1、力 物體的平衡【基本內容】： 1、力學中常見的幾種力重力 由于地球的吸引而使物體受到的力，方向豎直向下。重力實際上是地球對物體引力的一個分力，另一個分力提供提供物體隨地球自轉所需的向心力。彈力 物體發生彈性形變時，由于要恢復原狀，會對跟它接觸的物體產生力的作用，這種力叫彈力。在彈性限度內，彈簧的彈力與彈簧的形變量（伸長量或縮短量）成正比。，為勁度系數，為形變量。摩擦力 摩擦力分為滑動摩擦力和靜摩擦力兩種，當一個物體在另一個物體表面有相對運動或相對運動趨勢時，所產生的阻礙相對運動或相對運動趨勢的力，方向沿接觸面的切線且與相對運動或相對運動趨勢相反。滑動摩擦力的大小由公式計算，動摩擦因數是由接觸面

2、的情況和材料決定。2、共點力作用下物體的平衡如果幾個力作用在物體上，且交于一點或幾個力的作用線交于一點，這幾個力叫做共點力。如果物體只受三個力作用，一般根據兩個力的合力同第三個力等值反向做出平行四邊形，解決問題，處理方法有勾股定理、正弦定理和余弦定理，有時也根據根據相似三角形的關系列方程。如果物體受到三個以上的共點力作用，一般可用正交分解法。物體的平衡包括靜平衡和動平衡，即有靜止、勻速直線運動、勻速轉動三種平衡狀態。3、有固定轉動軸物體的平衡力矩 力與力臂（轉動軸到力的作用線之間的距離）的乘積稱為力矩，記為，它是使物體繞軸轉動狀態發生改變的原因，單位為。力偶與力偶矩 作用在物體上的大小相等、方

3、向相反、作用線平行的兩個力組成的一對力偶。力偶對物體只有轉動作用，其轉動作用的大小由力偶矩來度量。力偶矩的大小等于力與力偶臂的乘積，力偶臂等于兩個平行力的作用線之間的距離。4、一般物體的平衡 力對物體的作用效果可以改變物體的運動狀態，物體所受的合力對物體的平動有影響，而合力矩對物體的轉動有影響，當這兩種影響都不存在時，物體處于平衡狀態。所以受任意的（共點的）平面力系作用的物體，平衡條件為這三個方程組成平面內任意力系的平衡方程式。值得注意的是，所有力對于某一點的力矩代數和為零時，則對任一點的力矩代數和都等于零，因此，上述方程組中只能有一條力矩平衡方程。當然，平衡方程組也可用兩個力矩平衡方程來表示

4、，即 其中直線AB不能與軸垂直。若用三個力矩平衡方程表示物體的平衡條件，需注意：選作轉軸的三點A、B、C不能再同一直線上。對于空間力系，一般可列出六個獨立平衡方程，即所有力在任意軸上投影的代數和為零（三個方程），所有力對任意軸力矩的代數和為零（三個方程）。5、平衡的穩定性 物體的平衡可以分為穩定平衡、不穩定平衡和隨遇平衡。 平動平衡的穩定性 處在平衡狀態的質點，當受到擾動時，會稍稍偏離平衡位置。這時會產生合外力。當平衡的物體受外界的微小擾動偏離平衡位置時，如果這物體在所受各力作用下將回到平衡位置，這種平衡叫穩定平衡；如果這物體在各力的作用下將繼續偏離平衡位置而不會再回復到平衡位置，這種平衡叫不

5、穩定平衡；如果這物體所受合外力仍為零，且能在新位置繼續保持平衡狀態，這種平衡就叫隨遇平衡。例如，位于光滑碗底的質點處于穩定平衡狀態；位于光滑圓球頂端的質點處于不穩定平衡狀態，位于光滑水平面上的質點處于隨遇平衡狀態。 一個質點可以在一個方向處于某種平衡狀態，而在另一個方向處于另一種平衡狀態。例如，一個質點位于內壁光滑的水平直管底部，對于平行于管軸方向的擾動，處于隨遇平衡，對于垂直于管軸方向的擾動，則處于穩定平衡狀態。 顯然，對于受共點力作用但不能看成質點的物體的平衡可同樣討論。這一類屬平動平衡。 轉動平衡的穩定性 相對固定軸可以轉動的物體處于平衡時，若受到外界擾動而偏離平衡位置，產生合外力矩。如

6、果合外力矩是一個回復力矩，即此合外力矩有把物體拉回原平衡位置的傾向，那么稱原物體的平衡處于穩定的轉動平衡狀態。同樣，可給出不穩定轉動平衡狀態和隨遇轉動平衡狀態的定義。 無固定轉軸物體平衡的穩定性 對于無固定轉軸物體，當它受到外界擾動而偏離平衡位置時，會產生合外力和合外力矩。如果合外力是平動回復力，合外力矩是轉動回復力矩，那么會有被拉回到平衡位置的傾向，則原物體的平衡位置處的平衡是穩定的。同樣，可給出不穩定平衡和隨遇平衡的定義。而且，物體可以在平動方面處于一種平衡狀態，而在轉動方面處于另一種平衡狀態；對于同一種平動平衡狀態，可以在一個方向上處于一種平衡狀態，在另一個方向上處于另一種平衡狀態。6、

7、液體靜平衡 靜止流體內的壓強 液體內部某點處的壓強與方向無關，可用公式計算，式中的是指從該點到液面的距離。 浮力 浮力是物體在流體中所受壓力的合力，浸沒在靜止流體內的物體受到的浮力等于它排開流體的重量，即，浮力的方向豎直向上。浮力的作用點稱為浮心。浮心就在與浸沒在流體中的物體同形狀、同體積的那部分流體的重心處，但它不等同于物體的重心，只有在物體密度均勻時，浮心才與浸沒在流體中的物體部分的重心重合。物體平衡的穩定性 物體處于漂浮狀態時，所受的浮力與重力是一對平衡力。處于漂浮狀態的物體，其平衡的穩定性，就其所受擾動方式的不同而不同。對于豎直方向的擾動，其平衡是穩定的；對于水平方向的擾動，其平衡是隨

8、遇的；對于過質心的水平軸的旋轉擾動，其平衡的穩定性又視其具體情況而定，若偏離平衡位置后，重力和浮力的合力矩促使物體恢復到原來位置，其平衡是穩定的，若重力和浮力的合力矩促使物體傾倒，這時物體的平衡是不穩定的。 【例題】：例1 如圖所示，質量為的物體靜置于傾角為的固定斜面上，物體與斜面之間的靜摩擦因數為。試問，至少要用多大的力作用在物體上才能使物體運動？解 如圖所示，設的方向與斜面的夾角為，由圖示的物體受力情況以及使物體產生運動的條件，得 將代入上面兩式得 當取某一值時，可使的值達到最小，上式可寫成 設， 于是 由上式可知當時，所需的力最小，其值為 例2 半徑為的剛性球固定在水平桌面上，有一質量為

9、的圓環狀均勻彈性細繩圈，原長為，繩圈的勁度系數為，將圈從球的正上方輕放到球上，并使其繩圈沿球表面向下平移，繩圈伸長，先用手扶著繩圈使其各部分都在同一水平面內，最后松手后繩圈能停留在某平衡位置，如圖所示。考慮重力，不計摩擦。 （1）設平衡時繩圈長，求值。 （2）若，求繩圈的平衡位置。解 （1）設平衡時繩圈位于球面上相應于角的緯線上，在繩圈上任取一小段，長為，質量為（很小）. 這一小段繩圈在水平面內，兩端受張力的作用；豎直平面內受重力，方向豎直向下；球面的支持力為，方向沿半徑指向球外。正視圖和俯視圖分別如圖（a）和（b）所示。 (a) (b) 由于很小，因此兩端張力的合力為，位于水平面內，指向繩圈

10、的圓心。重力、球面支持力和張力合力都在同一平面內。當繩圈處于平衡狀態時，這三個力的合力為零，可得 由、兩式，得 又因為 由式，有 (2)若時，將它代入式，得 ，其中， 即 上式平方后得 在的范圍內，式無解，即此時在球面上不存在平衡位置。例3 人對均勻細桿的一端施力，力的方向垂直于桿，要將桿從地板上慢慢地無滑動地抬到豎直位置，試求桿與地板間的最小動摩擦因數。解 當桿與水平面成傾斜角時，受力如圖所示，設桿長為，取重力和人作用于桿的力作用線的交點為軸，根據平衡條件得 因此 要使桿不滑動，須滿足即 因為 為正值，所以當 即 有最小動摩擦因數 例4 如圖所示，一根細棒，上端A處用鉸鏈與天花板相連，下端用

11、鉸鏈與另一細棒相連，兩棒的長度相等。兩棒限于圖示的豎直面內運動，且不計較鉸鏈處的摩擦。當在C端加一個適當的外力，（在紙面內），可使兩棒平衡在圖示位置處，即兩棒間夾角為，且C端正處在A端的正下方。 （1）不管兩棒質量如何，此外力只可能在哪個方向范圍內？試說明道理 （2）如果AB棒的質量，BC棒的質量，求此外力的大小和方向。 解 （1）先用隔離法考慮BC棒，以B為轉軸，其重力的力矩與F的力矩平衡，可知F的方向必須作用在BC棒左側向上。再用整體法考慮ABC的平衡：系統除受重力、的作用外，還受鉸鏈A處的拉力和C處的外力作用而平衡。由共點力平衡條件可知，力的作用線應指向棒AB，且與重力作用線相交，如圖所

12、示。 (2)設棒長為，與AC線的夾角為，用整體法考慮ABC以A為轉軸的力矩平衡，有再用隔離法考慮BC棒以B為轉軸的力矩平衡，有 聯立解得 例5 半徑為、質量為的三個相同的剛性球放在光滑的水平桌面上，兩兩相互接觸。用一個高為的圓柱形剛性圓筒（上下均無底），將此三球套在筒內，圓筒的半徑取適當值，使得各球間及球與筒壁間均保持接觸，但相互無作用力。現取一個質量亦為、半徑為的第四個球，放在三個球的上方 。設四個球的表面、圓筒的內壁表面均由相同物質構成，其相互之間的最大靜摩擦因數均為（均等于0.775）。問：取何值時，用手輕輕豎直向上提起圓筒即能將四個球一起提起來？ 解 設系統已被提離桌面而能保持平衡，受

13、力分析如圖所示，平衡方程為 上球 即 下球 即 即 整體 ，即 下球 ，即 由、兩式可得 因為，將式代入式得 將、兩式代入式得 為了使物體之間不滑動，必須滿足下列兩式： 因為 所以只要式滿足，式必定滿足，也就是說如果發生滑動，首先在上下球之間發生，因為，由式得 等式兩邊平方，并整理后得 可解出 設，借助于俯視圖（右圖）可知 但是又不能太小，要使上球不從三球中掉下，必須使 所以的取值范圍為 即 例6 一長方形均勻薄板AB，可繞通過其重心、垂直于長度方向的固定水平軸（垂直于紙面）自由轉動，如圖所示。在板上軸左側距點為處以輕繩懸掛一質量為的物體。在軸的右側板上放一質量也是的立方體，立方體邊長以及其左

14、側面到軸的距離均為。已知起始時板處于水平位置，掛物與地面相接觸，輕繩緊繃，整個系統處于平衡狀 A B 態。現在立方體右側面中心處施一沿水平方向向右的力去拉它，若用符號表示立方體與板面間的靜摩擦系數，當從零開始逐漸增大至某一數值時，整個系統的平衡狀態將開始被破壞。試討論：可能出現幾種平衡狀態被破壞的情況？每種情況出現的條件是什么？要求在以為縱坐標、（）為橫坐標的圖中，畫出可能出現這幾種情況的區域。 解 起始時，一直系統處于靜止狀態，且繩是繃緊的，用表示繩中張力，由力矩平衡方程可知 . （1）因為重物靜止在地面上，所以有. （2）由以上兩式可得 ，即 . （3）這是和必須滿足的條件.開始破壞原來的

15、平衡有幾種可能：若立方體發生滑動，則要求 . （4）若立方體不發生滑動而繞右下棱轉動，則由轉動定律可知，此時應滿足的條件為 即 . （5）若立方體既不滑動也不轉動而板發生偏轉，由于此時立方體和板之間無相對運動，可將立方體和板作為一個整體對待，它們所受的外力有、立方體的重力和繩子的張力，如果板發生偏轉，則左側的重物將離地，繩中的張力等于。由轉動定律可知，板發生偏轉應滿足的條件為 即 . （6）逐漸增大時究竟發生什么運動，取決于上述（4）、（5）、（6）式三個條件哪個先被滿足，實際上這取決于、和的值。 下面就通過比較（4）、（5）、（6）三個條件，作出判斷如下：（1）當，則首先滿足的是，故首先發生

16、立方體滑動； 立方體翻轉 立方體滑動 板 偏 轉 (a) （2）當，則首先被滿足，即首先發生立方體繞其右下棱轉動；（3）當，首先被滿足，即首先發生板偏轉。由上述各種情況判斷，可得圖（a）.例7 半徑為的圓環繞其鉛垂直徑軸以不變的角速度勻速運動。兩質量為的珠子用長為的輕桿相連，套在圓環上可以無摩擦地滑動，如圖所以。試求輕桿在圓環上的平衡位置，用環心與桿心的連線與鉛垂軸的夾角表示，并分析平衡的穩定性。解 在隨環轉動的參照系中，桿與珠子系統的平衡成靜平衡，桿的運動是繞環心并垂直于環面的水平軸（稱軸）的轉動。在平衡時，作用在桿上的力有重力、環的支承力和慣性離心力。由于支承力沿環半徑，對軸無力矩，因此，

17、只需考察重力力矩和離心力矩的平衡。當與鉛垂軸成角時，重力相對軸的力矩（取增大方向為正） 作用在上、下端珠子上的慣性離心力、為 對于軸的力矩、為 作用在桿上的合力矩為 桿相對于環保持靜止，要求合力矩，即 解此方程得桿的平衡位置： 當，即時， ，；當，即時，。由于時，所以歸于，而不寫成。討論各平衡位置的穩定性，只需考察偏離各平衡位置后，所受合力矩的正負，看看是否回復到平衡位置。然后，我們在坐標軸上標上平衡位置，再在各平衡位置附近標上由合力矩表達式確定的正負號。當時 當時 根據以上各平衡位置附近合力矩的正負號表示，可以判斷：當時，是穩定平衡位置，因為受到擾動而偏離時，將受到回復到平衡位置的力矩；同理

18、，當時，是穩定平衡位置。的平衡位置屬于不穩定平衡位置。 例8 如圖所示，物體A、B及滾輪C質量為，滾輪C由固定在一起的兩個同心圓盤組成，半徑分別為和，各接觸面處靜摩擦因數均為。求C維持系統平衡時，最小值為多少？ 解法一 圖（a）、（b）、（c）分別為滾輪C和物體A、B的受力分析圖。由平衡關系可知對滾輪C，有 （a） （b） （c） （以圓心為軸） 對物塊A，有 對物塊B，有 聯立以上方程，可解得 解法二 對輪C，有 對B物，有 對輪C以為軸，有 即 即 故 而對整體有 這表明B和地面之間先于輪C和地面之間達到最大靜摩擦力。若B和地面之間先達到最大靜摩擦力、而B與輪C之間尚未達到最大靜摩擦力，則

19、 而 故 ，對輪C與物B接觸處，滿足 即 易得 若B和地面之間未達到最大靜摩擦力，而B與輪C之間已達到最大靜摩擦力，則 得 ，對物B與地面之間，滿足易得 兩種假設求得的值范圍相同，這表明物B與輪C和物B與地面之間同時達到最大靜摩擦力。 例9 如圖所示的杯中盛有密度均勻的混合液體，其密度為，經過一段時間后變為密度為別為、（）的兩層均勻液體，設其總體積不變，則杯內底面所受的液體的壓強是否有變化？若有變化，如何變化？試證明你的結論。 解 若杯子是柱形面的，顯然液體分層后對容器底面的壓強相等，因為液體的總質量不變，但事實上，杯子不是柱形面而是向上敞開的，由于傾斜的杯壁也支持了一部分液體的重量，故液體對

20、杯底的壓強可能要發生變化。設分層前液柱高為，大氣壓強為，液體對底面的壓強為，則 設變化后上、下層液柱高分別為、，對底面的壓強為，則 即 因為總體積不變，所以有 式中、和分別表示混合液體、變化后的上層液體和下層液體的平均截面積，因為總質量不變，所以有 即 因為 ，所以 即 （a） 由此得 例10 如圖（a）所示，半徑為的勻質球浮在密度分別為、的分層液體界面處。設，勻質球的密度。求當球保持靜止時，球心與分層液體界面間的距離。解 設球保持靜止時，球心與分層液體界面間的距離為。由于，所以球心在界面以上。如圖（b）所示，為球上下部分密度分別為、內的球缺體積表達式（b） 設球上部表面受到密度為的液體的向下

21、壓力為，利用假想的密度為的這部分球體的平衡，建立方程 此處為液面至兩液面分界處的距離，解得設球下部表面受到密度為的液體的向上壓力為，利用假想的密度為的這部分球體的平衡，建立方程 以球作為對象，寫出平衡方程 代入、，整理得 代入、，得 因，所以 解出的合理解為 例11 如圖（a）所示，質量為的圓柱體位于可動的平板車和傾角為的斜面之間，圓柱體與小車間的摩擦因數為，與斜面間的摩擦因數為.要使小車向左勻速運動，必須對小車施加多大的水平推力？（地面與小車之間的摩擦不計）(b) (a) 解 先對圓柱體進行受力分析，必須注意在B點的摩擦力作用下，圓柱體有順時針轉動的趨勢，所以A點的摩擦力方向沿斜面向左，受力

22、分析如圖（b）所示。根據力矩平衡原理，以為轉動軸，有 即 將和沿水平和豎直方向分解后，根據力的平衡原理，有 由、式得 因小車勻速運動，有 所以 將式代入式，得 因式與式未能得出的最終結果，為此應進行討論： （）若 此時在A處的摩擦力為最大靜摩擦力。因此有 改寫為 .這里又有兩種可能：（a）若，則，這是圓柱體做順時針轉動，摩擦力為零，小車前進不需要推力。（b）若，無意義，即圓柱體被卡住，即使推力為無窮大，小車也不會前進。（）若此時在B處出現最大靜摩擦力，即，代入上面式和式可得 整理后可得 這里也出現兩種可能性： （c）若，為負值，無意義。這種情況下圓柱體同樣被卡住，小車不會前進。 （d），則有

23、即 因此本題的完整答案應該包括（a）、（b）、（c）、（d）四種情況。 例12 （第二十屆全國中學生物理競賽復賽）有一半徑為的圓柱A，靜止在水平地面上，并與豎直墻面相接觸。現有另一質量與A相同，半徑為的較細圓柱B，用手扶著圓柱A，將B放在A的上面，并使之與墻面相接觸，如圖所示，然后放手。已知圓柱A與地面的靜摩擦系數為0.20，兩圓柱之間的靜摩擦系數為0.30。若放手后，兩圓柱體能保持圖示的平衡，問圓柱B與墻面間的靜摩擦系數和圓柱B的半徑的值各應滿足什么條件？ 解 放上圓柱B后，圓柱B有向下運動的傾向，對圓柱A和墻面有壓力，圓柱A傾向于向左移動，對墻面沒有壓力。平衡是靠各接觸點的摩擦力維持的。現

24、設系統處于平衡狀態，取圓柱A受地面的正壓力為,水平摩擦力為；圓柱B受墻面的正壓力為，豎直摩擦力為；圓柱A受圓柱B的正壓力為，切向摩擦力為；圓柱B受圓柱A的正壓力為，切向摩擦力為，如圖（a）所示，各力以圖示方向為正方向。（a） 已知圓柱A與地面的摩擦系數，兩圓柱間的摩擦系數。設圓柱B與墻面間的摩擦系數為，過兩圓柱中軸的平面與地面的交角為。設兩圓柱的質量均為，為了求出、以及為保持平衡所需、之值，下面列出兩圓柱所受力和力矩的平衡方程：圓柱A： （1） （2） （3）圓柱B： （4） （5） （6）由于，所以得 （7）式中代表、的大小。又因為，于是、和式成為 （8） （9） （10） （11） 以上四

25、式是，和的聯立方程，解這聯立方程可得 （12） （13） （14） （15） 式（12）、（13）、（14）、（15）是平衡時所需要的力，沒有問題，但，三個力能不能達到所需的數值，即式（12）、（14）要受那里摩擦系數的制約。三個力中只要有一個不能達到所需的值，在那一點就要發生滑動而不能保持平衡。首先討論圓柱B與墻面的接觸點，接觸點不發生滑動要求 由式（12），得 所以 （16）再討論圓柱A與地面的接觸點的情形。按題設此處的摩擦系數為，根據摩擦定律，若上面求得的接地點維持平衡所需的水平力滿足，則圓柱在地面不滑動；若，這一點將要發生滑動。圓柱A在地面不發生滑動的條件是 （17）由圖（a）可知 （

26、18） （19） 由式（17）、（18）、（19）以及，可以求得 （20）即只有當時，圓柱A在地面上才能不滑動。最后討論兩圓柱的接觸點，接觸點不發生滑動要求 （21）由式（18）、（19）以及，可解得 （22）顯然，在平衡時，的上限為，總結式（20）和式（22），得到滿足的條件為 （23） 【訓練題】：1、一個小物體與豎直墻面之間的摩擦因數，當作用力與豎直方向成的角度時，至少為10N才能維持物體靜止，如圖所示，問： （1）在不變的情況下，需要多大的力才能使物體沿墻面做勻速運動？ （2）在已確定的情況下，要使物體向上做勻速運動，有什么限制？ 2、 一根長度為的桿AB重為，B端壓在粗糙的地面上，A

27、端用一根足夠牢的輕繩斜拉在地上，繩與桿的夾角為。在離B端處有一個水平作用力。問： （1）桿B端與地面之間的動摩擦因數至少為多大，才能維持桿靜止？ （2）如果B端與地面之間的動摩擦因數為，那么在AB上有一點D，在AD之間不論施加多大的水平力，都不會破壞AB的平衡，求D點的位置。 3 質量為的兩環A、B用長為的細線相連套在水平桿上，在細線的中點掛有一質量為的物塊C，如圖所示。A、B環與桿間的靜摩擦因數為，求平衡情況下兩環的最大距離。4、質量為、的兩星體相距，一質量為的小星體位于兩星體的連線上，求小星體的平衡位置，并分別討論對小星體沿連線方向的擾動和垂直于連線方向的擾動，其平衡的穩定性。5、 石質的

28、水庫底上有一棱長為的立方體，其材料密度是水密度的7倍，想用一裝置把立方體從水庫底提上來，該裝置采用吸盤的原理，如圖所示，即把一邊長為的正方體吸盤緊扣在立方體的上表面，抽走吸盤內的空氣直到壓強。試問能不能借助這個裝置把立方體拉到水面？如果不能，在什么深度立方體脫離吸盤？已知大氣壓強. 6 如果把一只截面是六角形的鉛筆放在與水平面成角的斜面上，垂直于斜面母線（斜面與水平面的交線），則鉛筆靜止不動。如果把鉛筆平行于母線放置，則它向下滾。現將鉛筆的軸與斜面母線間成夾角放置，如圖所示，鉛筆還處于平衡，試求角。7 一盛水容器繞豎直重心軸勻速轉動，試證明容器中的水面為拋物面。(a) 接抽水機 水 水銀 8

29、一個質量為的碗，反扣在裝滿水的較大密度容器底部，碗的形狀是半徑為，高也為的圓柱，再挖去一個半徑同樣是的半球形空穴，如圖（a）所示。在空穴里充滿水銀，將水從容器里慢慢抽出。水、水銀的密度分別為、，試確定： （1）在水柱高度為何值時，碗內水銀開始從它的下邊流出？ （2）假定從容器里把水全部抽出，孔里水銀的高度是多少？ 9 在一深度為的容器中充滿液體，液體密度從表面的到容器底的成線性變化，液體里浸入兩個體積同為的小球，小球間用長為、不可伸長的輕細繩連接，第一個小球密度為，第二個小球密度為，過一段時間后，兩小球靜止于如圖中所示。求繩中張力。 10 如圖所示，由個動滑輪組成一個復式滑輪組，每個滑輪質量為

30、，第一個滑輪上吊一個重為的物體，試求最末一級滑輪上需多大的力。(a) C A B 11 如圖（a）所示，有一長為、重為的均勻桿AB的A端頂在豎直的粗糙墻壁上，桿端與墻間的摩擦因數為；B端用一強度足夠而不可伸長的繩懸掛，繩子的另一端固定在墻壁上的C點，木桿呈水平狀態，繩與墻的夾角為。 （1）求當桿能保持平衡時，與應滿足的條件。 （2）桿保持平衡時，桿上有一點P存在，若A與P點間懸掛一重物，則當重物的重量足夠大時可以使平衡破壞；而在P、B間任一點懸掛任意重量的重物都不能使平衡破壞，求PA的距離。 （a） 12 如圖（a）所示，勻質圓柱體夾在木板與豎直墻之間，其質量為，半徑為，與墻和木板間的動摩擦因

31、數均為，板很輕，其質量可忽略，板的一端與墻用光滑的鉸鏈相連，另一端掛有質量為的重物，長為，板與豎直墻夾角，試問至少需要多大才能使系統保持平衡？并對結果進行討論。 （a） 13 用兩個“爬犁”在水平雪地上運送一根質量為、長為的均勻橫梁，橫梁保持水平，簡化示意圖如圖（a）所示。每個爬犁的上端A與被運送的橫梁端頭固連，下端B與雪地接觸，接觸面積很小。一水平牽引力作用于前爬犁，作用點到雪地的距離用表示。已知前爬犁與雪地間的動摩擦因數為，后爬犁與雪地間的動摩擦因數為。問要在前后爬犁都與雪地接觸的條件下，使橫梁沿雪地勻速向前移動，應滿足什么條件？水平牽引力應為多大？（爬犁的質量可忽略不計） （a） 14 用一根細線豎直懸掛一根長為的均勻細木桿，置于水桶內水平面上方，如圖（a）所示。當水桶緩慢上提時，細木桿逐漸浸入水中，當木桿浸入水中超過一定深度時，木桿開始出