1、二、第二類換元法二、第二類換元法一、第一類換元法一、第一類換元法例例2. 求.d22xax想到公式21duuCu arctan例例3. 求).0(d22axax21duu想到Cu arcsin例例4. 求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan類似Caxaxaln21例例5. 求.d22axx解解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 常用的幾種配元形式常用的幾種配元形式: 1)()df axbx()f axb)(dbxa a112)()d

2、nnf xxx)(nxfnxdn113)()dnf xxx)(nxfnxdn1nx1萬能湊冪法4)(sin )cos dfxx x )(sin xfxsind5)(cos )sin dfxx x )(cos xfxcosdxxxfdsec)(tan)62)(tan xfxtandxfxxde )(e)7)(exfxedxxxfd1)(ln)8)(lnxfxlnd例例9. 求.e1dxx解法解法1xxe1dxxxxde1e)e1 (xdxxe1)e1 (dxCx)e1ln(解法解法2 xxe1dxxxde1exxe1)e1 (dCx)e1ln()1(elne)e1ln(xxx兩法結果一樣兩法結果

3、一樣xxxsindsin11sin1121例例10. 求.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21)2cos2cos21 (241xx 例例12 . 求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C例例13. 求.d3cossin22xxx解解:

4、xx3cossin22221)2sin4(sinxx 思考與練習思考與練習1. 下列各題求積方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx二、第二類換元法二、第二類換元法第一類換元法解決的問題難求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求積分xxxfd)()(易求,則得第二類換元積分法 .難求，uufd)(例例16. 求. )0(d22axxa解解: 令, ),(,sin22ttax則taaxa2

5、2222sintacosttaxdcosd ax22xa t例例17. 求. )0(d22aaxx解解: 令, ),(,tan22ttax則22222tanataaxtasecttaxdsecd2ax22ax t例例18. 求. )0(d22aaxx解解:,時當ax 令, ),0(,sec2ttax則22222secataaxtatanxdtttadtansecax22ax t例例19. 求.d422xxxa解解: 令,1tx 則txtdd21小結小結:1. 第二類換元法常見類型第二類換元法常見類型: ,d),() 1xbaxxfn令nbxat,d),()2xxfndxcbxa令ndxcbxa

6、t,d),()322xxaxf令taxsin或taxcos,d),()422xxaxf令taxtan,d),()522xaxxf令taxsec7) 分母中因子次數較高時, 可試用倒代換倒代換 ,d)()6xafx令xat 由導數公式vuvuuv )(積分得:xvuxvuuvdd分部積分公式分部積分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1) v 容易求得 ;xvuxvudd)2比容易計算 .:)d(的原則或及選取vvu分部積分法例例4. 求.dsinexxx解解: 令,sinxu xve, 則,cos xu xve 原式xxsinexxxdcose再令,cos xu xve, 則xve解題技巧解題技巧:的一般方法及選取vu把被積函數視為兩個函數之積 , 按 “ 反對冪指三反對冪指三” 的順序, 前者為 后者為u.v反: 反三角函數對: 對數函數冪: 冪函數指: 指數函數三: 三角函數例例7. 求.dexx解解: 令, tx則,2tx ttxd2d 原式tttde2tte2Cxx)1(e2, tu tve)etC令tte(2ttde例例9. 求.)(d22nnaxxI解解: 令,)(122naxu, 1 v則,)(2122naxx