1、第八章向量代數(shù)與空間解析幾何教學(xué)目的： 1、理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的運算（線性運算、數(shù)量積、向量積、混合積），掌握兩個向量垂直和平行的條件。3、 理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標表達式，熟練掌握用坐標表達式進行向量運算的方法。4、 掌握平面方程和直線方程及其求法。5、 會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題。6、 會求點到直線以及點到平面的距離。7、 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。8、 了解空間

2、曲線的參數(shù)方程和一般方程。9、 了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求其方程。教學(xué)重點： 1、向量的線性運算、數(shù)量積、向量積的概念、向量運算及坐標運算； 2、兩個向量垂直和平行的條件； 3、平面方程和直線方程； 4、平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的相互位置關(guān)系的判定條件； 5、點到直線以及點到平面的距離； 6、常用二次曲面的方程及其圖形； 7、旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程； 8、空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。教學(xué)難點： 1、向量積的向量運算及坐標運算； 2、平面方程和直線方程及其求法； 3、點到直線的距離； 4、二次曲面圖形； 5、旋轉(zhuǎn)曲面的方程；§7. 1 向量及其

3、線性運算一、向量概念向量:在研究力學(xué)、物理學(xué)以及其他應(yīng)用科學(xué)時,常會遇到這樣一類量,它們既有大小,又有方向.例如力、力矩、位移、速度、加速度等,這一類量叫做向量.在數(shù)學(xué)上,用一條有方向的線段(稱為有向線段)來表示向量.有向線段的長度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.向量的符號:以A為起點、B為終點的有向線段所表示的向量記作.向量可用粗體字母表示,也可用上加箭頭書寫體字母表示,例如,a、r、v、F或、.自由向量:由于一切向量的共性是它們都有大小和方向,所以在數(shù)學(xué)上我們只研究與起點無關(guān)的向量,并稱這種向量為自由向量,簡稱向量.因此,如果向量a和b的大小相等,且方向相同,則說向量a和b是

4、相等的,記為a =b.相等的向量經(jīng)過平移后可以完全重合.向量的模:向量的大小叫做向量的模.向量a、的模分別記為|a|、.單位向量:模等于1的向量叫做單位向量.零向量:模等于0的向量叫做零向量,記作0或.零向量的起點與終點重合,它的方向可以看作是任意的.向量的平行:兩個非零向量如果它們的方向相同或相反,就稱這兩個向量平行.向量a與b平行,記作a / b.零向量認為是與任何向量都平行.當兩個平行向量的起點放在同一點時,它們的終點和公共的起點在一條直線上.因此,兩向量平行又稱兩向量共線.類似還有共面的概念.設(shè)有k(k³3)個向量,當把它們的起點放在同一點時,如果k個終點和公共起點在一個平面

5、上,就稱這k個向量共面.二、向量的線性運算 1向量的加法向量的加法:設(shè)有兩個向量a與b,平移向量使b的起點與a的終點重合,此時從a的起點到b的終點的向量c稱為向量a與b的和,記作a+b,即c=a+b .三角形法則:上述作出兩向量之和的方法叫做向量加法的三角形法則.平行四邊形法則:當向量a與b不平行時,平移向量使a與b的起點重合,以a、b為鄰邊作一平行四邊形,從公共起點到對角的向量等于向量a與b的和a+b.A B C A B C D 向量的加法的運算規(guī)律: (1)交換律a+b=b+a; (2)結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c).由于向量的加法符合交換律與結(jié)合律,故n個向量a1,a2,×

6、;××,an(n³3)相加可寫成a1+a2+×××+an,并按向量相加的三角形法則,可得n個向量相加的法則如下:使前一向量的終點作為次一向量的起點,相繼作向量a1,a2,×××,an,再以第一向量的起點為起點,最后一向量的終點為終點作一向量,這個向量即為所求的和.負向量:設(shè)a為一向量,與a的模相同而方向相反的向量叫做a的負向量,記為-a.向量的減法:我們規(guī)定兩個向量b與a的差為b-a=b+(-a).即把向量-a加到向量b上,便得b與a的差b-a.特別地,當b=a時,有a-a=a+(-a)=0.-顯然,任給

7、向量及點O,有,因此,若把向量a與b移到同一起點O,則從a的終點A向b的終點B所引向量便是向量b與a的差b-a.三角不等式:由三角形兩邊之和大于第三邊的原理,有|a+b|£|a|+|b|及|a-b|£|a|+|b|,其中等號在b與a同向或反向時成立. 2向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法的定義:向量a與實數(shù)l的乘積記作la,規(guī)定la是一個向量,它的模|la|=|l|a|,它的方向當l>0時與a相同,當l<0時與a相反.當l=0時,|la|=0,即la為零向量,這時它的方向可以是任意的.特別地,當l=±1時,有1a=a,(-1)a=-a.運算規(guī)律: (1)結(jié)合

8、律l(ma)=m(la)=(lm)a； (2)分配律 (l+m)a=la+ma；l(a+b)=la+lb.例1.在平行四邊形ABCD中,設(shè)=a,=b.試用a和b表示向量、,其中M是平行四邊形對角線的交點.解由于平行四邊形的對角線互相平分,所以A B C D M a+b,即-(a+b),于是(a+b).因為,所以(a+b).又因-a+b,所以(b-a).由于,所以(a-b).例1 在平行四邊形ABCD中,設(shè),.試用a和b表示向量、,其中M是平行四邊形對角線的交點.A B C D M 解由于平行四邊形的對角線互相平分,所以,于是;.因為,所以;向量的單位化:設(shè)a¹0,則向量是與a同方向的

9、單位向量,記為ea.于是a=|a|ea.向量的單位化:設(shè)a¹0,則向量是與a同方向的單位向量,記為ea.于是a = | a | ea.定理1 設(shè)向量a¹0,那么,向量b平行于a的充分必要條件是:存在唯一的實數(shù)l,使b=la.證明:條件的充分性是顯然的,下面證明條件的必要性.設(shè)b / a.取,當b與a同向時l取正值,當b與a反向時l取負值,即b=la.這是因為此時b與la同向,且 |la|=|l|a|.再證明數(shù)l的唯一性.設(shè)b=la,又設(shè)b=ma,兩式相減,便得 (l-m)a=0,即|l-m|a|=0.因|a|¹0,故|l-m|=0,即l=m.給定一個點及一個單位向

10、量就確定了一條數(shù)軸.設(shè)點O及單位向量i確定了數(shù)軸Ox,對于軸上任一點P,對應(yīng)一個向量,由/i,根據(jù)定理1,必有唯一的實數(shù)x,使=xi(實數(shù)x叫做軸上有向線段的值),并知與實數(shù)x一一對應(yīng).于是點P«向量= xi«實數(shù)x,從而軸上的點P與實數(shù)x有一一對應(yīng)的關(guān)系.據(jù)此,定義實數(shù)x為軸上點P的坐標.由此可知,軸上點P的坐標為x的充分必要條件是= xi.三、空間直角坐標系在空間取定一點O和三個兩兩垂直的單位向量i、j、k,就確定了三條都以O(shè)為原點的兩兩垂直的數(shù)軸,依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸),統(tǒng)稱為坐標軸.它們構(gòu)成一個空間直角坐標系,稱為Oxyz坐標系.注: (1

11、)通常三個數(shù)軸應(yīng)具有相同的長度單位; (2)通常把x軸和y軸配置在水平面上,而z軸則是鉛垂線; (3)數(shù)軸的的正向通常符合右手規(guī)則.坐標面:在空間直角坐標系中,任意兩個坐標軸可以確定一個平面,這種平面稱為坐標面.x軸及y軸所確定的坐標面叫做xOy面,另兩個坐標面是yOz面和zOx面.卦限:三個坐標面把空間分成八個部分,每一部分叫做卦限,含有三個正半軸的卦限叫做第一卦限,它位于xOy面的上方.在xOy面的上方,按逆時針方向排列著第二卦限、第三卦限和第四卦限.在xOy面的下方,與第一卦限對應(yīng)的是第五卦限,按逆時針方向還排列著第六卦限、第七卦限和第八卦限.八個卦限分別用字母I、II、III、IV、V

12、、VI、VII、VIII表示.向量的坐標分解式:任給向量r,對應(yīng)有點M,使.以O(shè)M為對角線、三條坐標軸為棱作長方體,有,設(shè),則.上式稱為向量r的坐標分解式,xi、yj、zk稱為向量r沿三個坐標軸方向的分向量.顯然,給定向量r,就確定了點M及,三個分向量,進而確定了x、y、z三個有序數(shù);反之,給定三個有序數(shù)x、y、z也就確定了向量r與點M.于是點M、向量r與三個有序x、y、z之間有一一對應(yīng)的關(guān)系.據(jù)此,定義:有序數(shù)x、y、z稱為向量r(在坐標系Oxyz)中的坐標,記作r=(x,y,z);有序數(shù)x、y、z也稱為點M(在坐標系Oxyz)的坐標,記為M(x,y,z).向量稱為點M關(guān)于原點O的向徑.上述

13、定義表明,一個點與該點的向徑有相同的坐標.記號(x,y,z)既表示點M,又表示向量.坐標面上和坐標軸上的點,其坐標各有一定的特征.例如:點M在yOz面上,則x=0;同相,在zOx面上的點,y=0;在xOy面上的點,z=0.如果點M在x軸上,則y=z=0;同樣在y軸上,有z=x=0;在z軸上的點,有x=y=0.如果點M為原點,則x=y=z=0.四、利用坐標作向量的線性運算設(shè)a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)即a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,則a+b=(axi+ayj+azk)+(bxi+byj+bzk)=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k

14、=(ax+bx,ay+by,az+bz).a-b=(axi+ayj+azk)-(bxi+byj+bzk)=(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k=(ax-bx,ay-by,az-bz).la=l(axi+ayj+azk) =(lax)i+(lay)j+(laz)k=(lax,lay,laz).利用向量的坐標判斷兩個向量的平行:設(shè)a=(ax,ay,az)¹0,b=(bx,by,bz),向量b/aÛb=la,即b/aÛ(bx,by,bz)=l(ax,ay,az),于是.例2 求解以向量為未知元的線性方程組,其中a=(2, 1, 2),b=(-1, 1,-

15、2).解如同解二元一次線性方程組,可得x=2a-3b,y=3a-5b.以a、b的坐標表示式代入,即得x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1,-2)=(7,-1, 10),y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1,-2)=(11,-2, 16).例3 已知兩點A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及實數(shù)l¹-1,在直線AB上求一點M,使.解由于,因此,從而.,這就是點M的坐標.另解設(shè)所求點為M (x,y,z),則,.依題意有,即 (x-x1,y-y1,z-z1)=l(x2-x,y2-y,z2-z) (x,y,z)-(x1,y1,z1)=l(x2,y2,z2)-l(x,y,z

16、),.點M叫做有向線段的定比分點.當l=1,點M的有向線段的中點,其坐標為,.五、向量的模、方向角、投影 1向量的模與兩點間的距離公式設(shè)向量r=(x,y,z),作,則,按勾股定理可得,設(shè),有 |OP|=|x|, |OQ|=|y|, |OR|=|z|,于是得向量模的坐標表示式.設(shè)有點A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2),則=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),于是點A與點B間的距離為. 例4 求證以M1(4, 3, 1)、M2 (7, 1, 2)、M3 (5, 2, 3)三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.解因為 | M1M2|2 =(7

17、-4)2+(1-3)2+(2-1)2 =14, | M2M3|2 =(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2 =6, | M1M3|2 =(5-4)2+(2-3)2+(3-1)2 =6,所以|M2 M3|=|M1M3|,即DM1 M2 M3為等腰三角形.例5 在z軸上求與兩點A(-4, 1, 7)和B(3, 5,-2)等距離的點.解設(shè)所求的點為M(0, 0,z),依題意有|MA|2=|MB|2,即 (0+4)2+(0-1)2+(z-7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得,所以,所求的點為.例6 已知兩點A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3),求與方向相同的單位向量e.解

18、因為,所以. 2方向角與方向余弦當把兩個非零向量a與b的起點放到同一點時,兩個向量之間的不超過p的夾角稱為向量a與b的夾角,記作或.如果向量a與b中有一個是零向量,規(guī)定它們的夾角可以在0與p之間任意取值.類似地,可以規(guī)定向量與一軸的夾角或空間兩軸的夾角.非零向量r與三條坐標軸的夾角a、b、g稱為向量r的方向角.向量的方向余弦:設(shè)r=(x,y,z),則x=|r|cosa,y=|r|cosb,z=|r|cosg. cosa、cosb、cosg稱為向量r的方向余弦.,.從而.上式表明,以向量r的方向余弦為坐標的向量就是與r同方向的單位向量er.因此cos2a+cos2b+cos2g=1.例3 設(shè)已知

19、兩點)和B(1, 3, 0),計算向量的模、方向余弦和方向角.解;,;,. 3向量在軸上的投影設(shè)點O及單位向量e確定u軸.任給向量r,作,再過點M作與u軸垂直的平面交u軸于點M¢(點M¢叫作點M在u軸上的投影),則向量稱為向量r在u軸上的分向量.設(shè),則數(shù)l稱為向量r在u軸上的投影,記作Prjur或(r)u.按此定義,向量a在直角坐標系Oxyz中的坐標ax,ay,az就是a在三條坐標軸上的投影,即ax=Prjxa,ay=Prjya,az=Prjza.投影的性質(zhì):性質(zhì)1 (a)u=|a|cos j (即Prjua=|a|cos j),其中j為向量與u軸的夾角;性質(zhì)2 (a+b)

20、u=(a)u+(b)u (即Prju(a+b)= Prjua+Prjub);性質(zhì)3 (la)u=l(a)u (即Prju(la)=lPrjua); §7. 2 數(shù)量積向量積一、兩向量的數(shù)量積數(shù)量積的物理背景: 設(shè)一物體在常力F作用下沿直線從點M1移動到點M2. 以s表示位移. 由物理學(xué)知道, 力F所作的功為W = |F| |s| cosq, 其中q為F與s的夾角. 數(shù)量積: 對于兩個向量a和b, 它們的模 |a|、|b| 及它們的夾角q的余弦的乘積稱為向量a和b的數(shù)量積, 記作a×b, 即a·b=|a| |b| cosq. 數(shù)量積與投影: 由于|b| cosq=|

21、b|cos(a, b), 當a¹0時, |b| cos(a, b) 是向量b在向量a的方向上的投影, 于是a·b = |a| Prjab. 同理, 當b¹0時, a·b = |b| Prjba. 數(shù)量積的性質(zhì): (1) a·a = |a| 2. (2) 對于兩個非零向量a、b, 如果a·b =0, 則ab; 反之, 如果ab, 則a·b =0. 如果認為零向量與任何向量都垂直, 則ab Û a·b =0. 數(shù)量積的運算律: (1)交換律: a·b =b·a; (2)分配律: (a+b)

22、×c=a×c+b×c. (3) (la)·b =a·(lb) =l(a·b), (la)·(mb) =lm(a·b), l、m為數(shù). (2)的證明:分配律(a+b)×c=a×c+b×c的證明: 因為當c=0時,上式顯然成立;當c¹0時,有 (a+b)×c=|c|Prjc(a+b)=|c|(Prjca+Prjcb)=|c|Prjca+|c|Prjcb=a×c+b×c.例1 試用向量證明三角形的余弦定理.證: 設(shè)在ABC中, BCA=q (圖7-24

23、), |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c,要證c 2=a 2+b 2-2 ab cos q .記=a, =b, =c, 則有 c=a-b,從而 |c|2=c×c=(a-b)(a-b)=a×a+b×b-2a×b=|a|2+|b|2-2|a|b|cos(a,b),即c 2=a 2+b 2-2 ab cos q . 數(shù)量積的坐標表示: 設(shè)a=(ax,ay,az ), b=(bx,by,bz ),則a·b=axbx+ayby+azbz .提示:按數(shù)量積的運算規(guī)律可得 a·b =( ax i +ay j +az k)·(bx

24、 i +by j +bz k)=axbxi·i +ax by i·j +ax bz i·k+aybxj ·i +ay by j ·j +ay bz j·k+azbxk·i +az by k·j +az bz k·k= axbx+ ay by+ az bz . 兩向量夾角的余弦的坐標表示: 設(shè)q=(a, b),則當a¹0、b¹0時, 有. 提示:a·b=|a|b|cosq. 例2 已知三點M (1, 1, 1)、A (2, 2, 1)和B (2, 1, 2), 求ÐA

25、MB. 解從M到A的向量記為a,從M到B的向量記為b,則ÐAMB就是向量a與b的夾角. a=1, 1, 0, b=1, 0, 1. 因為a×b=1´1+1´0+0´1=1, , . 所以. 從而. 例3設(shè)液體流過平面S上面積為A的一個區(qū)域, 液體在這區(qū)域上各點處的流速均為（常向量)v. 設(shè)n為垂直于S的單位向量（圖7-25(a)）,計算單位時間內(nèi)經(jīng)過這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量P(液體的密度為). 解 單位時間內(nèi)流過這區(qū)域的液體組成一個底面積為A、斜高為| v |的斜柱體(圖7-25(b).這柱體的斜高與底面的垂線的夾角就是v 與n的夾角q

26、 , 所以這柱體的高為| v |cosq, 體積為 A| v |cos q=A v ·n.從而, 單位時間內(nèi)經(jīng)過這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量為P=rAv ·n.二、兩向量的向量積在研究物體轉(zhuǎn)動問題時, 不但要考慮這物體所受的力, 還要分析這些力所產(chǎn)生的力矩. 設(shè)O為一根杠桿L的支點.有一個力F作用于這杠桿上P點處. F與的夾角為q. 由力學(xué)規(guī)定, 力F對支點O的力矩是一向量M, 它的模, 而M的方向垂直于與F所決定的平面, M的指向是的按右手規(guī)則從以不超過p的角轉(zhuǎn)向F來確定的. 向量積: 設(shè)向量c是由兩個向量a與b按下列方式定出: c的模 |c|=|a|b|sin q,

27、 其中q為a與b間的夾角; c的方向垂直于a與b所決定的平面, c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來確定. 那么, 向量c叫做向量a與b的向量積, 記作a´b, 即c =a´b. 根據(jù)向量積的定義,力矩M等于與F的向量積, 即. 向量積的性質(zhì): (1) a´a =0; (2) 對于兩個非零向量a、b, 如果a´b = 0, 則a/b; 反之, 如果a/b, 則a´b =0. 如果認為零向量與任何向量都平行, 則a/b Û a´b = 0. 數(shù)量積的運算律: (1) 交換律a´b = -b´a; (2) 分配律:

28、 (a+b)´c = a´c + b´c. (3) (la)´b = a´(lb) = l(a´b) (l為數(shù)). 數(shù)量積的坐標表示: 設(shè)a = ax i +ay j +az k, b = bx i +by j +bz k. 按向量積的運算規(guī)律可得a´b = ( ax i +ay j +az k) ´ ( bx i +by j +bz k)= axbxi´i +ax by i´j +ax bz i´k+aybxj´i +ay by j´j +ay bz j´

29、;k+azbxk´i +az by k´j +az bz k´k. 由于i´i = j´j = k´k = 0, i´j = k, j´k =i, k´i = j, 所以a´b = ( ay bz- az by) i + ( azbx- ax bz) j + ( ax by- aybx) k. 為了邦助記憶, 利用三階行列式符號, 上式可寫成=aybzi+azbxj+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi= ( ay bz- az by) i + ( azbx- ax bz) j +

30、( ax by- aybx) k. . 例4 設(shè)a=(2, 1,-1),b=(1,-1, 2), 計算a´b. 解=2i-j-2k-k-4j-i=i-5j -3k. 例5 已知三角形ABC的頂點分別是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面積. 解根據(jù)向量積的定義, 可知三角形ABC的面積. 由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此 =4i-6j+2k.于是. 例6 設(shè)剛體以等角速度w繞l軸旋轉(zhuǎn), 計算剛體上一點M的線速度. 解剛體繞l軸旋轉(zhuǎn)時, 我們可以用在l軸上的一個向量w表示角速度, 它的大小等于角速度的大小,

31、 它的方向由右手規(guī)則定出: 即以右手握住l軸, 當右手的四個手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時, 大姆指的指向就是w的方向. 設(shè)點M到旋轉(zhuǎn)軸l的距離為a, 再在l軸上任取一點O作向量r =, 并以q表示w與r的夾角, 那么a = |r| sinq. 設(shè)線速度為v, 那么由物理學(xué)上線速度與角速度間的關(guān)系可知, v的大小為|v| =| w|a= |w| |r| sinq; v的方向垂直于通過M點與l軸的平面, 即v垂直于w與r, 又v的指向是使w、r、v符合右手規(guī)則. 因此有v = w´r. ; §7. 3 曲面及其方程一、曲面方程的概念在空間解析幾何中,任何曲面都可以看作點的幾

32、何軌跡.在這樣的意義下,如果曲面S與三元方程F(x,y,z)=0有下述關(guān)系: (1) 曲面S上任一點的坐標都滿足方程F(x,y,z)=0; (2) 不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程F(x,y,z)=0,那么,方程F(x,y,z)=0就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程F(x,y,z)=0的圖形. 常見的曲面的方程: 例1 建立球心在點M0(x0,y0,z0)、半徑為R的球面的方程. 解設(shè)M(x,y,z)是球面上的任一點,那么|M0M|=R. 即,或 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 這就是球面上的點的坐標所滿足的方程.而不在球面上的點的坐標都不滿足這個方程.所以 (x

33、-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 就是球心在點M0(x0,y0,z0)、半徑為R的球面的方程. 特殊地,球心在原點O(0, 0, 0)、半徑為R的球面的方程為 x2+y2+z2=R2. 例2 設(shè)有點A(1, 2, 3)和B(2,-1, 4),求線段AB的垂直平分面的方程. 解由題意知道,所求的平面就是與A和B等距離的點的幾何軌跡.設(shè)M(x,y,z)為所求平面上的任一點,則有|AM|=|BM|,即. 等式兩邊平方,然后化簡得2x-6y+2z-7=0. 這就是所求平面上的點的坐標所滿足的方程,而不在此平面上的點的坐標都不滿足這個方程,所以這個方程就是所求平面的方程. 研究曲面的兩

34、個基本問題: (1) 已知一曲面作為點的幾何軌跡時,建立這曲面的方程; (2) 已知坐標x、y和z間的一個方程時,研究這方程所表示的曲面的形狀. 例3 方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎樣的曲面？解通過配方,原方程可以改寫成 (x-1)2+(y+2)2+z2=5. 這是一個球面方程,球心在點M0(1,-2, 0)、半徑為. 一般地,設(shè)有三元二次方程Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0,這個方程的特點是缺xy,yz,zx各項,而且平方項系數(shù)相同,只要將方程經(jīng)過配方就可以化成方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 的形式,它的圖形就是一個球面. 二、旋轉(zhuǎn)曲面

35、以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸. 設(shè)在yOz坐標面上有一已知曲線C,它的方程為f (y,z) =0,把這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周,就得到一個以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面.它的方程可以求得如下: 設(shè)M(x,y,z)為曲面上任一點,它是曲線C上點M1(0,y1,z1)繞z軸旋轉(zhuǎn)而得到的.因此有如下關(guān)系等式,從而得,這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 在曲線C的方程f(y,z)=0中將y改成,便得曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 同理,曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為. 例4 直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面.兩直線的交

36、點叫做圓錐面的頂點,兩直線的夾角a()叫做圓錐面的半頂角.試建立頂點在坐標原點O,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為a的圓錐面的方程. 解在yOz坐標面內(nèi),直線L的方程為 z=ycot a,將方程z=ycota中的y改成,就得到所要求的圓錐面的方程,或 z2=a2 (x2+y2),其中a=cot a. 例5.將zOx坐標面上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周,求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解繞x軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為;繞z軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為. 這兩種曲面分別叫做雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面和單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面. 三、柱面例6 方程x2+y2=R2表示怎樣的曲面？解方程x2+y2=R2在xOy面上表示圓心在原點O

37、、半徑為R的圓.在空間直角坐標系中,這方程不含豎坐標z, 即不論空間點的豎坐標z怎樣,只要它的橫坐標x和縱坐標y能滿足這方程,那么這些點就在這曲面上.也就是說,過xOy面上的圓x2+y2=R2,且平行于z軸的直線一定在x2+y2=R2表示的曲面上.所以這個曲面可以看成是由平行于z軸的直線l沿xOy面上的圓x2+y2=R2移動而形成的.這曲面叫做圓柱面,xOy面上的圓x2+y2=R2叫做它的準線,這平行于z軸的直線l叫做它的母線. 例6 方程x2+y2=R2表示怎樣的曲面？解 在空間直角坐標系中,過xOy面上的圓x2+y2=R2作平行于z軸的直線l,則直線l上的點都滿足方程x2+y2=R2,因此

38、直線l一定在x2+y2=R2表示的曲面上.所以這個曲面可以看成是由平行于z軸的直線l沿xOy面上的圓x2+y2=R2移動而形成的.這曲面叫做圓柱面,xOy面上的圓x2+y2=R2叫做它的準線,這平行于z軸的直線l叫做它的母線. 柱面: 平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面,定曲線C叫做柱面的準線,動直線L叫做柱面的母線. 上面我們看到,不含z的方程x2+y2=R2在空間直角坐標系中表示圓柱面,它的母線平行于z軸,它的準線是xOy面上的圓x2+y2=R2. 一般地,只含x、y而缺z的方程F(x,y)=0,在空間直角坐標系中表示母線平行于z軸的柱面,其準線是xOy面上的曲線C:

39、F(x,y)=0. 例如,方程y2=2x表示母線平行于z軸的柱面,它的準線是xOy面上的拋物線y2 =2x,該柱面叫做拋物柱面. 又如,方程 x-y=0表示母線平行于z軸的柱面,其準線是xOy面的直線 x-y=0,所以它是過z軸的平面. 類似地,只含x、z而缺y的方程G(x,z)=0和只含y、z而缺x的方程H(y,z)=0分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面. 例如,方程 x-z=0表示母線平行于y軸的柱面,其準線是zOx面上的直線 x-z=0. 所以它是過y軸的平面. 四、二次曲面與平面解析幾何中規(guī)定的二次曲線相類似,我們把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.把平面叫做一次曲面.怎樣了解三元

40、方程F(x,y,z)=0所表示的曲面的形狀呢? 方法之一是用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截,考察其交線的形狀,然后加以綜合,從而了解曲面的立體形狀.這種方法叫做截痕法.研究曲面的另一種方程是伸縮變形法:設(shè)S是一個曲面,其方程為F(x,y,z)=0,S ¢是將曲面S沿x軸方向伸縮l倍所得的曲面.顯然,若(x,y,z)ÎS,則(lx,y,z)ÎS¢若(x,y,z)ÎS¢,則.因此,對于任意的(x,y,z)ÎS¢,有,即是曲面S¢的方程.例如，把圓錐面沿y軸方向伸縮倍,所得曲面的方程為,即. (1)橢圓錐

41、面由方程所表示的曲面稱為橢圓錐面.圓錐曲面在y軸方向伸縮而得的曲面.把圓錐面沿y軸方向伸縮倍,所得曲面稱為橢圓錐面.以垂直于z軸的平面z=t截此曲面,當t=0時得一點(0, 0, 0);當t¹0時,得平面z=t上的橢圓.當t變化時,上式表示一族長短軸比例不變的橢圓,當|t|從大到小并變?yōu)?時,這族橢圓從大到小并縮為一點.綜合上述討論,可得橢圓錐面的形狀如圖. (2)橢球面由方程所表示的曲面稱為橢球面.球面在x軸、y軸或z軸方向伸縮而得的曲面.把x2+y2+z2=a2沿z軸方向伸縮倍,得旋轉(zhuǎn)橢球面;再沿y軸方向伸縮倍,即得橢球面. (3)單葉雙曲面由方程所表示的曲面稱為單葉雙曲面.把z

42、Ox面上的雙曲線繞z軸旋轉(zhuǎn),得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面;再沿y軸方向伸縮倍,即得單葉雙曲面. (4)雙葉雙曲面由方程所表示的曲面稱為雙葉雙曲面.把zOx面上的雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn),得旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面;再沿y軸方向伸縮倍,即得雙葉雙曲面. (5)橢圓拋物面由方程所表示的曲面稱為橢圓拋物面.把zOx面上的拋物線繞z軸旋轉(zhuǎn),所得曲面叫做旋轉(zhuǎn)拋物面,再沿y軸方向伸縮倍,所得曲面叫做橢圓拋物面 (6)雙曲拋物面.由方程所表示的曲面稱為雙曲拋物面.雙曲拋物面又稱馬鞍面.用平面x=t截此曲面,所得截痕l為平面x=t上的拋物線,此拋物線開口朝下,其項點坐標為.當t變化時,l的形狀不變,位置只作平移,而l的項點的軌跡L為平面y

43、=0上的拋物線.因此,以l為母線,L為準線,母線l的項點在準線L上滑動,且母線作平行移動,這樣得到的曲面便是雙曲拋物面.還有三種二次曲面是以三種二次曲線為準線的柱面:,依次稱為橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面. §7. 4 空間曲線及其方程一、空間曲線的一般方程空間曲線可以看作兩個曲面的交線.設(shè)F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0是兩個曲面方程,它們的交線為C.因為曲線C上的任何點的坐標應(yīng)同時滿足這兩個方程,所以應(yīng)滿足方程組.反過來,如果點M不在曲線C上,那么它不可能同時在兩個曲面上,所以它的坐標不滿足方程組.因此,曲線C可以用上述方程組來表示.上述方程組叫做空間曲線C的一般方程.

44、例1 方程組表示怎樣的曲線? 解 方程組中第一個方程表示母線平行于z軸的圓柱面,其準線是xOy面上的圓,圓心在原點O,半行為1.方程組中第二個方程表示一個母線平行于y軸的柱面,由于它的準線是zOx面上的直線,因此它是一個平面.方程組就表示上述平面與圓柱面的交線.例2 方程組表示怎樣的曲線? 解 方程組中第一個方程表示球心在坐標原點O,半行為a的上半球面.第二個方程表示母線平行于z軸的圓柱面,它的準線是xOy面上的圓,這圓的圓心在點,半行為.方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線.例2¢方程組表示怎樣的曲線? 解 方程組中第一個方程表示球心在坐標原點O,半行為2a的上半球面.第二個方程表

45、示母線平行于z軸的圓柱面,它的準線是xOy面上的圓,這圓的圓心在點(a, 0) ,半行為a.方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線.二、空間曲線的參數(shù)方程空間曲線C的方程除了一般方程之外,也可以用參數(shù)形式表示,只要將C上動點的坐標x、y、z表示為參數(shù)t的函數(shù): .當給定t=t1時,就得到C上的一個點(x1,y1,z1);隨著t的變動便得曲線C上的全部點.方程組(2)叫做空間曲線的參數(shù)方程.例3 如果空間一點M在圓柱面x2+y2=a2 上以角速度w繞z軸旋轉(zhuǎn),同時又以線速度v沿平行于z軸的正方向上升(其中w、v都是常數(shù)),那么點M構(gòu)成的圖形叫做螺旋線.試建立其參數(shù)方程.解 取時間t為參數(shù).設(shè)當t=

46、0時,動點位于x軸上的一點A(a, 0, 0)處.經(jīng)過時間t,動點由A運動到M(x,y,z)(圖7-44).記M在xOy面上的投影為M¢,M¢的坐標為x,y,0.由于動點在圓柱面上以角速度w 繞 z軸旋轉(zhuǎn),所以經(jīng)過時間t,AOM¢= w t.從而 x=|OM¢|cosAOM¢=acos w t, y=|OM¢|sinAOM¢=asin w t,由于動點同時以線速度v沿平行于 z軸的正方向上升,所以 z=MM¢=vt .因此螺旋線的參數(shù)方程為,也可以用其他變量作參數(shù);例如令q=wt,則螺旋線的參數(shù)方程可寫為,其中,而

47、參數(shù)為q . *曲面的參數(shù)方程曲面的參數(shù)方程通常是含兩個參數(shù)的方程,形如.例如空間曲線G (a£t£b),繞z軸旋轉(zhuǎn),所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 (a£t£b, 0£q£2p).(4)這是因為,固定一個t,得G上一點M1(j(t),y(t),w(t),點M1繞z軸旋轉(zhuǎn),得空間的一個圓,該圓在平面z=w(t)上,其半徑為點M1到z軸的距離,因此,固定t的方程(4)就是該圓的參數(shù)方程.再令t在a,b內(nèi)變動,方程(4)便是旋轉(zhuǎn)曲面的方程.例如直線繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為.(上式消t和q,得曲面的直角坐標方程為)又如球面x2+y2+z2=a2

48、可看成zOx面上的半圓周 (0£j£p)繞z軸旋轉(zhuǎn)所得,故球面方程為 (0£j£p, 0£q£2p).三、空間曲線在坐標面上的投影以曲線C為準線、母線平行于z軸的柱面叫做曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面,投影柱面與xOy面的交線叫做空間曲線C在xOy面上的投影曲線,或簡稱投影(類似地可以定義曲線C在其它坐標面上的投影).設(shè)空間曲線C的一般方程為.設(shè)方程組消去變量z后所得的方程 H(x,y)=0 ,這就是曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面.這是因為: 一方面方程H(x,y)=0表示一個母線平行于z軸的柱面,另一方面方程H(x,y)=0是由方程組消

49、去變量z后所得的方程,因此當x、y、z滿足方程組時,前兩個數(shù)x、y必定滿足方程H(x,y)=0 ,這就說明曲線C上的所有點都在方程H(x,y)=0所表示的曲面上,即曲線C在方程H(x,y)=0表示的柱面上.所以方程H(x,y)=0表示的柱面就是曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面.曲線C在xOy面上的投影曲線的方程為: .討論: 曲線C關(guān)于yOz 面和zOx面的投影柱面的方程是什么?曲線C在yOz 面和zOx面上的投影曲線的方程是什么? 例4 已知兩球面的方程為x2+y2+z2=1, (5)和x2+(y-1)2+(z-1)2=1, (6)求它們的交線C在xOy面上的投影方程.解 先將方程x2+(y-1

50、)2+(z-1)2=1化為x2+y2+z2-2y-2z=1,然后與方程x2+y2+z2=1相減得 y+z=1.將 z=1-y代入x2+y2+z2=1 得 x2+2y2-2y=0.這就是交線C關(guān)于xOy面的投影柱面方程.兩球面的交線C在xOy面上的投影方程為.例5 求由上半球面和錐面所圍成立體在xOy面上的投影.解 由方程和消去z得到x2+y2=1.這是一個母線平行于z軸的圓柱面,容易看出,這恰好是半球面與錐面的交線C關(guān)于xOy面的投影柱面,因此交線C在xOy面上的投影曲線為.這是xOy面上的一個圓,于是所求立體在xOy面上的投影,就是該圓在xOy面上所圍的部分:x2+y2£1.:&#

51、167;7. 5 平面及其方程一、平面的點法式方程法線向量:如果一非零向量垂直于一平面,這向量就叫做該平面的法線向量.容易知道,平面上的任一向量均與該平面的法線向量垂直.唯一確定平面的條件: 當平面P上一點M0 (x0,y0,z0)和它的一個法線向量n=(A,B,C)為已知時,平面P的位置就完全確定了.平面方程的建立: 設(shè)M (x,y,z)是平面P上的任一點.那么向量必與平面P的法線向量n垂直,即它們的數(shù)量積等于零: .由于 n =(A,B,C),所以 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.這就是平面P上任一點M的坐標x,y,z所滿足的方程.反過來,如果M (x,y,z)不在平面

52、P上,那么向量與法線向量n不垂直,從而.,即不在平面P上的點M的坐標x,y,z不滿足此方程.由此可知,方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z- z0)=0就是平面P的方程.而平面P就是平面方程的圖形.由于方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z- z0)=0是由平面P上的一點M0(x0,y0,z0)及它的一個法線向量n =(A,B,C)確定的,所以此方程叫做平面的點法式方程.例1 求過點(2,-3, 0)且以n=(1,-2, 3)為法線向量的平面的方程.解根據(jù)平面的點法式方程,得所求平面的方程為 (x-2)-2(y+3)+3z=0,即x-2y+3z-8=0.例2 求過三點M1(2,-1,

53、 4)、M2(-1, 3,-2)和M3(0, 2, 3)的平面的方程.解我們可以用作為平面的法線向量n.因為,所以.根據(jù)平面的點法式方程,得所求平面的方程為 14(x-2)+9(y+1)-(z -4)=0,即 14x+9y- z-15=0.二、平面的一般方程由于平面的點法式方程是x,y,z的一次方程,而任一平面都可以用它上面的一點及它的法線向量來確定,所以任一平面都可以用三元一次方程來表示.反過來,設(shè)有三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0.我們?nèi)稳M足該方程的一組數(shù)x0,y0,z0,即 Ax0+By0+Cz0 +D=0.把上述兩等式相減,得 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

54、,這正是通過點M0(x0,y0,z0)且以n=(A,B,C)為法線向量的平面方程.由于方程 Ax+By+Cz+D=0.與方程 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0同解,所以任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的圖形總是一個平面.方程Ax+By+Cz+D=0稱為平面的一般方程,其中x,y,z的系數(shù)就是該平面的一個法線向量n的坐標,即 n=(A,B,C).例如,方程3x-4y+z-9=0表示一個平面,n=(3,-4, 1)是這平面的一個法線向量.討論: 考察下列特殊的平面方程,指出法線向量與坐標面、坐標軸的關(guān)系,平面通過的特殊點或線. Ax+By+Cz=0; By+Cz+D=0,

55、 Ax+Cz+D=0, Ax+By+D=0; Cz+D=0, Ax+D=0, By+D=0.提示: D=0,平面過原點.n=(0,B,C),法線向量垂直于x軸,平面平行于x軸.n=(A, 0,C),法線向量垂直于y軸,平面平行于y軸.n=(A,B, 0),法線向量垂直于z軸,平面平行于z軸.n=(0, 0,C),法線向量垂直于x軸和y軸,平面平行于xOy平面.n=(A, 0, 0),法線向量垂直于y軸和z軸,平面平行于yOz平面.n=(0,B, 0),法線向量垂直于x軸和z軸,平面平行于zOx平面.例3 求通過x軸和點(4,-3,-1)的平面的方程.解平面通過x軸,一方面表明它的法線向量垂直于x軸, 即A=0;另一方面表明 它必通過原點,即D=0.因此可設(shè)這平面的方程為By+Cz=0.又因為這平面通過點(4,-3,-1),所以有 -3B-C=0,或C=-3B.將其代入所設(shè)方程并除以B (B¹0),便得所求的平面方程為 y-3z=0.例4 設(shè)一平面與x、y、z軸的交點依次為P(a, 0, 0)、Q(0,b, 0)、R(0, 0,c)