1、 不等式的證明（二）：反證法、放縮法、換元法、判別式法、構造法等證明不等式。 1. 證明不等式的其他方法有：反證法、放縮法、換元法、判別式法、構造法等，這些方法在證明不等式時各有利弊，不論應用哪種方法，都要注意對知識的靈活運用。 2. 反證法屬于間接證法，主要適用于命題的形式為否定式，其主要步驟如下：（1）作出與命題結論相反的假設（反設）；（2）在假設的基礎上，經過合理的推導，導出矛盾的結論（歸謬）；（3）肯定命題的正確性。在利用反證法證明不等式時，一是要將命題結論的反面找全，不要遺漏；二是要注意在證明過程中，綜合運用分析法與綜合法的解題思想。 3. 放縮法是證明不等式的一種特殊方法，也是很重

2、要的證明方法。它利用已知的基本不等式或某些函數的有界性、單調性等對新證式子適當放縮。通過證明加強命題以達到證明目的。其證明關鍵是要有明確的放縮目標，而這個目標來源于對試題的分析。 4. 換元法是把試題中反復出現的代數式用一個字母代替或用一個熟悉的函數替換，達到化繁為簡、化生為熟、化難為易的目的。在換元時要注意變元的等價性。 5. 當所證不等式一邊為含有某個字母的二次三項式時，可以考慮判別式法。因此此法應用具有局限性。它實質也是利用二次函數的性質來證明與之相關的不等式。 6. 構造法是通過構造方程（組）、函數、數列、不等式等來證明不等式的方法，它將證明不等式化歸為比較函數值的大小，此法對數學能力

3、要求較高，在高考或競賽中經常需要用構造法解題。在利用函數單調性證明不等式的過程中，難點就是構造函數，并且利用這個函數的單調性易證（或是熟悉的函數）。 7. 證明不等式的方法很多，對同一個不等式，思考角度不同，選擇的方法也有所不同。因此，同一個不等式證明方法可能有四種、五種，甚至更多，選擇更合適、簡捷的方法，需要多比較、多思考。因此，不等式的證明對學生而言，沒有固定模式，對其能力要求較高。 例1. 若都是小于1的正數，求證：不可能同時大于。 分析： 此命題的形式為否定式，宜采用反證法證明，可假設命題不成立，則，三個數都大于，即： 因而有下面兩個顯然的不等式： 若能證明其中有一個不成立，則“命題不

4、成立”的假設就被否定了，故只需證明： 或 證明一： 以上三式相加，得： 若三個數都大于，則就都大于，其和就大于，這與上式矛盾。故假設不成立，命題獲證。 證明二： 假設三個數都大于，則它們的積大于，這與上式矛盾，故假設不成立，所以命題獲證。 說明：本題兩種方法均屬反證法，在證明過程中，貫穿了分析法與綜合法的解題思想。 例2. 若。 求證：。 證明： 又 綜上有： 說明：本題利用放縮法來證明，放縮時，特別要注意掌握放縮的尺度。 例3. 已知，求證：。 分析： 注意到三個正數的關系：，可采用三角代換來證，即令。從而得出結論，另外，也可以直接利用增量換元法，對問題進行轉化。 證明一： 又 令， （）

5、不等式左邊 證明二： ，設 則 則原不等式轉化為證明 即證 即證 由均值不等式知，當且僅當，即時等號成立。 說明：法二這種換元方法，在數列中應用較多，在法二中，通過換元，將問題轉化為利用均值不等式就可證明的結論。 例4. 設，求證： 證明： 由 同理可得： 這表明a、b均為二次方程 的兩個根，但，故判別式為正數。 即 從而有， 說明：這個證法的特點是通過確定c的范圍來確定a+b的范圍。在確定c的范圍時，把不等式的證明與不等式的求解溝通了，所用證法是判別式法。 例5. 設。 求證：“”當且僅當時成立。 證明： 當時，命題顯然成立。 當中至少有一個不為零時，構造方程： 此方程可化為： 由此可知，該

6、方程沒有實數根，或有兩個相等的實數根（僅當時）。 故 因此 當且僅當時取“”號 說明：此題稱為柯西不等式，是競賽中要求掌握的重要不等式，本題采用構造方程來解題的方式，證明中先討論的情形是必要的，否則方程未必是關于的一元二次方程。一. 選擇題。 1. 已知，且，設，則M、N的大小關系是（ ） A. B. C. D. 不能確定 2. 若，且，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 3. 設，且，則下列結論中正確的是（ ） A. B. C. D. 4. 設為正常數，的最小值是（ ） A. B. C. D. 二. 填空題。 5. 若，那么與1的大小關系是_。 6. 設，則的最大值是_。 7. 若，則的最小值為_。三. 解答題。 8. 設是互不相等的實數，則中不超過的最少有幾個？ 9. 證明不等式： 10. 設是0，1上的實數值函數，證明：存在，使得：。【試題答案】一. 選擇題。 1. A2. D3. D4. C二. 填空題。 5. 提示：，將a放大求和。 6. 1 提示：令，換元可得： 7. 提示：三. 解答題。 8. 提示：不妨設，設m是中的最小者 則 則 得： 可見中最小者必不超過，說明至少有一個滿足要求。 當時， 說明中可能只有一個滿足不超過。 綜上，要求的最少個數為1。 9. 提示：法一（放縮法） 由 令k1，2，3，n，則有 ， 相加得：