1、高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透摘要:深刻領(lǐng)會(huì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)是基礎(chǔ),高等數(shù)學(xué)居高臨下是關(guān)鍵。文章以實(shí)例論證高等數(shù)學(xué)指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的意識(shí)形成的必要性及在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中高等數(shù)學(xué)觀的指導(dǎo)作用。教書十年,從初中到高中教材熟悉,滿腹經(jīng)輪,既有成功的喜悅,又有耕耘的苦辣。現(xiàn)在回想起來(lái)每每一個(gè)進(jìn)步,無(wú)不是高等數(shù)學(xué)知識(shí)在發(fā)揮作用。偶陷困境,幫我解圍,使我臨陣不亂,最終在學(xué)生的驚嘆聲中以最妙的方法解決問(wèn)題。適逢隨李三平教授學(xué)習(xí)從高等數(shù)學(xué)看中學(xué)數(shù)學(xué),高等數(shù)學(xué)的原理、思想、觀點(diǎn)、方法對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)指導(dǎo)作用比比皆是,感觸頗深.那么作為中學(xué)數(shù)學(xué)老師最關(guān)注的是怎樣才使高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)相結(jié)合。第一,深刻領(lǐng)會(huì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)是基礎(chǔ)高

2、等數(shù)學(xué)有許多分支,不同分支體現(xiàn)的知識(shí)和方法,對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)指導(dǎo)的側(cè)重點(diǎn)略有不同,熟練掌握高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支的知識(shí),在處理中學(xué)數(shù)學(xué)教材時(shí),才可取得得心應(yīng)手之高效。(1)數(shù)學(xué)分析的辯證觀點(diǎn)對(duì)加深理解中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題有指導(dǎo)作用.數(shù)學(xué)分析不僅繼承了初等數(shù)學(xué)的方法,而且又引進(jìn)新的思想方法極限法.運(yùn)用極限方法,“常量”與“變量”、“直”與“曲”、“均勻”與“非均勻”等可實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化。所以,從方法論的角度來(lái)講,數(shù)學(xué)分析的有關(guān)知識(shí)和方法對(duì)理解和解決一些中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題會(huì)起導(dǎo)向作用。例如:設(shè)有三次函數(shù)y=x3+px+q (p、qR),用微分方法求函數(shù)極值。由此方法探尋出該問(wèn)題的一個(gè)初等解法。這從思想、方法上更有指導(dǎo)性的是數(shù)

3、學(xué)分析中的辯證觀點(diǎn),運(yùn)用這樣的方法,將會(huì)使我們中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決思路大為開(kāi)闊,方法更加靈活有效,從而擺脫對(duì)問(wèn)題束手無(wú)策或盲目亂試的困境。(2)高等幾何對(duì)解決中學(xué)有關(guān)幾何命題提供一種新的模式。高等幾何對(duì)教材內(nèi)容的安排一般不同于中學(xué)幾何,它是先給出定義、定理而后直觀解釋和證明,中學(xué)幾何一般是先通過(guò)實(shí)例描述而后給出重要的概念和定理。前者訓(xùn)練抽象思維,后者訓(xùn)練形象思維,出發(fā)點(diǎn)不同,對(duì)同一問(wèn)題得出的結(jié)論相同。全面了解歐氏幾何、仿射幾何、射影幾何的聯(lián)系與區(qū)別,從本質(zhì)上認(rèn)識(shí),從整體上把握,又從局部上深入,才能深刻認(rèn)識(shí)動(dòng)與靜、特殊與一般的辯證關(guān)系。就內(nèi)容而言,高等幾何比中學(xué)幾何豐富,而且分析問(wèn)題、處理問(wèn)題的觀

4、點(diǎn)新穎,方法獨(dú)特。如對(duì)偶原則,在研究點(diǎn)幾何的同時(shí),也研究了線幾何的內(nèi)容,對(duì)二次曲線的定義,既有幾何定義,又有代數(shù)定義,開(kāi)拓了認(rèn)識(shí)眼界。從方法論來(lái)看,高等幾何對(duì)具體問(wèn)題處理的方法獨(dú)特,而且靈活,對(duì)解決中學(xué)幾何的有關(guān)命題提供了一種新的模式,也為中學(xué)幾何的有關(guān)問(wèn)題提供了知識(shí)背景。(3)高等代數(shù)的部分內(nèi)容已納入中學(xué)課程。近幾年來(lái),代數(shù)在深度、廣度、應(yīng)用等方面都有巨大的發(fā)展,產(chǎn)生了拓樸群、算子環(huán)、同調(diào)代數(shù)。大學(xué)的近世代數(shù)中的歐氏環(huán),是中學(xué)數(shù)學(xué)“因式分解”的理論基礎(chǔ)。如果不用高代知識(shí)指導(dǎo),因式分解中的一些問(wèn)題看似明白,但卻難以表述清楚。例如:因式分解進(jìn)行到什么程度才能結(jié)束,形式是否唯一,是否所有的多項(xiàng)式都

5、能分解因式等等。新教材高中數(shù)學(xué)把線性規(guī)劃作為必修內(nèi)容,伽羅華群理論解決代數(shù)方程的可解性。(4)集合論的觀點(diǎn)和方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的滲透是一種必然趨勢(shì)。集合論是整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),它不僅是數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言,而且樹(shù)立了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)。它蘊(yùn)含著極其深刻的數(shù)學(xué)思想和豐富的數(shù)學(xué)方法,對(duì)分析和理解中學(xué)數(shù)學(xué)具有指導(dǎo)意義。映射是集合論的有力研究工具,也是數(shù)學(xué)中十分重要的化歸方法,利用映射可以把不容易研究的集合上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到容易研究的集合上去,從而實(shí)現(xiàn)由未知(難、復(fù)雜)到已知(易、簡(jiǎn)單)的轉(zhuǎn)化。映射方法的基本思想是:當(dāng)處理某問(wèn)題甲有困難時(shí),可聯(lián)想適當(dāng)?shù)挠成?把問(wèn)題甲及關(guān)系結(jié)構(gòu)R映成與它有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系且易于考察的問(wèn)題甲

6、*及關(guān)系結(jié)構(gòu)R*;在新的關(guān)系結(jié)構(gòu)R*中對(duì)問(wèn)題甲處理完畢后,再把所得結(jié)果通過(guò)逆映射反演到R,求得關(guān)于問(wèn)題甲所需的結(jié)果。這樣啟發(fā)了解題思路,又可用來(lái)指導(dǎo)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。如此等等,高等數(shù)學(xué)知識(shí)怎樣和初等數(shù)學(xué)相結(jié)合?如何指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)?怎樣溝通現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系?第二,高等數(shù)學(xué)居高臨下是關(guān)鍵作為一名優(yōu)秀的中學(xué)數(shù)學(xué)教師,應(yīng)該學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué),這樣在教學(xué)中才能達(dá)到給學(xué)生一杯水,自己有一桶水,顯得胸有成竹,游刃有余、得心應(yīng)手,同時(shí)提高了自己的數(shù)學(xué)修養(yǎng),接觸和了解現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)的思想、觀點(diǎn)和方法,使自己的知識(shí)更加現(xiàn)代化,那么最關(guān)鍵的是用新知識(shí)和新理念去理解中學(xué)數(shù)學(xué)的有關(guān)內(nèi)容,使高等數(shù)學(xué)有的放矢地指導(dǎo)中學(xué)

7、數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐,真正體現(xiàn)居高臨下的指導(dǎo)作用。(1)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)以學(xué)生的發(fā)展為根本。過(guò)去數(shù)學(xué)教學(xué)往往是教師把課本的內(nèi)容略加刪減,傳授給學(xué)生,學(xué)生模仿練習(xí),再做習(xí)題。使學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)枯燥、神秘,數(shù)學(xué)是書上寫的,老師講的,使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去了應(yīng)有的魅力,知道數(shù)學(xué)重要但學(xué)不進(jìn)去。隨著時(shí)代的發(fā)展,人們的認(rèn)識(shí)不斷的提高,新的教學(xué)理念逐漸形成,數(shù)學(xué)教育是以人的發(fā)展為根本出發(fā)點(diǎn),樹(shù)立正確的學(xué)習(xí)觀念,注重學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展原則,著眼于提高國(guó)民素質(zhì)的教育。德才兼?zhèn)?具有創(chuàng)新能力的新型人才的需求,中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)的過(guò)程是學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程,倡導(dǎo)學(xué)習(xí)過(guò)程的探索性,讓學(xué)生在再創(chuàng)造過(guò)程中學(xué)習(xí),從而培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力。沒(méi)有中學(xué)數(shù)

8、學(xué)的基礎(chǔ),高校培養(yǎng)高等的數(shù)學(xué)研究型人才成為“空中樓閣”、“海市蜃樓”。因此,高等數(shù)學(xué)新思想指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)以人的發(fā)展為基本出發(fā)點(diǎn)。(2)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)以滲透高等數(shù)學(xué)思想、觀點(diǎn),使它們相結(jié)合。現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)的新思想、新理念、新觀點(diǎn)及許多美妙而誘人的技巧和方法,使它更具有魅力。高等數(shù)學(xué)教材中的以“動(dòng)”求“靜”觀點(diǎn)、“合”與“分”的觀點(diǎn)、“變量”與“常量”的觀點(diǎn)、“整體”和“局部”化觀點(diǎn)也是解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題很有用的方法觀點(diǎn)。以“動(dòng)”求“靜”的觀點(diǎn)。極限體現(xiàn)了這樣一個(gè)哲理:“穩(wěn)定不變的事物是過(guò)程、運(yùn)動(dòng)的結(jié)果”。中學(xué)數(shù)學(xué)中遇到的問(wèn)題一般都與定值與定形等有關(guān),即“靜”的問(wèn)題,按照上述觀點(diǎn),便可將其看作某種“動(dòng)

9、”的結(jié)果,從而以“動(dòng)”求“靜”,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決。例如:解不等式x2-x-6<0,利用換元方法設(shè)-y2=x2-x-6,即x2+y2-x-6=0,可化( x-12)2+y2=254表示橢圓,這樣“靜”轉(zhuǎn)化為“動(dòng)”,滿足不等式的解應(yīng)為橢圓內(nèi)部的變量x的范圍(-2<x<3)。這個(gè)不等式很容易解,教學(xué)的過(guò)程也能滲透如此方法,對(duì)進(jìn)一步開(kāi)拓學(xué)生的思維,開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力,更顯奇效。“合”與“分”的觀點(diǎn),數(shù)學(xué)變形計(jì)算常用的方法。在教學(xué)中的枚舉法、疊加法、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、割補(bǔ)法是合分觀點(diǎn)的具體體現(xiàn),解題中采用“化整為零”、“積零為整”這種“欲進(jìn)則退”的策略。例如:求數(shù)列的和Sn=13×7&#

10、215;11+17×11×15+1(4n-1)×(4n+3)×(4n+7),常用此法化簡(jiǎn)為常規(guī)數(shù)列的求和問(wèn)題,再求出最后的結(jié)果。“變量”與“函數(shù)”的觀點(diǎn),“變量”與“函數(shù)”是數(shù)學(xué)分析研究的對(duì)象靈活處理變量的方法,給中學(xué)數(shù)學(xué)教材以常量為主的教學(xué)提供了指導(dǎo)思想,甚至常量看做變量,而將字母的關(guān)系看作函數(shù),這樣會(huì)使一些問(wèn)題變得更容易。例如:解x方程x3+2 5x2+5x- 5-1=0,如用常規(guī)思維按三次方解,相當(dāng)困難,教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生把5看作“未知數(shù)”,那么就成為關(guān)于5的一元二次方程,易解之。這是高觀給我們的啟示,使學(xué)生的思維更敏捷。“局部化”的觀點(diǎn),數(shù)學(xué)分析中微分思想就在局部范圍內(nèi),“以直代曲”使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)解題的指導(dǎo)是把字母的允許范圍化為若干部分,分別加以討論。開(kāi)拓了解題視野,為中學(xué)數(shù)學(xué)提供學(xué)習(xí)方法。其實(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)教中能用高等數(shù)學(xué)的方法去解中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的例子比比皆是,在教學(xué)過(guò)程中只要我們不斷的滲透高等數(shù)學(xué)的思想和方法,這些方法和觀點(diǎn)將成為學(xué)生探索數(shù)學(xué)奧秘的工具。遇到難度大的數(shù)學(xué)問(wèn)題不再望而生畏,單項(xiàng)思維,而是靈活的完成各種轉(zhuǎn)化,選擇恰當(dāng)方法技巧,得出完滿的甚至奇妙的結(jié)果。人常言“功夫不負(fù)有心人”,這是我們堅(jiān)持高等數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)相結(jié)合的必然產(chǎn)物,是居高臨下的見(jiàn)證。綜上所述,要使高等數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)相結(jié)合,既需打好基礎(chǔ),