1、【上海市位育中學2015學年第一學期高二數(shù)學學科期末考試卷】一、填空題（本大題滿分40分，共有10題，要求直接填寫結果，每題填對得4分，否則一律得零分）1、若直線工一2y+5=O與直線2x+叫，一6=0互相垂直，則實數(shù)m=.【答案：1】2、直線y=x關于直線x=l對稱的直線方程是.【答案：x+2y-2=013、直線2qcos0=1與圓q=2cos。相交的弦長為.【答案：B解析：直線2qcosO=1與圓q=2cos。的普通方程為2尤=1和（工-1滬+；/=1,圓心到直線的距離為1-;二!，所以弦長為2）1節(jié)）=妊】4、若腿R,則直線y=sin<9x+2的傾斜角的取值范圍是.7T【答案：0,

2、-_4225、己知雙曲線。：二-七=1的焦距為10,點P（2,l）在C的漸近線上，則C的方程ab為.r2v2【答案：-=120522解析：設雙曲線。：1-4=1的半焦距為c,則2c、=10,c=5.ab又LC的漸近線為），=±合工，點P（2,l）在漸近線上，.1=上2,即a=2b.aa22又普=疽+1）2,：'=2販由=抵，：.C的方程為土一匕=1.2056、若IzJ=|z2|=2,且|z+z2|=23>貝iz-z2|=.【答案：2 若b/la,則p|=p|； 若兩個非零向量白、滿足p+|=|a|+|S|,則ab=ab; 巳知。、Rc是三個非零向量，若白+方=6,則ac

3、=be.其中真命題的序號是.、己知烏、是兩個不平行的向量，實數(shù)X、y滿足X。+(5-)*2=(y+l)q+刀。2，則x+y=.5若數(shù)列是等差數(shù)列，首項4>0,%014+%015>°，。2014-2015<。，則使前n項和S”>0成立的最大自然數(shù)n是.4028二、選擇題(本大題滿分12分)本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，每題答對得3分，否則一律得零分.13.“。=%ha2b2clx+b.y=c.1'1有唯一解"的A.充分不必要條件B.必要不充分條a2x+b2y=c2C.充要條件D.既不充分

4、又不必要條件若0/1=(-5,4),。8=(7,9),向量A8同向的單位向量坐標是B,125、，125、A.(,)B.(,125、13131313(D.1+2+3+414. 用數(shù)學歸納法證明1+2+3+(2+1)=(+1)(2+1)時，在驗證=1成立時，左邊所得的代數(shù)式是()CC.1+2+3A.1B.1+301«12%3、15. 由9個正數(shù)組成的矩陣。21«22的3中，每行中的三個數(shù)成等差數(shù)列，且|+02+3、頂3132。33/a2i+a22+缶3、。31+。32+33成等比數(shù)列，卜列四個判斷正確的有第2列2，。22，。32必成等比數(shù)列第2列2，。

5、22，。32必成等比數(shù)列第1列角|,。21，。31不一定成等比數(shù)列白12+白32“21+23白12+白32“21+23若9個數(shù)之和等于9,則。2221A.3個B.2個C.1個D.0個三、解答題（本大題滿分48分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.16. （本題滿分8分，第1小題4分，第2小題4分）己知關于工的不等式x+a2<0的解集為（一1力）.求實數(shù)、8的值。1X解：原不等式等價于（x+a）x-2<0,即x2+ax-2<0由題意得，一1+Z?=。-1x/?=-26分解得。=一1,b=2.17. （本題滿分8分）設小為等差數(shù)列，儂為等比數(shù)列.己知叫=兒=1,。2

6、+“6=»4，b山6=。4分別求出0和解：0為等差數(shù)列，知為等比數(shù)列，則有02+06=204,妍6=龐2分已知Cl2H-»/>2力6=。4，得，仞=2。4，4=仞.即/>4=2/>4.又Z?#0所以得，ib4=»a4=.4分24由"1=1,04=知。的公差為d=>則6Z|（）=Cl+（101）/；6分由勿=1,加=：知/"的公比為，則0=4礦=：8分22818. （本題滿分10分）一航模小組進行飛機模型實驗，飛機模型在第一分鐘時間里上升了15米高度。（1）若通過動力控制系統(tǒng)，使得飛機模型在以后的每一分鐘里，上升的高度都比

7、它前一分鐘上升的高度少2米，達到最大高度后保持飛行，問飛機模型上升的最大高度是多少?（2）若通過動力控制系統(tǒng)，使得飛機模型在以后的每一分鐘上升的高度是它在前一分鐘里上升高度的80%,那么這個飛機模型上升的最大高度能超過75米嗎？請說明理由。解：（1）由題意，飛機模型每分鐘上升的高度構成=15,1=-2的等差數(shù)列，則S=+-一d=5n+一-一x（2）3分=-n2+16當=8時，（S"）max=Sg=64即，飛機模型在第8分鐘上升到最大高度為64米。5分（2）不能超過。6分由題意，飛機模型每分鐘上升的高度構成4=15,0=0.8的等比數(shù)列，則業(yè)免=15。-。8）=75（10.8）8分-q

8、0.2飛機模型上升的最大高度是這個等比數(shù)列的各項和。即，S=limS=-=75I”-q1-0.8所以，這個飛機模型上升的最大高度不能超過75米。10分（本題滿分12分，第1小題4分，第2小題4分，第3小題4分）己知：a.5、Z是同一平面內(nèi)的三個向量，其中a=（1,2）（1）若|c|=2V5,Rc/a,求Z的坐標；-A/I一一（2）若b=a+2b與2ab垂直，求與b的夾角0；2（3）若5=（1,1）,且方與4+人5的夾角為銳角，求實數(shù)A的取值范圍。解：（1）設c=（x,y）,由c。和|c|=2V5可得：1-2x=0.（x=2或x=-2x2+y2=20y=4一y=-4.c=(2,4),或c=(-2

9、,-4)4分(2)由G+25)_L(2，一5)得，(方+2片).(2方片)=05分即，2a+3ab-2b=02時'+3方.片一期七。52x5+3f/?-2x-=0,所以ah=-_56分421得，COS=ITIT=_1由。£0,勿l+H得，0=兀.8分(3)。=(1,2)ntz+4/?=(人+1,4+2)由。與a+Ab的夾角為銳角，得a-(a+Ah)>0人+1+2A+4>0A,>10分35若aHaMb得4=0,所以，Ag,0)U(0,4-oo)12分319. （本題滿分14分，第1小題4分，第2小題5分，第3小題5分）設x軸、），軸正方向的單位向量分別為；,j

10、,坐標平面上的點A”滿足條件：函=；+；夜>2叮-亍（K）。（1）若數(shù)列%的前項和為s”，且s=宓章二，求數(shù)列%的通項公式。（2）求向量函二的坐標，若左Q4Ah（cN*）的面積Sama構成數(shù)列也，寫出數(shù)列也的通項公式。（3）若烏=虹-2,指出為何值時，§取得最大值，并說明理由。%解：（1）由題意席=宓;=2"-12分當=1時，at=s,=2-1=1當/?>2時，5心=2”-|一1由一得：%=2"_（2-i_1）=2"T又當=1時，弓=1符合題意，所以an=（N'）4分（不對=1的情況進行驗證說明的扣1分）(2)解:瓦=函+班+.+X&

11、gt;(1+2+22+.+2”)；+(1-11)7=(2n+,-l)Z+(1-«)7所以，O47=(2,+,-l,l-/?)7分由當時，。4/咔的頂點坐標分別為：0(0,0)、凡(1,1)、隊2*-1,1-)得，111。1=扣+-2)=2”+導9分2M+,-l1-1即b=T+5eN*)10分n2(其他方法求出(M通項公式的參照給分)2”+火=oo一2&=工一2=-2=-II分"q2”t2業(yè)、cz一2_3當時，cn-cn.=-nn-l22"-14業(yè)、cz一2_3當時，cn-cn.=-nn-l22"-142.1<«<3時，c是遞

12、增數(shù)列，時,12分%是遞減數(shù)列,&<c2<c3=c4>c5>c6>.>c;>&<c2<c3=c4>c5>c6>.>c;>13分.L當=3或=4時，c”取得最大值，g=eq=8（設最大項、解不等式等方式闡述理由的參照給分）14分7、在直角坐標系X。），中，已知曲線G：x=,+擋-2建為參數(shù)）與曲線G：x=osin。八y=3cosO為參數(shù)，。0）有一個公共點在x軸上，則"=3【答案：-128、已知匕分別為雙曲線。專-切=1的左、右焦點'點人在曲線。上，點M的坐標為（2,0）,AM）

13、AF2的平分線,則AF2=【答案：6解析：.項（一6,0），政6,0）,由角平分線的性質(zhì)得俱=欄耳=§=2,例4又|M|T洞=2x3=6,.|M|=6.】9、已知直線L:x+y-9=0和圓由：2工2+22一8工一8），一1=0,點A在直線£上，B,C為圓M上兩點，在ABC中，ZBAC=45°,過圓心則點人橫坐標范圍為.【答案：3,6解析：設人（。,9一），則圓心M到直線AC的距離d=|AAf|sin45。，由直線AC與圓MV34有公共點，則d"即混弓，解得3S6.】*2210、橢圓芬+春=1（。對0）上任意兩點P,Q,若OP1OQ,則乘積|OP|OQ|的

14、最小值為.答案：己當a-+b解析：設P（|OP|cosa|OF|sin。）,Q|O0cos0±-OQsin0±-,由于P,Q在橢圓上，有1cos20sin20，一、b2b2:=+-5-,l°Psin哲cos26?,+得兩十商節(jié)b2于是當|OP|=|O0=山與時，|0外|0。|達到最小值戔】二、選擇題（本大題滿分16分，共有4題，每題都給出四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)，選對得4分，否則一律得零分.）11、在復平面內(nèi)，其數(shù)津主（，是虛數(shù)單位）所對應的點位于（）3-4/A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答

15、案：B12、己知拋物線關于a軸對稱，它的頂點在坐標原點0,并且經(jīng)過點M（2,），o）.若點M到該拋物線焦點的距離為3,則0M=（）A.25B.4C.2y/3D.2>/2【答案：C解析：設拋物線方程為寸=2px,焦點F,貝ij|MF|=2+Z=3,.p=2,.>2=4x,0M=+yl=V22+4x2=2V3.113、設m,ngR,若直線（7+l）x+（+l）y-2=0與圓（x-l）?+（3J-1）2=I相切，則m-n的取值范圍是（）A.p/3,1+B.1-Up+/，+8）C.2-2>/2,2+2V2D.（*,2-2心加2+2次+00）【答案：D圓心為（1,1）,半徑為I.直線與

16、圓相切，所以圓心到直線的距離滿足|(2+1)+(+1)-2=0|(m+nY、-=1,即m+n+=mn<,設m+n=z,即J(m+1八(+1尸2J-z2-z->0,解得z<2-2V2,或zN2+2>/.】4直嶗+臺1,與橢畦+卜|相交于戲兩點，該橢圓上點P,使得她面積等于3.這樣的點P共有()A.1個B.2個C.3個D.4個【答案：B解析：直線與橢圓的交線長為5.直線方程3x+4y-12=0.設點P(4cos8,3sin。).點P與直線的距離d=咻"；皿-1|,當8京史時，6/<(V2-1),<6(72-1)<3,即此時沒有三角形面積為3；51

17、C當-<9<2tu時，J<(V2+1),SAPAf<6(72+1)，即此時有2個三角形面積為3.選5B.三、解得題(本大題滿分44分，共有4題，解答下列各題必須寫出必要步驟.)15、(本題1()分)己知復數(shù)z滿足|z-2|=2,z+eR,求z.【解：設z=x+yi9(x,yeR)t則44z.4(ji-yz)4x(4y).z+=z+=x+)v+=X+y一Izzzx+yx+x+Jz+gR»，.y-=0,乂|z2|=2,，.(a*2)24-y2=4,zx+y11.聯(lián)立解得，當y=0時，x=4或x=0(舍去x=0,因此時z=0),當y壬0時，",z=1

18、77;>/3i,綜上所得Z=4,Z2=1+=1.】y=±j316、(本題10分)己知以點P為圓心的圓經(jīng)過點A(-1,0)和8(3,4),線段人B的垂直平分線交P于點C和。，且|CD|=4面.求圓P的方程.【解：直線人B的斜率為k=l,AB中點坐標為(1,2),所以直線CD的方程為y-2=-(x-l),即工+y-3=0.設圓心P(a,b),則由P在CO上得a+b-3=0.又由直徑|C£>|=4J16,.|PA=2面".(。+1尸+厭=40.a=3修=5由解得或,.圓心P(-3,6)或F(5,-2),0=6b=-2.圓P的方程為(x+3)2+(y-6)2=

19、40或(x-5)2+(y+2)2=40.117、(本題12分)已知橢圓G:+/=!.過點(,0)作圓J+),2=i的切線/交橢圓G4于A,8兩點.(1) 求橢圓G的焦點坐標：(2)將泌四表示為，的函數(shù)，并求|A8|的最大值.【解：(1)由已知得a=2,b=l,.c；項=后,.橢圓G的焦點坐標為(項,0),危,0).(2) 由題意知，時21.當z=l時，切線/的方程為x=l，點48的坐標分別為h,1,-,此時2)2)四=右；當m=-1時，同理可得pB|=>/3；當時>1時，設切線方程為y=k(x-m),y=k(x一in)由x2,(1+4A:2)x2-Sk2nix+4k2fn2-4=0

20、.+y2=14-設A,B兩點兩點坐標分別為(a*!,y),(易，力)，則8k'm4k2m2-4，"-又由/于圓x2+y2=l相切，得EPnrk2=k2+.所以|AB=yl(xx2)+(>'-y2)(1+®)64妒冰(1+4X?)24(4k"-4)43|/n|tn2+3由于當m=±1時，=所以AB=(-oo,-lUt+°°)因為網(wǎng)=心-4因為網(wǎng)=心-4當?shù)﹥H當m=土退時，網(wǎng)=2,所以|A8|的最大值為2.】18、（本題12分）過拋物線），2=2px（p>0）的對稱軸上一點A（",0）（>0）的

21、直線與拋物線相交于M,N兩點，自M,7V向直線l:x=-a作垂線，垂足分別為虬，（1）當a=時，求證：AM.1AN.；21'（2）記MMMqMNMNN的面積分別為S,S&是否存在人，使得對任意的。>0,都有5=AS,S3成立.若存在，求出人的值；若不存在，說明理由.【解：依題意，可設直線MV方程為工=2），+。,山0,凹）,？/（易，力），則有x=my+a、,消去尤可得y-2mpy-2ap=0f從而有，y=2px)'i+)2=2mpyy2=-2ap)'i+)2=2mpyy2=-2ap于是X+易=，()'i+)%)+2i=2(矽p+a)又由=2pxq

22、：=2網(wǎng)可得3羽=（）?；）=（:華）=。4p4p/、如圖I,當號時，點喧。）即為拋物線的焦點，為其準線-py2b并由可得>,i>2=-p2.-py2b并由可得>,i>2=-p2.證法1:=(一,y,),AN=(-p,*)，A-AN,=p2+y,y2=p2-p2=0,即AM1AN.證法2：咽=玲知=專f加=晉=專=-1，55（2）存在2=4，使得對任意的。>0,都有S；=4S§成立，證明如下:證明：記直線/與工軸的交點為片，貝ij|OA|=|%|=。.于是有S產(chǎn)項M崎.也崎"0+仍山禹=!時Nj|M|=d)W，S3=nnJ.仇加=；(易+心亦S

23、；_疽m_yj_4"2()1+力)2_4”2S&；0+0)(易+司)仍|中2+心+工2)+/邸2由、代入上式化簡可得§-=4,所以對任意的。>0,都有S；=4S6恒成立.】四、附加題19設橢圓E：；+】=l(oM>0)過M(2,S,N(R,)兩點，O為坐標原點.是否存ab"在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,R0A10B?若存在，寫出該圓的方程，并求出|AB|的取值范圍；若不存在，說明理由.2_822摭4,所以橢圓-的方程為2m2-8(2)假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點且0A1

24、0B,設該圓的切線方程為y=+m,解方程組，(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,則A=16/:2w2-4(14-2k2)(2m2-8)=8(82-m2+4)>0,即Sk2-m2+4>0,）'i，2=（上9+）（奴2+m）=k2xx2+to（X+易）+m'=二（2次一8）4k2m22一源1+2尸*次=1+2尸所以C崎土。，又奸辦4>°,所以.m,所以,2>,即m>3nr>8331+2妒1+2好1+2妒1+2好要使OALOB，需使不易+刃）2=0，即2mf+，n=0>所以W-8A:2-8=0,0nr|"|=J（X|工2）'+（）i一）2）2=j（l+*）'4饑丫4（2麻-8）1+