1、一、基本有限元網格概念1.單元概述幾何體劃分網格之前需要確定單元類型。單元類型的選擇應該根據分析類型、形狀特征、計算數據特點、精度要求和計算的硬件條件等因素綜合考慮。為適應特殊的分析對象和邊界條件，一些問題需要采用多種單元進行組合建模。2.單元分類選擇單元首先需要明確單元的類型，在結構有限元分析中主要有以下一些單元類型：平面應力單元、平面應變單元、軸對稱實體單元、空間實體單元、板 單元、殼單元、軸對稱殼單元、桿單元、梁單元、彈簧單元、間隙單元、質量單元、摩擦單元、剛體單元和約束單元等。根據不同的分類方法，上述單元可以分成以 下不同的形式。3.按照維度進行單元分類根據單元的維數特征，單元可以分為

2、一維單元、二維單元和三維單元。一維單元的網格為一條直線或者曲線。直線表示由兩個節點確定的線性單元。曲線代表由兩個以上的節點確定的高次單元，或者由具有確定形狀的線性單元。桿單元、梁單元和軸對稱殼單元屬于一維單元，如圖1圖3所示。二維單元的網格是一個平面或者曲面，它沒有厚度方向的尺寸。這類單元包括平面單元、軸對稱實體單元、板單元、殼單元和復合材料殼單元等，如圖4所示。二 維單元的形狀通常具有三角形和四邊形兩種，在使用自動網格剖分時，這類單元要求的幾何形狀是表面模型或者實體模型的邊界面。采用薄殼單元通常具有相當好的 計算效率。三維單元的網格具有空間三個方向的尺寸，其形狀具有四面體、五面體和六面體，這

3、類單元包括空間實體單元和厚殼單元，如圖5所示。在自動網格劃分時，它要求的是幾何模型是實體模型(厚殼單元是曲面也可以)。4.按照插值函數進行單元分類根據單元插值函數多項式的最高階數多少， 單元可以分為線性單元、二次單元、三次單元和更高次的單元 。線性單元具有線性形式的插值函數，其網格通常只具有角節點而無邊節點，網格邊界為直線或者平面。這類單元的優點是節點數量少，在精度要求不高或 者結果數據梯度不太大的情況下，采用線性單元可以得到較小的模型規模。但是由于單元位移函數是線性的，單元內的位移呈線性變化，而應力是常數，因此會造成 單元間的應力不連續，單元邊界上存在著應力突變，如圖6所示。二次單元的插值函

4、數是二次多項式，其網格不僅在每個頂點處有角節點，而且在棱邊上還存在一個邊節點，因此網格邊界可以是二次曲線或者曲面。這類單元的優點 是幾何和物理離散精度較高，單元內的位移呈二次變化，應力呈線性變化，因此單元邊界上的應力是連續的。但是在單元數量相同的條件下二次單元的節點數比線性 單元的節點數多，模型的規模較大，如圖7和圖8所示。三次單元的插值函數是三次多項式，其網格的每條邊上存在兩個節點，有些三次單元還具有內部節點。這類單元的離散精度更高，但是由于單元節點數較多，網格劃分較為困難，模型規模很大，一般用于具有特殊精度要求的場合，如圖9所示。對于一階和二階單元，我們通常也稱其為H單元。三階及以上的單元

5、，我們也稱其為P單元，高階次的P單元可以更好地擬合變形形狀，特別對于曲率或者應力梯度變化較大的區域會較為真實的模擬，但會比H-單元有較多的運算量，如圖10所示。5.結構單元與非結構單元根據單元能否離散成實際結構，可以將單元分為結構單元和非結構單元。能離散成實際結構的稱為結構單元，如軸對稱單元離散軸對稱結構，桿、梁單元 用于離散桿件結構，實體單元用于離散空間結構等，這些單元都屬于結構單元。除此之外，還有一類單元并不用于實際結構的離散，而是在模型中模擬一些特殊的結 構和邊界條件，如質量單元用于實際的物體質量效應，彈簧和阻尼單元用于模擬結構的彈性支承和減振吸能部件，間隙和接觸單元用于結構之間的相互接

6、觸作用，螺 栓預緊力單元用于模擬螺栓的預緊力，剛體單元用于模擬節點之間的剛性連接等，這些單元稱為非結構單元。由于非結構單元非常抽象，使用起來有一定的難度，在設計仿真一體化分析里面通常會將其工程化，幫助使用者淡化其力學概念。6.節點和單元的重要力學概念針對前述的單元分類，此處要澄清關于節點和單元的一些非常有用的總結性概念。有限元分析首先計算節點的位移量，接著再推算其對應單元的應變值，再計算積分點的應力。因此位移的準確性高于應變、應變高于應力;當結構靜力平衡時計算變形的單元是求得準確有限元分析結果的關鍵，因此線性計算中單元不可以變形過大，否則會造成求解失敗;網格質量概括來說，初始網格必須可呈現初始

7、模型的幾何形狀，而且要足夠“彈性”以符合靜力平衡后的變形幾何形狀;在預計會有應力梯度變化劇烈的位置上，為預測其準確變形情況，細小特征幾何必須要更精確符合，以利于準確計算這些位置上的應力值;在理想曲率邊線與網格曲率邊線之間的差距稱之為離散誤差。二、有限元誤差分析      1.有限元誤差有限元的誤差主要來自兩個方面，一是模型誤差，一是計算誤差。模型誤差是指將實際工程問題抽象為適合計算機求解的有限元模型時所產生的誤差，即有限元模型和實際問題之間的差異。它包括有限元離散處理所固有的原理性誤差，也可能包括幾何模型處理、實際工況轉化為模型邊界條件時所帶來的偶然性誤

8、差。計算誤差是指采用數值方法對有限元模型進行計算所產生的誤差，誤差的性質是舍入誤差和截斷誤差。模型誤差包含離散誤差、邊界條件誤差和單元形狀誤差，離散誤差包含物理離散誤差和幾何離散誤差。2.離散誤差物理離散誤差是插值函數和真實函數之間的差異，其大小與單元尺寸和插值多項式的階次有關，單元尺寸減小也就是網格劃分越密，插值函數的階次增加，將使有限元的解收斂于精確解。幾何離散誤差是指離散后的幾何體與原有幾何形狀上的差異。對于由直線或者平面邊界構成的規則結構，這類誤差較小。對于具有復雜曲線或者曲面邊界構成的結構，離散后會產生較大的形狀誤差。本文下面通過solidworks Simulation來

9、詳細討論物理離散誤差與幾何離散誤差的具體操作細節。三、收斂性及自動收斂方法一般而言，網格擁有較多的單元，可得到較準確的結果。會有更多的節點可供計算，所以結果會較準確。較多的單元也就表示單元大小較小，所以物理離散誤差可減小。實際分析上也有極限，在收斂性分析過程中網格尺寸一再縮減也不一定會對精確結果有幫助。對一給定幾何而言，要達到收斂性的網格會與外部負載條件及邊界約束條件有關(見圖11)。在線性靜態分析中，載荷大小不是收斂性的系數。下面以SolidWorks Simulation的收斂性為例簡單介紹收斂性的處理方法和技巧。SolidWorks Simulation提供三種收斂性的技術。包括有手動控

10、制收斂性和軟件自動控制收斂性技術。其中自動控制收斂性的方法我們也稱之為自適應方法，如圖12 所示，包括自動H自適應方法(H-adaptive)、自動P自適應方法(P-adaptive)。1.自動H自適應方法(H-adaptive)H方法的本質就是根據應力梯度的變化情況自動在應力梯度大的地方，根據預先規定的收斂準則，重新自動剖分網格，進行自動加密(見圖13，原始網格與H自適應網格結果)。SolidWorks Simulation的H方法具有以下特性。1)適用于實體零件及裝配體(僅支持實體單元)的靜態分析研究;2)在應變能誤差較高的區域使用較小網格尺寸;3)可以在應變能誤差較低區域網格粗化(加大網

11、格尺寸)，便于在后面的優化計算中降低計算規模，大大提高優化效率;4)目標精度定義應變能量密度范數的精度等級默認值是98%，此處可以調整能量密度范數的精度等級，一般情況下默 認的精度可以達到分析的要求;5)精度偏差設置(見圖13);       精度偏差設置有局部(本地)和全局(整體);滑動桿朝局部移動，指示程序以較少的單元取得精確 的峰值應力結果;滑動桿朝全局移動，指示程序取得整體零件剛度精確 的結果，而不是應力結果。6)若不確定，保持默認值即可;7)網格粗糙化的目的是對應力梯度變化不大的區域，加大此處的單元尺寸，可以使用較小的網格得到較好的結果，同時也

12、便于后繼的優化求解。圖14展示了某機械零件，采用一階單元不同單元大小，并采用自適應方法進行分析。方案1采用平均單元大小13.6mm 進行網格劃分，然后采用H自適應網格劃分，此時得到的最大應力點的應力是44MPa。方案2采用平均單元大小為3.4mm進行網格劃分，然后采用H自適應 網格劃分，此時得到的最大應力點的應力是75.6MPa,兩者之間有42%的差異。說明采用線性單元，使用H方法得不到準確的結果。同樣的模型，不做任何修改采用二階單元進行網格劃分，如圖15所示，然后采用H方法，得到的應力誤差小于3%，說明采用較大的全局二階單元，然后采用H方法可以得到相當準確的應力結果。2.自動P自適應方法(P

13、-adaptive)P方法的本質就是根據約束條件(如應變能)的變化情況自動在約束條件大的地方，根據預先規定的收斂準則，調整該處的單元形函數的階次，在單元大小不變的情況下提高單元內部應力的精確性(見圖16)。SolidWorks Simulation的P方法具有以下特性。1)適用于實體零件及裝配體的靜態分析研究，但裝配體僅支持結合方式，不可以有其他接觸存在;2)收斂準則有總應變能、均方根合位移、均方根von Mises應力;3)默認收斂準則是總應變能，均方根合位移及von Mises應力準則并不常用;4)默認的設定通常就足夠，由于系統通常會提前滿足設 定精度，因此最大p-order及最大循環數很

14、少用到;5)開始p-階序起始于2，設為1會報錯;6)必須使用二階單元為初始網格;一般而言初始的網格尺寸影響很小(見圖17);     Jacobian(雅可比檢查)對誤差有較大的影響，在局部位置無法反饋結果。建議將Jacobian檢查設定在節點(見圖18)。四、手動收斂性檢查1.相對收斂性檢查在大多數復雜情況下很難通過自適應方法得到好的結果，必須通過相對收斂性檢查得到收斂的結果(見圖19)，其操作步驟如下。1)執行多個分析研究，逐步調整加密網格，檢查應力值的變化情形;2)每次以2:1比例調整加細網格尺寸;3)如果局部網格尺寸遠小于整體網格尺寸，要留意扭曲

15、 失真的情況。2.等值線質量檢查(見圖20)      1)應力等值線應該和連續幾何體一樣連續，使用不連續選項可以更清楚看到不連續的結果，如果幾何體光滑連續而結果呈鋸齒狀，表明此處結果不好，需要加密網格或提高網格質量;2)沒有一個收斂的絕對測試標準，但是可以顯示區域檢查;3)顯示帶有結果的單元結果可以顯示他們如何影響結果。3.誤差估算方法1：能量范數值(見圖21)       1)ERR能量范數誤差繪圖可以顯示出相鄰元素之應力值差異，理論上要愈小愈好;2)并非絕對是收斂性測試方法，但會顯示出要特別注意的高誤差區域;3)最佳的應用方式是在比較不同的設計過程。如果在某個區域的誤差估算已經調整至最佳狀況并維持一致，其分析結果的比較應該較具有實際意義。4.誤差估算方法2：節點和單元應力值比較(見圖22)   1)節點解是臨近單元的節點應力的平均值;2)單元解是每個單元所有節點應力的平均值;3)評定標準，理論上節點和單元應力值應該有較小的差異;4)一般情況下，節點應力和單元應力的誤差不