1、作正五角星與五等分圓周問題先看幾個問題:已知線段AB，在線段AB上求作一點C,使BC_ ACAC= AB、 已知線段 AB,求作 ABE，使AB=AE,且/ BAE=36、用直尺和圓規作一個正五角星。對于前述、兩個問題，相信大家都會；一個是對線段進行 黃金分割，一個是利用黃金分割作出黃金三角形。現在把兩個問題化 作一個問題給出作法如下：11作BD= - AB且BD丄AB,連接AD; 2以D為圓心，以BD為半徑畫弧，交AD于點P. 3以A為圓心，以任AP為半徑畫弧，交AB于點C.則BC=AC蟲分別以A為圓心AB為半徑、以B為圓心AC為半徑畫弧，兩弧交于點 E。則/ BAE=3 6ACBE此時點C

2、為線段AB的黃金分割點即鬆=囂=尋，利用勾股定理很容易證明;至于 ABE中，若AB=AE,且詈于則/BAE=36°,ABE為黃金三角形，后邊有證明過程，這里 就不說了。現在來說一說怎么用尺規作圖畫正五角星的問題。一說到作五角星，人們首先會想到五等分圓周，即作一個圓, 找出它的五等分點， 然后每隔一個點連一條線段， 就可得到一個正五 角星。恐怕很少有人會想到作正五角星與黃金三角形有什么關系。 本 文擬就如何五等分圓周來談一談作黃金三角形和作正五角星之間的 關系。先來說一說五等分圓周問題。 初一數學中，有五等分圓周的方法： 先畫一個圓，再任意畫一條半徑；因為 360 + 5=72,所以，

3、只要以這 條半徑為一邊，以圓心為頂點，順次畫五個 72度的角，就可以把圓 周五等分。但這種方法理論上說是可以的， 而實際操作起來卻很困難。 因為用量角器量出的角度都是近似值。 往往結果是畫最后一個角的時 候會發現這一個角與其他四個角大小不一樣。到了初三年級時， 學習了正多邊形和圓之后， 這個問題又被重新 提了起來。再次提到五等分圓周時， 初一年級時的那種方法就自然被 否定了。那么，現在又如何五等分圓周呢？目前為止，五等分圓周的方法雖然有很多， 但是無論哪種方法， 先不論作圖步驟的繁簡， 都不能用初中階段的學生能理解的方法明確 地說明作圖的理論根據。 因為尺規作圖， 是一種理論上比較嚴謹的作 圖

4、方法， 每一種作圖方法都應有嚴密的邏輯證明； 正因為如此， 再加 上工具簡單、 可操作性又比較強， 所以尺規作圖才成為人們比較喜歡 的方法， 而被廣泛的應用于各種作圖。 如果有一種作圖方法， 不能應 用數學的觀點給出嚴密的理論證明， 即使是作的再精確， 也不能被人 們廣泛接受。就五等分圓周來說，最常見的有兩種。一種作法是：以 O 為圓心, a 為半徑作一個圓 . 以 a 為半徑在圓上相繼取 相等的弧AB, BC, CD和DE.以AC為半徑，A和D分別為圓心， 作弧相交于F. 以OF為半徑，A為圓心作弧交圓0于G. 仍 以OF為半徑，分別以C和E為圓心，作弧交于H.GH即是內接 正五邊形的邊長，

5、以圓上任意一點開始，GH為半徑，相繼在圓上取 5個點，這5個點就可以五等分圓.這種作圖的證明方法過于繁瑣、 深奧，一般人不太能看懂。還有一種方法普遍的被九年級的師生們廣泛接受，作法如下：1、作圓0;2、作直徑MN ; 3、過O作MN的垂線AO交圓0 于；4、作0M的中點P； 5、以P為圓心，PA長為半徑作圓弧交直 徑MN于Q; 6、以A為圓心，AQ為半徑作圓弧，交圓O于B,E, 再分別以B,E為圓心，AQ長為半徑作圓弧，交圓 0于C, D。7、 邊結ABCDE，多邊形 ABCDE是正五邊形D圖作法并不復雜，但證明卻很麻煩，證明如下:設圖0的半徑為1'根據以上作法則 吧,PQ=PA,Q0

6、=PQ；=容所以叫竿5 =1 10-2 52另外，如圖2圓0的半徑為1, ABCD為圓0的內接正五邊形，S是AB的中點，則AB _ OS ,A0S=述=等=36，故邊長AB =2AS =20Asin36。如果我們能夠證明sin36二10-2 5則上述作法就是五等分圓周4的尺規作圖方法，是精確作法。下面我們推導sin36 =心2 5，4因為 sin36 =sin 144 = 2sin 72 cos72 = 4sin36 cos36 cos72 '所以cos36 cos72。由倍角公式，有 cos36 2cos2 36 -1 =-，即 cos36 是44下述三次方程8x3-4x-1=0的根

7、。因式分解得2x 1 4x2-2x-1i=0故方程8x3 -4x -1 =0有下述三個根:X1 2 Y0,X2 # 1 - .5 Y0,X3# 15 >0 ,由于 COS36 卜0,舍去 %必，故方程的唯一正根是cos36 ，所以cos36 5，進而4sin36° = J1-cos236” =-（丄逅 =丄丿10-2亦，由于根據作法Y I 4 丿 4AB =丄丿10_2亦，而已證 si門36"=丄10-2亦，24所以圖中的AB=2sin 36 =2AOsin36是半徑為1的正五邊形的一條邊，多邊形ABCD至正五邊形，此種作法是精確作法。以上作法步驟簡單，證明也比較嚴謹

8、，但是，對于初中一線教師來說，它有一個致命的弱點，那就是，證明過程無法給學生講解。那么，有沒有一種方法，既能精確地五等分圓周，而又能用初三年級的學生看得懂的方法給出理論上的證明呢？答案是肯定的。作法如下：1作圓0; 2、作直徑MN 3、過O作MN的垂線PQ交圓0于P、Q.； 4、作0N的中點G; 5.以G為圓心，0G長為半徑作圓弧交直徑 PG于 H; 6.分別以0為圓心PH長為半徑、以Q為圓心0C長為半徑作 圓弧，兩弧交于點F; 7.連接Q F并延長交圓0與點A;8以A為圓心，A P長為半徑作圓弧，交圓 0于B,再以B為圓心，A P長為半徑作圓弧，交圓 0于C,以C為圓心，A P長為半徑作圓弧

9、,交圓 0于B 9、連結ABCDP多邊形ABCD是正五邊形M證明：設圓0的半徑為a,則。畤,PG=.5 -12a.PH=；-1 a : QO=QF=a 0F=PH 5Q=；-1 QFC為黃金三角形二 / OQF=36 二 / POA=72 PA是半徑為a的圓0的內接正五邊形的邊作法是稍微麻煩了一些，但證明卻比較簡單，當然，現在又出現 了一個問題，那就是：底邊與一腰長之比等于 二$的等腰三角形為 黃金三角形，其頂角等于 36度嗎？。下面再來證明一下： 如圖，已知： ABC中，AB二AC, BC:AC專1 求證：/ A=36°證明：如圖，在AC上截取AD二BC連接BD;:心+AD：A+

10、ad42AC= (AD+CD)IaDCD 二 AD=icD二CD:AD=51223-、522 CD:AD = CD:BC = BC:AC 又 t / C= / C ABC BCD t AB=AC BC=BD=AD / ABD= / A圖/ BDCM C=2Z A = / ABC t/ C+Z A+Z ABC=180 5 / A=180° / A=36也就是說，底邊與一腰長之比等于.5 -12的等腰三角形為黃金三角形，其頂角等于36度。其實，五等分圓周，實際上就是作 72 度的圓心角。初一年級 用的是量角器， 初三年級則要求尺規作圖。 圖的作法直接得出的是 線段與圓的半徑的比值，而要說

11、明這樣的弦在圓中所對的圓心角是 72 度，則需要經過繁瑣的、初三年級的學生看不懂的證明；這種證 明方法用到了高中才能學到的三角函數的誘導公式。 而圖則直接得 到了 36 度的圓周角，再由同圓或等圓中同弧或等弧所對的圓周角是 圓心角的一半，進而得到了 72 度的圓心角；用的都是初三年級的學 生學過的知識， 教師一講學生就聽得懂。 比較上述兩種作法， 我認為 還是圖的作法更容易被學生接受。這是因為：圖的作法雖然簡單， 但這種作法只能是教師給出， 學生無法自行進行探究； 作圖一旦出現 誤差，教師無法用學生聽得懂的方法說明它的可行性。 而圖則不然， 這種方法學生可以在教師的引領下自己進行探究。 圖的作

12、法， 其實 就是以圓的一條半徑為腰在圓內構造黃金三角形。觀察上述作法知 道，我們只要得到了 36度的角，在畫出頂角為 36 度的等腰三角形的 同時也就得到了 72度的角。在圖中，如果不延長QF而是直接延長 OF與圓交于一點，一下子就可以得到 72度的圓心角及其所對的弦， 從而得到圓內接正五邊形的邊。用這種方法，不但可以五等分圓周，而且可以不用畫圓就能直 接畫出正五角星。 傳統的畫五角星的方法都是利用五等分圓周， 好像 離開了圓周的五等分就不能畫五角星似的。 其實在學習了黃金分割以 后，學生再對黃金三角形有一定的理解， 完全可以利用黃金分割的知 識直接用尺規作圖作出正五角星。具體方法如下：11.

13、作線段AB 2.作線段BP丄AB且BP=AB,連結AP 3.以P為圓心，以PB為半徑畫弧交PA于點Q 4.分別以A為圓心AB為半徑、以B為圓心AQ為半徑畫弧，兩弧交于點 C; 5.分別以C為圓心AB為 半徑、以A為圓心AQ為半徑畫弧，兩弧交于點 D 6.分別以D為圓 心AB為半徑、以C為圓心AQ為半徑畫弧，兩弧交于點E.7.連結AG CD DE EB如圖，則可得到正五角星。這個操作過程實際就是作黃金三角形的過程，圖中的ABC就是一個黃金三角形。由線段的黃金分割與前面的黃金三角形的證 明，可知這種做法是正確的。由此可知，畫正五角星與五等分圓周并沒有直接的必然的關系， 利用五等分圓周可以作出正五角

14、星，利用作五角星同樣也可以五等分 圓周。把上述正五角星放入一個圓內并把它的一個頂點放在圓上，延長這個角的兩邊與圓相交，連接交點與圓心，此時就得到了72度的圓心角。如此看來，五等分圓周的問題可以轉化為在圓內作一個頂點 在圓上的任意正五角星的問題。如果說作正五角星還嫌麻煩，那就向圓內作頂角的頂點在圓上的黃金三角形；這個三角形只要頂角的頂點在圓上，至于腰是不是半徑都沒有關系。因為只要能得到36度的圓周角，就能得到72度的圓心角；而圓中72度的圓心角所對的弧是圓 的五分之一，所對的弦是圓內接正五邊形的邊， 是沒有多少人會懷疑 的。同樣，如果有了長度之比為 旦的兩條線段，甚至可以作底角2的頂點在圓心的黃金三角形，從而直接得到 72度的圓心角，作法與 圖類似。現在再回過頭來看看圖的作法，由其作圖和證明過程可知，實際上也已經得到了長度與半徑之比為 寧 的線段0Q可惜的是沒 有利用這條線段構造黃金三角形，而是急于進一步得到圓內接正五邊 形的邊，從而給問題的證明帶來了