1、一階線性微分方程 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第四節 第七章 一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程一階線性微分方程標準形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 稱為非齊次方程非齊次方程 .1. 解齊次方程分離變量xxPyyd)(d兩邊積分得CxxPylnd)(ln故通解為xxPeCyd)(稱為齊次方程齊次方程 ;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對應齊次方程通解xxPeCyd)(齊次方程通解非齊次方程特解xxPCed)(2. 解非齊次方程)()(ddxQyxPxy用常數變易法常數變易法:,)()(d)(xxPexuxy則xxPeu

2、d)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作變換xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(兩端積分得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy積分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常數變易法常數變易法求特解. 令,) 1()(2xxuy則) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解為Cxx

3、y232) 1(32) 1(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 求方程的通解 .解解: 注意 x, y 同號,d2d,0 xxxx時當yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由一階線性方程通解公式通解公式 , 得ex yy2dey1yy2dCxlnd故方程可變形為0d2d3yyxyyxxyy1y1 lndCy所求通解為 )0(CCeyyxyCyln這是以x為因變量, y為 自變量的一階線性方程機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為 0例例3. 有一電路如圖所示, ,sintEEm電動勢為電阻 R 和電. )(tiLERK解解: 列方程 .已知經過

4、電阻 R 的電壓降為R i 經過 L的電壓降為tiLdd因此有,0ddiRtiLE即LtEiLRtimsindd初始條件: 00ti由回路電壓定律:其中電源求電流感 L 都是常量,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 LERK解方程:LtEiLRtimsindd00tiCxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(由初始條件: 00ti得222LRLECm)(ti dtLRetLEmsintLRmeCtLtRLRE)cossin(222tetLRddC利用一階線性方程解的公式可得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 tLRmeLRLEti222)()cossin(222tLtRLREmtLRmeLR

5、LEti222)()sin(222tLREm暫態電流穩態電流則令,arctanRLLERK因此所求電流函數為解的意義: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 *二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的標準形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd則)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法解法:(線性方程)伯努利 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解:

6、令,1 yz則方程變形為xaxzxzlndd其通解為ez 將1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cx d2)ln(2xaCx代入, 得原方程通解: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結1. 一階線性方程)()(ddxQyxPxy方法1 先解齊次方程 , 再用常數變易法.方法2 用通解公式CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(,1 nyu令化為線性方程求解.2. 伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd)1,0(n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習判別下列方程類型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyx

7、yx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分離 變量方程xyxyxylndd齊次方程221dd2xyxxy線性方程221dd2yxyyx線性方程2sin2ddyxxyxxy伯努利方程機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P315 1 (3) , (6) , (9) ; 2 (5) ; 6 ; 7 (3) , (5) 作業第五節 目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題1. 求一連續可導函數)(xf使其滿足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0則有xxfxf

8、cos)()(0)0(f利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 設有微分方程, )(xfyy其中)(xf10,2 x1,0 x試求此方程滿足初始條件00 xy的連續解.解解: 1) 先解定解問題10, 2xyy00 xy利用通解公式, 得xeyd1dd2Cxex)2(1CeexxxeC12利用00 xy得21C故有) 10(22xeyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2) 再解定解問題1,0 xyy1122) 1 (eyyx此齊次線性方程的通解為) 1(2xeCyx利用銜接條件得) 1(22eC因此有) 1() 1(2xeeyx3) 原問題的解為y10),1 (2xex1,) 1(2xeex機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ( 雅各布第一 伯努利 ) 書中給出的伯努利數在很多地方有用, 伯努利伯努利(1654 1705)瑞士數學家, 位數學家. 標和極坐標下的曲率半徑公