1、第二章微積分學的創始人微積分學的創始人: : 德國數學家德國數學家 Leibniz 微分學微分學導數導數描述函數變化快慢描述函數變化快慢微分微分描述函數變化程度描述函數變化程度都是描述物質運動的工具都是描述物質運動的工具 ( (從微觀上研究函數從微觀上研究函數) )導數與微分導數思想最早由法國導數思想最早由法國數學家數學家Ferma在研究在研究極值問題中提出極值問題中提出. .英國數學家英國數學家 Newton一、引例一、引例二、導數的定義二、導數的定義三、導數的幾何意義三、導數的幾何意義四、函數的可導性與連續性的關系四、函數的可導性與連續性的關系五、單側導數五、單側導數第一節第一節導數的概念

2、導數的概念 第二章第二章 一、引例一、引例1. 1. 變速直線運動的速度變速直線運動的速度設描述質點運動位置的函數為設描述質點運動位置的函數為)(tfs 0t則則 到到 的平均速度為的平均速度為0tt v)()(0tftf0tt 而在而在 時刻的瞬時速度為時刻的瞬時速度為0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自由落體運動自由落體運動 xyo)(xfy C曲線曲線)(:xfyCNT0 xM在在M點處的切線點處的切線x割線割線MN的極限位置的極限位置MT( (當當 時時) )割線割線MN的斜率的斜率tan)()(0 xfxf0 xx切線切線MT 的斜率

3、的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 兩個問題的兩個問題的共性共性: :so0t)(0tf)(tft瞬時速度瞬時速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切線斜率切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx所求量為函數增量與自變量增量之比的極限所求量為函數增量與自變量增量之比的極限. .類似問題還有類似問題還有: :加速度加速度角速度角速度線密度線密度電流強度電流強度是是速度增量與時間增量速度增量與時間增量之比的極限之比的極限是是轉角增量與時間增量轉角增量與時間增量之比的極限之比的極限是是質量增量與長度增量質量

4、增量與長度增量之比的極限之比的極限是是電量增量與時間增量電量增量與時間增量之比的極限之比的極限變化率問題變化率問題二、導數的定義二、導數的定義)(xfy在點在點0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在存在, ,)(xf并稱此極限為并稱此極限為)(xfy記作記作: :;0 xxy; )(0 xf;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即即0 xxy)(0 xfxyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000則稱函數則稱函數若若的某鄰域內有定義的某鄰域內有定義, , 在點在點0 x處可導處可導, , 在點在點0 x

5、的導數的導數. . 運動質點的位置函數運動質點的位置函數)(tfsso0t)(0tf)(tft在在 時刻的瞬時速度時刻的瞬時速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt曲線曲線)(:xfyC在在 M 點處的切線斜率點處的切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx)(0tf)(0 xf 0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述極限不存在若上述極限不存在, ,在點在點 不可導不可導. . 0 x若若,lim0 xyx也稱也稱)(xf在在0 x若函數在開區間若函數在開區間I內每點都可導內每點都可導, ,

6、此時導數值構成的新函數稱為導函數此時導數值構成的新函數稱為導函數. .記作記作: :;y; )(xf;ddxy.d)(dxxf注意注意: :)(0 xf0)(xxxfxxfd)(d0就說函數就說函數就稱函數在就稱函數在I內可導內可導. . 的導數為的導數為無窮大無窮大. .Cxf)( (C 為常數為常數) )的導數的導數. . 解解: :yxCCx0lim0即即0)(C)N()(nxxfn.處的導數在ax 解:axafxf)()(axlim)(afaxaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx說明：說明：對一般冪函數xy( 為常數為常數

7、) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11 x21x)1(xx)(43x4743x（以后將證明）（以后將證明）hxhxhsin)sin(lim0 xxfsin)( 的導數的導數. . 解解: :, xh 令則則)(xfhxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即即xxcos)(sin類似可證得類似可證得xxsin)(cosh)1(lnxhxxfln)( 的導數的導數. . 解解: : )(xf hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0)1(lnxh即即x

8、x1)(ln0limhh1x1xx10limh)1(lnxhhxelnx1x1xhhh 1lim0或或則令,0hxt原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作:xxf)(在在x = 0不可導不可導. . 證證: :hfhf) 0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在不存在, , .0不可導在即xx)(0 xf存在存在, ,求極限求極限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: :原式原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf)(210 xf)(0 xf)( 2 )(0hhx

9、f)(0 xf三、導數的幾何意義三、導數的幾何意義xyo)(xfy CT0 xM曲線曲線)(xfy在點在點),(00yx的切線斜率為的切線斜率為)(tan0 xf 若若, 0)(0 xf曲線過曲線過上升上升; ;若若, 0)(0 xf曲線過曲線過下降下降; ;xyo0 x),(00yx若若, 0)(0 xf切線與x軸平行,稱為稱為駐點駐點; ;),(00yx),(00yx0 x若若,)(0 xf切線與切線與x x軸垂直軸垂直. .曲線在點曲線在點處的處的),(00yx切線方程切線方程: :)(000 xxxfyy法線方程法線方程: :)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,

10、)(0時 xf整理課件1111例例7.7.問曲線問曲線3xy 哪一點有垂直切線哪一點有垂直切線? ? 哪一點處哪一點處的切線與直線的切線與直線131 xy平行平行? ? 寫出其切線方程寫出其切線方程解解: :)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令令,3113132x得得, 1x對應對應, 1y則在點則在點(1,1),(1,1)處與直線處與直線131 xy平行的切線方程分別為平行的切線方程分別為),1(131xy) 1(131xy即即023 yx故在原點故在原點(0,0)(0,0)有垂直切線有垂直切線處可導在點xxf)(四、函數的可導性與連續性的關系四、函數的可導性與連續性的關系定

11、理定理1.1.處連續在點xxf)(證證: : 設)(xfy在點在點x處可導處可導, ,)(lim0 xfxyx存在存在, ,因此必有因此必有,)(xfxy其中其中0lim0 x故故xxxfy)(0 x0所以函數所以函數)(xfy在點在點x連續連續. .注意注意: : 函數在點函數在點x連續未必可導連續未必可導. .反例反例: :xyxyoxy在在x = 0處連續處連續, ,但不可導但不可導. .即在點在點0 x的某個右的某個右 鄰域內鄰域內五、單側導數五、單側導數)(xfy若極限若極限xxfxxfxyxx)()(limlim0000則稱此極限值為則稱此極限值為)(xf在在 處的右處的右 導數導

12、數, ,0 x記作記作)(0 xf即即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左左)(左左)0(x)0( x)(0 xf 0 x例如例如, ,xxf)(在在x = 0處有處有, 1) 0 (f1) 0 (fxyoxy 有定義有定義, ,存在存在, ,定理定理2.2.函數函數在點在點0 x)(xfy,)()(00存在與xfxf且且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在存在)(0 xf)(0 xf簡寫為簡寫為在點在點處處右右 導數存在導數存在0 x定理定理3.3.函數函數)(xf)(xf在點在點0 x必必右右 連續連續. .(左左) ( (左左) )若函數若函數)(xf)(af)(

13、bf與都存在都存在, ,則稱則稱)(xf顯然顯然: :)(xf在閉區間在閉區間 a,b 上可導上可導,)(baCxf在開區間在開區間 內可導內可導, ,),(ba在閉區間在閉區間 上可導上可導. .,ba可導的可導的充分必要條件充分必要條件是是且內容小結內容小結1.1.導數的實質導數的實質: :3.3.導數的幾何意義導數的幾何意義: :4.4.可導必連續可導必連續, ,但連續不一定可導但連續不一定可導; ;5.5.已學求導公式已學求導公式: :不連續不連續, ,一定不可導一定不可導. .直接用導數定義直接用導數定義; ;看左右導數是否存在且相等看左右導數是否存在且相等. . )(C )(x )

14、(sinx )(cosxaxf)(02. axfxf)()(00 )(lnx;0;1x;cosx;sinxx1增量比的極限增量比的極限; ;切線的斜率切線的斜率; ;思考與練習思考與練習1.1.函數函數 在某點在某點 處的導數處的導數)(xf0 x)(0 xf)(xf區別區別: :)(xf是函數是函數, ,)(0 xf是數值是數值; ;聯系聯系: :0)(xxxf)(0 xf注意注意: :有什么區別與聯系有什么區別與聯系? ? )()(00 xfxf？與導函數與導函數)(0 xf 存在存在, , 則則._)()(lim000hxfhxfh,) 0 (, 0) 0 (0kff則則._)(lim0

15、 xxfx)(0 xf0k),(x時時, ,恒有恒有,)(2xxf問問)(xf是否在是否在0 x可導可導? ?解解: : 由題設由題設)0(f00)0()(xfxfx0由夾逼準則由夾逼準則0)0()(lim0 xfxfx0故故)(xf在在0 x可導可導, ,且且0)0( f0,0,sin)(xxaxxxf, ,問問a取何值時取何值時, ,)(xf在在),(都存在都存在, ,并求出并求出. )(xf 解解: :) 0 (f00sinlim0 xxx1) 0 (f00lim0 xxaxa故故1a時, 1) 0 ( f此時此時)(xf在在),(都存在都存在, , )(xf0,cosxx0,1x顯然該

16、函數在顯然該函數在x = 0連續連續. .解解: : 因為因為)(xf 存在存在, ,且且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f)(xf在在 0 x處連續處連續, ,且且xxfx)(lim0存在，存在，證明證明: :)(xf在在0 x處可導處可導. .證：因為證：因為xxfx)(lim0存在，存在， 則有則有0)(lim0 xfx又又)(xf在在0 x處連續處連續, ,0) 0 (f所以所以xxfx)(

17、lim0即即)(xf在在0 x處可導處可導. .xfxfx) 0 ()(lim0) 0 (f故故整理課件牛頓牛頓(1642 1727)(1642 1727)偉大的英國數學家偉大的英國數學家, , 物理學家物理學家, , 天文天文學家和自然科學家學家和自然科學家. .他在數學上的卓越他在數學上的卓越貢獻是創立了微積分貢獻是創立了微積分. .16651665年他提出正年他提出正流數流數( (微分微分) )術術, , 次年又提出反流數次年又提出反流數( (積分積分) )術術, , 并于1671年完成年完成流數術與無窮級數流數術與無窮級數一書一書 (1736(1736年出版年出版).). 他還著有還著有自然哲學的數學原理自然哲學的數學原理和和廣義算術廣義算術等