1、精選優質文檔-傾情為你奉上第5章 定積分及其應用定積分的概念與性質 【教學目的】：1. 理解曲邊梯形的面積求法的思維方法；2. 理解定積分的概念及其性質；3. 掌握定積分的幾何意義 ；【教學重點】：1. 定積分的概念及其性質；【教學難點】：1. 曲邊梯形面積求法的思維方法；【教學時數】：2學時【教學過程】：案例研究引例5.1.1 曲邊梯形的面積問題圖5-2所謂曲邊梯形是指由連續曲線(設)，直線，和(即軸)所圍成的此類型的平面圖形（如圖5-1所示）下面來求該曲邊梯形的面積 圖5-1分析 由于“矩形面積=底高”，而曲邊梯形在底邊上各點處的高在區間上是變動的，故它的面積不能按矩形面積公式計算.另一方

2、面，由于曲線在上是連續變化的，所以當點在區間上某處變化很小時，相應的也就變化不大.于是，考慮用一組平行于軸的直線把曲邊梯形分割成若干個小曲邊梯形，當分割得較細，每個小曲邊梯形很窄時，其高的變化就很小.這樣，可以在每個小曲邊梯形上作一個與它同底、以底上某點函數值為高的小矩形，用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，進而用所有小曲邊梯形的面積之和近似代替整個曲邊梯形的面積（如圖5-2所示）.顯然，分割越細，近似程度越高，當無限細分時，所有小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形面積的精確值. 根據以上分析，可按以下四步計算曲邊梯形的面積.（1）分割 在閉區間上任意插入個分點， ，將閉區間分成個小區間 ，它

3、們的長度依次為 ，過每一個分點作平行于軸的直線，把曲邊梯形分成個小曲邊梯形；（2）取近似 在每個小區間上任取一點，以小區間為底，為高作小矩形，用小矩形的面積近似代替相應的小曲邊梯形的面積，即 ，（3）求和 把這樣得到的個小矩形的面積加起來，得和式，將其作為曲邊梯形面積的近似值，即 ； （4）取極限 當分點個數無限增加，且小區間長度的最大值（）趨于零時，上述和式的極限值就是曲邊梯形面積的精確值，即 .5.1.1 定積分的定義定義1 設函數在閉區間上有界，在閉區間中任意插入個分點 ，將區間分成個小區間 ，各小區間的長度依次為 ，在每個小區間上任取一點，作函數值與小區間長度的乘積，并作和，記， ，當

4、無限增大且時，若上述和式的極限存在，則稱函數在區間上可積，并將此極限值稱為函數在上的定積分，記為 .即 ， 其中稱為積分變量，稱為被積函數，稱為被積表達式， 稱為積分下限，稱為積分上限，稱為積分區間，符號讀作函數從到的定積分.按定積分的定義，兩個引例的結果可以分別表示為：，關于定積分的定義作以下幾點說明：（1）和式的極限存在（即函數在上可積）是指不論對區間怎樣分法，也不論對點怎樣取法，極限都存在.（2）和式的極限僅與被積函數的表達式及積分區間有關，與積分變量使用什么字母無關，即 .（3）定義中要求積分限，我們補充如下規定： 當時，當時，（4）函數可積的兩個充分條件：若上連續，則上可積。若上有界

5、，且只有有限個第一類間斷點，則上可積。定積分的幾何意義 當時，由前述可知，定積分在幾何上表示由曲線，兩直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積；如果，這時曲邊梯形位于軸下方，定積分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負值，如圖53；圖5-4圖5-3 當在上有正有負時，定積分在幾何上表示軸，曲線及兩直線所圍成的各個曲邊梯形面積的代數和（見圖54），即 .5.1.2 定積分的性質以下性質中函數均為可積函數.性質1 函數和（差）的定積分等于它們定積分的和（差）,即 . 性質1可推廣到有限多個函數代數和的情形. 性質2 被積函數的常數因子可以提到定積分的符號外面， 即，（為常數）. 性質3 如果在區間上，則 ， 特別

6、地，時，. 性質3的幾何意義如圖57所示. 性質4（積分區間的可加性） 如果積分區間被點分成兩個區間和,則在整個區間上的定積分等于這兩個區間上定積分的和，即 . 注意：無論的相對位置如何，總有上述等式成立。 性質5 如果在區間上，則 . 性質6（定積分的單調性） 如果在區間上，有, 則 . 例2 比較下列各對積分值的大小（1）與（2）與解 （1）由冪函數的性質，在上，有 由定積分性質，得（2）在內有，得 性質7（估值定理） 如果函數在閉區間上的最大值為，最小值為，則 . 性質7說明，由被積函數在積分區間上的最大值和最小值可以估計積分值的大致范圍.例3 估計定積分的值.解 先求在區間上的最大值和最小值，為此求得， 令，得駐點，比較駐點處與區間端點處的函數值： ， ，得最小值，最大值，再根據估值定理，得 .性質8（積分中值定理） 如果函數在閉區間上連續，則至少存在一點，使得 這個公式