1、 §4.2 換元積分法授課題目§4.2 換元積分法（第一類換元法）教學目的與要求：1. 理解第一類換元法的基本思想，它實際上是復合函數求導法則的逆過程，其關鍵是“湊微分”， .2. 掌握幾種典型的湊微分的方法，熟練應用第一類換元積分法求有關不定積分.教學重點與難點：重點：第一換元法的思想，難點：熟練應用第一換元法計算有關函數的不定積分.講授內容：一、第一類換元積分法設具有原函數，.若是中間變量，可微，則根據復合函數求導法則，有。所以根據不定積分的定義可得：以上是一個連等式可以改變順序從新寫一遍，就有.以上就是第一換元積分法。從以上可以看出，雖然是一個整體記號，但是被積表達式

2、中的可當作變量x的微分來對待,從而上式中的可以看成是的微分，通過換元，應用到被積表達式中就得到.定理1 設具有原函數，可導，則 (1)如何應用公式(1)，在求不定積分積分時, 如果被積函數g(x)可以化為一個復合函數與它內函數的導函數的積的形式的形式, 那么 .所以第一換元積分法體現了“湊”的思想.把被積函數湊出一個復合函數與其內函數的積來.例1 求解 ，可設中間變量，所以有.首先觀察被積函數的復合函數是什么樣的，然后看是否有它的內函數的導數，若沒有就去湊。例2 解 令，顯然，則.在比較熟練后，我們可以將設中間變量的過程省略，從而使運算更加簡潔。例3 解 如將展開是很費力的，不如把作為中間變量

3、，.例4 .例5 例6 求 .二、掌握幾種典型的“湊微分”的方法； ； ； ； ； ； ； 。三、利用第一換元積分法法計算有關函數的不定積分計算有關函數的不定積分時，需要先把被積函數變形轉化，再利用第一換元積分法計算.例7 求解 .（此題利用三角函數中的降冪擴角公式）例8求解 .利用，有如下例題例9 求解 例10求 解 .利用，例11 求 習題 4-2:2(30)解 .例12 求解 .例13 求解 .此題利用下面幾個例題利用例14 求解 .又如習題 4-2:2（16）;解 . 例15 求解 .第一次課可以講到這里. 被積函數是分母是二次函數,分子是常數或一次函數的有理分式函數的不定積分的求法(

4、例16例22六個例題)例16求 分子是常數，分母是二次二項式，沒有一次項.解 .例17 被積函數分母是一個完全平方式解 .被積函數分母是一個完全平方式，被積函數化為例18 分子是常數，分母是二次三項式，不是完全平方式解 被積函數分母是二次三項式且不可以分解因式，不是完全平方式時可以把分母配方化為的形式， 然后利用 練習：求（第一換元積分法分）解 ， 例19 求 分子是常數，分母是二次三項式且可以分解因式解 .被積函數分母是二次三項式且可以分解因式，被積函數可以用裂項法轉化為兩個簡單分式的差.例20求 分子是一次多項式，分母是二次多項式解 .例21求解 ，則 .被積函數分子是一次多項式，分母是二

5、次多項式時，首先把分子湊成分母的導數.下面幾個例題利用三角函數的微分公式：；例22 求 （化切為弦）解 例23 求解 例24 求.因為 .所以 .此題用三角萬能公式代換也可以.例25 求解 .例26 求（利用三角函數積化和差公式）和差化積公式 積化和差； 解 根據三角函數的積化和差公式：.由以上例題可以看出，第一換元積分法是一種非常靈活的計算方法，始終貫穿著“湊微分”思想，因此學生應熟悉這些基本例題。歸納總結1.第一換元法是把被積函數g(x)湊成的形式然后應用公式；2.要熟練掌握幾種典型的“湊微分”的方法。；.3.熟練掌握幾種典型用第一換元積分法計算的不定積分； ； 課堂練習：第一次課1，習題 4-2:2(2)(5)(6)(8)(10)(12)(16)(18)(19)；第二次課2(11)(35)(43)(12)(29). 課外作業：第一次課習題 4-2:2(1) (2)(4)(6) (7) (8) (9) (13)