強度為yz-w/2w/2IodxJxP5-8 已知寬度為W的帶形電流的面密度，位于z = 0平面內，如習題圖5-8所示。試求處的磁感應強度。dyyzyo習題圖5-8(a)習題圖5-8(b)解 寬度為，面密度為的面電流可看作為線電流，其在P點產生的磁場為 由對稱性可知，z方向的分量相互抵消，如習題圖5-8（b）所示，則 YZPah0IX習題圖5-9因此，在處的磁感應強度為5-9 已知電流環半徑為a，電流為I，電流環位于z = 0平面，如習題圖5-9所示。試求處的磁感應強度。解 由畢奧沙伐定律得因為處處與正交，則即由對稱性可知，P點磁場強度只有

8、分量，所以因此，處的磁感應強度為zzdr05-10 當半徑為a的均勻帶電圓盤的電荷面密度為，若圓盤繞其軸線以角速度旋轉，試求軸線上任一點磁感應強度。解 如習題圖 5-10所示，將圓盤分割成很多寬度為的載流圓環dI，它在處產生的磁感應強度，根據題5-9結果,得知因為習題圖5-10因此5-11 已知位于y = 0平面內的表面電流，試證磁感應強度B為0XYZ習題圖5-11解 有兩種求解方法。解法一：將平面分割成很多寬度為的無限長線電流，那么由題5-8結果獲知，當時因此，積分求得同理，當時，那么，積分求得解法二：由題5-8知，即 令y < 0的區域中磁場強度為H1，而y > 0的區域中磁場

9、強度為H2，那么，在的邊界上，。由此求得 ，因此5-12 已知N邊正多邊形的外接圓半徑為a，當通過的電流為I時，試證多邊形中心的磁感應強度為IIIO習題圖5-12式中為正多邊形平面的法線方向上單位矢量。若時，中心B值多大？解 如習題圖5-12所示，載流線圈每邊在中心O處產生的磁感應強度為所以，N條邊在中心O處產生的磁場為 當時，此結果即是半徑為的電流環在中心處產生的磁感應強度。5-13 若表面電流位于平面內，試證式中為在處取極值的一維函數。解 由安培環路定理得知，因，再利用斯托克斯定理得由函數的定義可知，一維函數的量綱為長度的倒數。因此，為體電流密度,即上式對于任何表面都成立，因此被積函數為零

10、，即5-14 若位于圓柱坐標系中處的無限長線電流的電流為I，方向與正Z軸一致，試證磁感應強度為解 由函數的定義可知，為二維函數在圓柱坐標系中的表示，其量綱為面積的倒數。因此，為位于處的z方向的電流密度。那么由安培環路定律得知，即再利用斯托克斯定理，求得 上式對于任何表面均成立，因此被積函數為零，即5-15 若無限長的半徑為a的圓柱體中電流密度分布函數，試求圓柱內外的磁感應強度。解 取圓柱坐標系，如習題圖5-15所示。當時，通過半徑為r的圓柱電流為oxyz習題圖 5-15由求得當時由求得5-16 證明矢量磁位A滿足的方程式的解為（提示：利用函數在處的奇點特性）。證明 已知因此xyo習題圖 5-1

11、75-17 已知空間y < 0區域為磁性媒質，其相對磁導率區域為空氣。試求：當空氣中的磁感應強度時，磁性媒質中的磁感應強度B；當磁性媒質中的磁感應強度時，空氣中的磁感應強度B0。解 根據題意，建立的直角坐標如圖5-17所示。 設磁性媒質中的磁感應強度為已知在此邊界上磁感應強度的法向分量連續，磁場強度的切向分量連續。因此，求得，即 設空氣中的磁感應強度為則由邊界條件獲知，求得，即5-18 已知均勻繞制的長螺線管的匝數為N，長度為L，半徑為a，電流為I，如習題圖5-18(a)所示。試求： 螺線管內部中點o處的磁感應強度；orRxzyPIdl習題圖5-18(b)f 螺線管外部P點的磁感應強度，

12、圖中。PoNL2ad習題圖5-18(a)解 螺線管可看作是線密度為的圓柱面電流，如圖習題圖5-18(b)所示。由題5-9的結果得知，電流為的電流環在中點o處產生的磁感應強度為那么，螺線管在中點o處產生的總磁感應強度為 為了計算螺線管外的場強，可將螺線管看作為由N個同軸電流環組成。已知在xoy平面內，單個電流環I在點產生的矢量磁位為 式中，。考慮到，那么因此 當電流環位于xoy平面時，r¢ = d，那么，在處產生的磁感應強度為考慮到，對于P點而言，可以認為每個電流環均處于xoy平面內。因此，P點磁感應強度增加N倍，即5-19 根據式（5-2-9b），證明。證明 式（5-2-9b）為則利

13、用高斯定理，同時考慮到，求得但由電流連續性原理獲知，。因此，。5-20 證明在邊界上矢量磁位A的切向分量是連續的。解 已知磁通與矢量磁位A的關系為 類似證明磁場強度的切向分量是連續的方法，緊靠邊界作一個閉合矩形方框。當方框面積趨近零時，穿過方框的磁通也為零，那么求得這樣，由此獲知，即邊界上矢量磁位的切向分量是連續的。5-21 當磁導率為的磁棒插入電流為I的螺線管中，若單位長螺線管的匝數為N，磁棒的半徑為a，螺線管的內徑為。試求：及區域中的磁感應強度B，磁場強度H及磁化強度；磁棒中的磁化電流密度及磁棒表面的表面磁化電流密度。BACDmz習題圖 5-22解 根據題意，螺線管中磁棒位置如圖5-22所

14、示。取圓柱坐標系，且令螺線管的軸線與z軸一致。作一個矩形閉合回路，其中AB和CD邊垂直于螺線管壁，AD邊緊靠在螺線管外壁，BC邊平行于螺線管內壁，其長度為。沿該矩形閉合回路積分，由安培環路定律知可以認為，螺線管中的磁場強度方向均與螺線管的軸線平行，螺線管外附近無漏磁。那么當矩形回路的BC邊位于磁棒內時，若令磁棒內的磁場強度為H1，則上述閉合積分變為因此，磁棒內的磁場強度為磁棒內的磁感應強度為磁棒內的磁化強度為若令磁棒與螺線管壁之間的磁場強度為H2，則上述閉合積分變為 磁棒與螺線管壁之間的磁感應強度為磁棒與螺線管壁之間磁化強度為 磁棒中的磁化電流密度為磁棒側面的表面磁化電流密度為5-22 已知半徑為a的鐵氧體球內部的磁化強度，試求：球內磁化電流密度及球面的表面磁化電流密度；磁化電流在球心處產生的磁感應強度B。解 球內磁化電流密度為球面的表面磁化電流密度為由題5-9的結果獲知，位于處寬度為的環行電流在球心產生的磁感應強度那么，整個球面上磁化電流在球心產生的磁感應強度為5-23 當磁矩為25Am2的磁針位于磁感應強度B = 2T的均勻磁場中，試求磁針承受的最大轉矩。解 當磁矩方向與磁感應強度方向垂直