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文檔簡介

1、好題速遞251題設(shè)為正整數(shù),方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的根,則的最小值是 解:于是問題轉(zhuǎn)化為直線與打勾函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均在區(qū)間內(nèi),于是注意到為整數(shù),于是在區(qū)間上存在整數(shù)的充要條件為解得故的最小值為6,而的最小值為7,則的最小值為13好題速遞252題已知,求的最小值是 解法一:令,則因此,整理得故用判別式,解得解法二:設(shè),條件轉(zhuǎn)化為,即所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為的最小值由此可有斜率角度求值域:,(視為單位圓上的點(diǎn)與連線斜率),則也可由三角函數(shù)角度求值域:評(píng)注:這里因?yàn)橛龅降慕Y(jié)構(gòu),故三角換元設(shè),。解法三:數(shù)形結(jié)合當(dāng)時(shí),點(diǎn)為上的一點(diǎn),則如圖,就是典型的“飲馬問題”,點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)到軸的距離為當(dāng)時(shí),

2、點(diǎn)為上的一點(diǎn),則而于是好題速遞253題如圖,直線與平面,垂足是,正四面體的棱長為4,點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是 解:題意中是點(diǎn)是定點(diǎn),正四面體運(yùn)動(dòng),但始終保持不變不妨反過來換位思考,將正四面體固定下來,讓點(diǎn)在以為直徑的球面上運(yùn)動(dòng),如圖所示。接下來可以得到點(diǎn)到直線的距離的取值范圍就是球心到直線的距離減去球的半徑與球心到直線的距離加上球的半徑之間,即好題速遞254題已知,對(duì)任意滿足的實(shí)數(shù),都有成立,則的最大值是 解法一:顯然于是問題轉(zhuǎn)化為求的最大值當(dāng)時(shí),容易得到,由圖可知直線在上的值域?yàn)榈淖蛹谑切甭时厝辉趦?nèi),故從而當(dāng)時(shí),原式取到最大值為40解法二:絕對(duì)值不等式

3、因?yàn)楣剩夥ㄒ痪毩?xí):若對(duì)任意滿足的實(shí)數(shù),都有成立,則的取值范圍是 如圖,易得點(diǎn)評(píng):本題就是將一次函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)槎魏瘮?shù),異曲同工。好題速遞255題已知圓為的外接圓,且,若,則的最大值為 解:如圖,延長交邊于點(diǎn),設(shè)則由三點(diǎn)共線可知,從而顯然當(dāng)取最小值,即時(shí),取得最大值,此時(shí)為等腰三角形,可得好題速遞256題已知非零向量和互相垂直,則和的夾角余弦值的最小值是 解:令,則好題速遞257題已知正數(shù)滿足,則的取值范圍是 解:設(shè),則又因?yàn)榧矗獾卯?dāng)且僅當(dāng)時(shí),;當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),好題速遞258題已知實(shí)數(shù),若,則的最小值是 解法一:待定系數(shù)法待定系數(shù)法,令,解得故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得解法二:令,即時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得解法三

4、:三角換元設(shè),原問題轉(zhuǎn)化為,求的最小值令,故問題又轉(zhuǎn)化為已知,求的最小值于是因?yàn)椋试u(píng)注:這里又遇到的結(jié)構(gòu),故可三角換元設(shè),10月1日每日征解有相同的處理方法。好題速遞259題已知中,點(diǎn)是線段上一點(diǎn),且,則的取值范圍是 解:根據(jù),可知在以為直徑,以中點(diǎn)為圓心的圓上。又,且,根據(jù)投影的幾何意義為點(diǎn)在的中垂線上,又點(diǎn)在上,故點(diǎn)就是線段的中垂線與線段的交點(diǎn)又,故問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求的取值范圍顯然當(dāng)與重合時(shí),與接近重合時(shí),故好題速遞260題在正方體中,若點(diǎn)(異于點(diǎn))是棱上一點(diǎn),則滿足和所成的角為的點(diǎn)有 個(gè) 解:如圖,將正方體的各個(gè)頂點(diǎn)(除B點(diǎn)外)分類,規(guī)定當(dāng)頂點(diǎn)與的連線與直線所成的

5、角大于等于時(shí)為一類,小于時(shí)為一類。顯然與所成角的正切值為,故大于與所成角的為,大于與所成角的為,大于與所成角的正切值為,小于當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到時(shí),角度從大于變化到小于,一定經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)滿足;依此類推,當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí),都經(jīng)歷過角度從小于到大于的變化,故滿足條件的點(diǎn)共有3個(gè)。點(diǎn)評(píng):本題雖然是立體幾何問題,但類似于函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理(一上一下中間一點(diǎn)),角度的變化不會(huì)發(fā)生突變,故在變化的過程中一定存在一個(gè)臨界點(diǎn)。這種思想在處理選擇題時(shí)經(jīng)常用到。好題速遞261題在中,是邊上一點(diǎn),若的外心恰在線段上,則 解:設(shè)因?yàn)槭堑妊切危剩垂视性賹?duì)上式兩邊同時(shí)與作數(shù)量積,有,得故由余弦定理得即點(diǎn)評(píng):本題的一個(gè)難點(diǎn)在

6、于從等腰三角形想到在方向的分量一樣,即系數(shù)一致求出。其次還是向量與外心合作的老套路點(diǎn)積轉(zhuǎn)邊長。好題速遞262題已知平面和相交形成的四個(gè)二面角中的其中一個(gè)為,則在空間中過某定點(diǎn)與這兩個(gè)平面所成的線面角均為的直線有 條解:設(shè)平面和平面過點(diǎn)的法線(垂直于平面的直線)分別為,則而直線與兩個(gè)平面所成的線面角均為可轉(zhuǎn)化為直線與法線所成的角均為由“雞爪定理”可知,直線與法線所成角為的直線有3條。點(diǎn)評(píng):平面的法向量是平面方向的代表。“雞爪定理”:如圖,若直線所成角為,則與直線所成角相同的直線一定在直線的角平分面上,且該角的取值范圍是和其中與就是直線正好為直線的兩條角平分線時(shí),就是垂直時(shí)取得。好題速遞263題已

7、知向量滿足,則最大值為 。解法1:(方程構(gòu)造法)構(gòu)造方程則,當(dāng)且僅當(dāng),且時(shí),上式等號(hào)成立解法2:(不等式法)對(duì)于條件,則有,又因,則有,則,因此最大值為解法3:(極化恒等式法)設(shè),取的中點(diǎn)為,對(duì)于,因可以變化,當(dāng)趨向于度時(shí),趨向于,而,則,因此最大值為好題速遞264題已知過點(diǎn),且斜率為的直線與圓:相交于兩點(diǎn)則 解法1:(普通方法)設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為,則,由直線與圓聯(lián)立得,因此有,因此可得解法2:(極化恒等式)如圖所示,取的中點(diǎn)為,則,由極化恒等式可得點(diǎn)評(píng):這里的極化恒等式并沒有出現(xiàn)在三角形中,但仍然適用。其本質(zhì)就是圓的切割線定理。好題速遞265題已知為雙曲線上經(jīng)過原點(diǎn)的一條動(dòng)弦,為圓:上的一個(gè)

8、動(dòng)點(diǎn),則的最大值為 。解法1:(普通方法)設(shè),滿足;設(shè),滿足,因此,因此的最大值為解法2:(借助于極化恒等式)如圖所示,為的中點(diǎn),由極化恒等式可得,而,因此的最大值為好題速遞266題在平面直角坐標(biāo)系中,是軸正半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),(異于原點(diǎn))為軸上一個(gè)定點(diǎn),若以為直徑的圓與圓相外切,且的大小為定值,則 解:設(shè)以為直徑的圓的圓心為,半徑為,則可設(shè)由兩圓相外切得而,因?yàn)槭嵌ㄖ担詾槌?shù),所以好題速遞267題已知等比數(shù)列的公比,其前項(xiàng)和為,若,則的最小值為 解法1:從等比數(shù)列的基本量入手由得,得所以令,則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)。解法2:從等比數(shù)列的性質(zhì)入手因?yàn)榈缺葦?shù)列有性質(zhì):將代入,得又因?yàn)榈茫矗驗(yàn)椋?/p>

9、所以所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)。好題速遞268題已知,點(diǎn),過原點(diǎn)的直線(不與軸重合)與交于兩點(diǎn),則的外接圓的面積的最小值為 解:,要求外接圓的面積的最小值,即求的最小值,即求的最大值設(shè),由極化恒等式知故故所以,所以,好題速遞269題已知數(shù)列的前項(xiàng)和分別為,記,若,則數(shù)列的前2015項(xiàng)和為 解:當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),好題速遞270題鈍角中,則 解:由得故故或由于為鈍角三角形,故,所以好題速遞271題在中,若,則的最小值為 解:常規(guī)思路“切化弦”好題速遞272題在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)是圓上相異的三點(diǎn),若存在正實(shí)數(shù),使得,則的取值范圍是 解:設(shè),則,于是由得故,兩式平方相加得,即又故即,畫出可行域如圖,目標(biāo)函數(shù)

10、視為可行域內(nèi)的點(diǎn)到的距離的平方,所以的最小值為所以好題速遞273題若對(duì)于滿足的一切實(shí)數(shù)t,不等式恒成立,則x的取值范圍為 解:原不等式化為,或,或點(diǎn)評(píng):本題常規(guī)的解法應(yīng)該是將視為主元,將視為系數(shù)去解,但這個(gè)關(guān)于的不等式是三次不等式,不好處理,所以本題的解法是將不等式因式分解后先化簡,在轉(zhuǎn)為恒成立問題。這個(gè)題目的解法也可以處理浙江省2012年高考題。(2012浙江理17)設(shè)R,若時(shí),均有,則 本題有很多解法前面已經(jīng)介紹過,這里用本題采用的方法再來處理一次。解:將視為關(guān)于的二次不等式,即整理為因?yàn)椋剩?dāng)當(dāng)時(shí),則,所以即,即當(dāng)時(shí),則,所以即,即綜上,好題速遞274題ABCDOyx如圖,在平面直角坐

11、標(biāo)系xOy中,橢圓被圍于由4條直線,所圍成的矩形ABCD內(nèi),任取橢圓上一點(diǎn)P,若(、),則 解:設(shè)P(x,y),由(x,y)=m(a,b)+n(-a,b)=(am-an, bm+bn)好題速遞275題若X是一個(gè)非空集合,M是一個(gè)以X的某些子集為元素的集合,且滿足: XM、M; 對(duì)于X的任意子集A、B,當(dāng)AM且BM時(shí),有ABM; 對(duì)于X的任意子集A、B,當(dāng)AM且BM時(shí),有ABM;則稱M是集合X的一個(gè)“M集合類”例如:是集合的一個(gè)“集合類”已知集合,則所有含的“集合類”的個(gè)數(shù)為 解:的子集有8個(gè),為:,.中必含、,另5個(gè)元素,再分配。注意到=,=,=,故若在中,則也在中,若在中,則也在中,若與在中

12、,則也必在中.故對(duì)這5個(gè)元素在中的搭配情況進(jìn)行分類:5個(gè)都不取,即=,1個(gè);從、中各取一個(gè)充入,有3個(gè);從、中各取一個(gè)充入,有3個(gè);從、中各取一個(gè)充入,有4個(gè);把充入,有1個(gè);故共有12個(gè)好題速遞276題設(shè)是非零向量,且,則的最大值是 解法一:(代數(shù)角度運(yùn)算)令,則題目簡化為,求的最大值,故aOABb3b2bMC2解法二:(幾何角度)畫出,的幾何圖形,即,問題變?yōu)榈膬蛇叿謩e為1和2,求中線的長度的最大值。(即構(gòu)造平行四邊形,發(fā)現(xiàn)三角形兩邊之和大于第三邊,當(dāng)構(gòu)不成三角形時(shí)取得等號(hào)),故ABCM解法三:(坐標(biāo)角度)將畫成如圖形狀,則點(diǎn)在以為圓心,1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),再求中線的最大值。本題還可以建系

13、設(shè)點(diǎn)做,設(shè),則即點(diǎn)評(píng):本題是一個(gè)向量的好題,妙在可以從代數(shù)、幾何和坐標(biāo)運(yùn)算三種常見角度操作。一般地,向量模長問題,平方就是代數(shù)運(yùn)算,不平方是幾何意義,必要時(shí)活用坐標(biāo)建系。好題速遞277題(須凌峰供題)在,以為一邊向外作等邊,若,則 解:注意到又是求向量系數(shù)之和,故可以用三點(diǎn)共線來做。ABDC E F如圖,延長與交于則,且故設(shè),則,即,即是等腰直角三角形,故,所以,故故點(diǎn)評(píng):本題入手是由三點(diǎn)共線,在處理的過程中利用三倍角的正切公式來處理?xiàng)l件中的二倍角關(guān)系,不知道是否有初中的平面幾何知識(shí)可以迅速確定是等腰直角三角形。好題速遞278題(須凌峰供題)已知,則 解法一:代數(shù)方法由得故ABCEDFGH解法

14、二:幾何方法由可以畫出如右圖的其中兩條中線垂直,即,且為的中位線。注意到點(diǎn)恰好是的重心,所以連結(jié)交于,則是的中點(diǎn),即 故又因?yàn)闉橹苯侨切危剩杂质堑闹匦模裕瑸榈闹形痪€,所以所以好題速遞279題(賴尚毅供題)正方體棱長為1,為棱的中點(diǎn),則三棱錐的體積 解法一:等體積轉(zhuǎn)換如圖1,故,故再如圖2,取的四等分點(diǎn),則故,解法二:作面的延伸本方法的初衷就是利用兩個(gè)三棱錐的體積成比例,求出容易求的三棱錐體積,從而利用比例進(jìn)行轉(zhuǎn)化。注意到三棱錐與三棱錐是共底面的,所以它們的體積之比就是到的距離與到的距離之比()。如圖,作與的延長線交于,連結(jié)交于易得,故,故而所以好題速遞280題已知橢圓和圓,橢圓的左

15、右焦點(diǎn)分別為,過橢圓上一點(diǎn)和原點(diǎn)作直線交圓于兩點(diǎn),若,則 解:先處理焦點(diǎn)三角形,設(shè),則解得又因?yàn)椋仕院妙}速遞281題(2012杭州一模)設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù),若不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的最小值為 解法一:令,則令,則故的最小值為解法二:待定系數(shù)法與題中所給不等式相比對(duì),待定系數(shù)可得解得,故故的最小值為好題速遞282題已知是雙曲線右支上一點(diǎn),分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn), 若,則 解:由知是的角平分線又,故延長交于,則的角平分線又是高線,故是等腰三角形,因?yàn)椋剩首⒁獾竭€是的中點(diǎn),所以是的中位線,所以好題速遞283題設(shè),則 解:這種特殊的遞推關(guān)系,一旦沒有思路,先做幾項(xiàng)找找規(guī)律就是最好的辦法。

16、算出,找規(guī)律發(fā)現(xiàn)所以嚴(yán)格證明時(shí)就能想到辦法,去證是等比數(shù)列,故,得,點(diǎn)評(píng):一般數(shù)列題中不常見的特殊遞推關(guān)系或這為了應(yīng)景而求有2015這樣大數(shù)據(jù)出現(xiàn)時(shí),題目往往有規(guī)律,例如周期數(shù)列或者能觀察猜測出數(shù)列通項(xiàng)。由特殊到一般,完成題目。好題速遞284題已知梯形,且,雙曲線過三點(diǎn),且以為焦點(diǎn),當(dāng)時(shí),離心率的取值范圍是 解:以線段的中垂線為軸,直線為軸,建立直角坐標(biāo)系,則軸設(shè)由得,即,設(shè)雙曲線方程為,則由點(diǎn)在雙曲線上,得由(1)得代入(2)得整理得因?yàn)椋剩妙}速遞285題已知圓心角為120 的扇形AOB半徑為,C為 中點(diǎn)點(diǎn)D,E分別在半徑OA,OB上若CD 2CE 2DE 2,則ODOE的取值范圍是 解

17、:設(shè)ODx, OEy. 利用余弦定理,得DC2x2+1x;EC2y2+1y;DE2x2+y2+xy.代入CD 2CE 2DE 2得問題又轉(zhuǎn)化為常見的代數(shù)問題:已知,求的取值范圍。解法一:設(shè) ,則于是是關(guān)于的二次方程的兩個(gè)位于上的實(shí)數(shù)根故,解得解法二:由化簡得故解得好題速遞286題若關(guān)于的方程(其中)有實(shí)數(shù)根,則的最小值為 解:本題思路是轉(zhuǎn)換主元,將關(guān)于的方程看成關(guān)于的直線方程,于是目標(biāo)視為直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離平方原點(diǎn)到直線的最短距離的平方(令)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的最小值為點(diǎn)評(píng):同學(xué)們,你們還記得之前做過的幾道比較經(jīng)典的轉(zhuǎn)換主元的題目嗎?找找看,把幾道題目放在一起,發(fā)現(xiàn)它們的門道。好題速遞287題設(shè)

18、數(shù)列為等差數(shù)列,數(shù)列為等比數(shù)列,若,且,則數(shù)列的公比為 解:,又故是方程或的根,顯然第一個(gè)方程的解是不符合,舍去,故又由又,故綜上可得好題速遞288題已知二次不等式的解集為,且,則的最小值為 解:顯然且,故,又,故,好題速遞289題已知關(guān)于的方程有唯一解,則實(shí)數(shù)的值為 解:這個(gè)方程顯然直接解方程比較困難,因此越復(fù)雜的函數(shù)與方程越要從它的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)入手來處理,我們可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù),故零點(diǎn)必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。又由題意知函數(shù)的零點(diǎn)唯一,故必有且僅有解得或注意有兩解的情況要引起重視,往往需要檢驗(yàn)。經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),的零點(diǎn)不唯一,故好題速遞290題若函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù),在閉區(qū)間上總存在兩實(shí)數(shù),使得成立,則實(shí)

19、數(shù)的最小值為 解:式子描述的是函數(shù)在區(qū)間上的“身高”而由的任意性可知,題目只與函數(shù)的“形狀”有關(guān),與位置無關(guān)。與“相似”的標(biāo)準(zhǔn)二次函數(shù)是又因?yàn)楹瘮?shù)在長度為2的區(qū)間內(nèi)的“身高”恒大于等于8,故只需“最矮”時(shí)大于等于8即可。由二次函數(shù)圖象,顯然可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)區(qū)間關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí),圖象“最矮”故只需,即好題速遞291題已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為,公比為的等比數(shù)列滿足恒成立,且,則公比的取值范圍是 解:由得從結(jié)構(gòu)分析,等比數(shù)列是指數(shù)型函數(shù)上孤立的點(diǎn),等差數(shù)列是一次型函數(shù)上孤立的點(diǎn)已知指數(shù)函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象至少在時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)如果只有這一個(gè)交點(diǎn),那么指數(shù)函數(shù)其他點(diǎn)都在一次函數(shù)上方;如果指數(shù)函數(shù)與直線有兩個(gè)交

20、點(diǎn),那么或5的點(diǎn),指數(shù)函數(shù)圖象必須在直線上方故只需滿足,即得好題速遞292題已知圓為單位圓,為圓上兩點(diǎn),以為邊作正方形,則的取值范圍是 解:本題我們使用轉(zhuǎn)化的思想來解決。在圓上固定一點(diǎn),點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)滿足,且。故點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后即得點(diǎn)故把圓繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到圓即為點(diǎn)的軌跡,如圖所示。顯然,即好題速遞293題在等差數(shù)列中,記數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對(duì)任意恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 解:,即記因?yàn)楣蕿閱握{(diào)遞減數(shù)列,從而由條件得,解得好題速遞294題已知函數(shù),若關(guān)于的不等式的解集為空集,則實(shí)數(shù) 解:問題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的值解法一:絕對(duì)值函數(shù)分類討論可以,略解法二: 參變分離法,即令在上單調(diào)遞增,故,令(這

21、里也可以用導(dǎo)數(shù)去求)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào),故故,即解法三:的幾何意義為函數(shù)與直線函數(shù)值之差的絕對(duì)值,又因?yàn)樗蟮臑槎ㄖ担手本€應(yīng)在平面內(nèi)“動(dòng)彈不得”,故圖象應(yīng)如右圖,其中直線被線段、控制著無法“動(dòng)彈”,故應(yīng)該有,點(diǎn)評(píng):本題雖然是三次函數(shù),可能不太適合目前的高考,但將三次函數(shù)改為二次函數(shù)就是常見的絕對(duì)值問題了。處理絕對(duì)值問題,最基本的是分段函數(shù)藕斷絲連分類討論處理,但如果求的字母系數(shù)為1次,便于參變分離的話,法二的參變分離也是好方法。法三利用了幾何圖象特征,特別是在注意到為定值時(shí),讓看似運(yùn)動(dòng)的圖象固定下來,不失為做選擇填空小題的捷徑。好題速遞295題已知數(shù)列滿足,它的前項(xiàng)和為若,則的值為 解:,兩

22、式相加得,即,所以這個(gè)數(shù)列是周期數(shù)列,點(diǎn)評(píng):本題其實(shí)是周期函數(shù)改編而成的周期數(shù)列。判斷抽象函數(shù)是周期函數(shù)的口訣是“同號(hào)周期”,還可以有下列幾個(gè)常見的形式。(1)恒成立,則為的周期數(shù)列;(2) 恒成立,則為的周期數(shù)列;(3) 恒成立,則為的周期數(shù)列;(4)若 且,則為的周期數(shù)列;(即兩條對(duì)稱軸就有無數(shù)條對(duì)稱軸,就是周期函數(shù))(5)若 且,則為的周期數(shù)列以上這些結(jié)論不要求記憶,大家可以結(jié)合周期函數(shù)的角度,自行推導(dǎo)一下,加深印象。當(dāng)然這類遞推關(guān)系式,考試時(shí)如果想法就算幾項(xiàng)出來也能發(fā)現(xiàn)規(guī)律。好題速遞296題若單調(diào)遞增數(shù)列滿足,且,則的取值范圍是 解:,兩式相減得故數(shù)列單調(diào)遞增,只需即可得不等式解得好題速遞297題已知均為銳角,且,則的最大值是 解:由化簡得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)好題速遞298題已知函數(shù) ,且,則 .解:當(dāng)為奇數(shù)

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