1、第頁12020屆江蘇省蘇錫常鎮四市高三第二次模擬考試數學理科(滿分 160 分，考試時間 120 分鐘)2020. 5填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共 70 分.1.已知集合 A = 1 , 2 , B = 1, a.若 A U B= 1, a, 2，貝 U a=_2. 若復數 z 滿足(1 i)z = 1+ i，其中 i 是虛數單位，則 z 的實部為 _.3. 某校 100 名學生參加知識競賽的成績均在50, 100內，將學生成績分成50, 60), 60, 70), 70,80), 80,90) ,90 ,xJ1While y1yj3x2xJyEnd While100五組，

2、得到如圖所示的頻率分布直方圖， 則成績在80,90)內的學生人數是Print y(第 3 題)(第 4 題)4. 一個算法的偽代碼如圖所示，執行此算法，最后輸出y 的值為_.5. 某班推選一名學生管理班級防疫用品，已知每個學生當選是等可能的，若“選到女生”的概率是1“選到男生”的概率的 2，則這個班級的男生人數與女生人數的比值為6.函數 f(x) =!2 x + ln x 的定義域為 _.7.在平面直角坐標系 xOy 中，拋物線2扌=1 的頂點，則 a=4a9.CMBD8.已知等比數列an的前 n 項和為 Sn,已知正方體 ABCDA1B1C1D1的棱長為 6,點 M 是對角線 A1C 上靠近

3、點 A1的三等分點，則三棱錐 的體積為_ .2x+a,0wxw1,10.已知定義在 R 上的奇函數 f(x)的周期為 2，且 x 0 , 1時，f(x)=bx 1x + 1 ,20）與圓 0 外離，線段 A01與圓 01交于點 M ,線段 BM 與圓 0 交于點 N，且 0M + 0 訊=0,則a 的取值范圍是_.14. 已知 a, b R , a+ b = t（t 為常數），且直線 y = ax+ b 與曲線 y= xex（e 是自然對數的底數，e 2.71828）相切.若滿足條件的有序實數對（a, b）唯一存在，則實數 t 的取值范圍是 _.二、 解答題：本大題共 6 小題，共 90 分.

4、解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15. （本小題滿分 14 分）在厶 ABC 中，已知 a, b, c 分別為角 A, B , C 的對邊，且 bsin 2A = asin B.（1）求 A;nn求 cos(B + 6)+ sin(C + )的最大值.16.（本小題滿分 14 分）在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，已知底面 ABCD 是菱形，且平面 A1ADD1丄平面 ABCD , DA1= DD1,點 E, F 分別為線段 A1D1, BC 的中點求證:(1) EF /平面 CC1D1D;(2) AC 丄平面 EBD.ACD，貝 U BDAC =7t側作正三角形12.如圖

5、，在 ABC 中，/11.已知銳角a滿足 sin 2a第頁第頁417.(本小題滿分 14 分)X2y21xOy 中，橢圓 C:孑+b= 1(ab0)的離心率為，右焦點到右準線的距離為(1) 求橢圓 C 的標準方程；(2) 過點 P(0，1)的直線 I 與橢圓 C 交于兩點 A，B.己知在橢圓 C 上存在點 Q,使得四邊形 OAQB 是平 行四邊形，求 Q 的坐標.在平面直角坐標系3.第頁518.（本小題滿分 16 分）某地開發一片荒地，如圖，荒地的邊界是以C 為圓心，半徑為 1 千米的圓周已有兩條互相垂直的道路 OE, OF，分別與荒地的邊界有且僅有一個接觸點A , B.現規劃修建一條新路（由

6、線段 MP , PQ,線段QN 三段組成），其中點 M, N 分別在 OE, OF 上，且使得 MP , QN 所在直線分別與荒地的邊界有且僅有 一個接觸點 P, Q, PQ 所對的圓心角為6.記/ PCA = 2B道路寬度均忽略不計）若吐辛，求 QN 的長度;（2）求新路總長度的最小值.第頁619.(本小題滿分 16 分)已知各項均為正數的數列 an的前 n 項和為 Sn, ai= 2，且對任意 n N*, anSn+1 an+iSn= 2an+1 2an恒成立.設 bn= an+ 4n 3,已知 b2, bi, bj(2vivj)成等差數列，求正整數i, j .(1)求證：數列Sn+2是等

7、差數列，并求數列an的通項公式;第頁720.(本小題滿分 16 分)已知函數 f(x) = (m 1)x + In x , g(x) = (m -2)x2+ (n + 3)x- 2, m, n R.當 m= 0 時，求函數 f(x)的極值；當 n= 0 時，函數 F(x) = g(x) -f(x)在(0,+ )上為單調函數，求 m 的取值范圍；當 n0 時，判斷是否存在正數m,使得函數 f(x)與 g(x)有相同的零點，并說明理由. !第頁82020屆高三模擬考試試卷數學附加題（滿分 40 分，考試時間 30 分鐘）21.【選做題】 在 A , B, C 三小題中只能選做兩題，每小題 前兩題計

8、分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.A.（選修 42 :矩陣與變換）1a已知點 M（2 , 1）在矩陣 A =對應的變換作用下得到點b 2B.（選修 44:坐標系與參數方程）X=2COSa,在平面直角坐標系 xOy 中，曲線 C 的參數方程為（a為參數）.以原點 O 為極點，x 軸非y=sinan負半軸為極軸建立極坐標系，直線I 的極坐標方程為 psin（葉”二-,10.（1）求曲線 C 和直線 l 的普通方程；（2）點 P 是曲線 C 上的動點，求 P 到直線 I 的距離的最小值.C.（選修 45:不等式選講）已知 a, b, c 是正數，求證：對任意 x R，不等式|x 2|

9、x+ 1|Wb+C+旦恒成立.a b c【必做題】 第 22, 23 題，每小題 10 分，共 20 分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算 步驟.22.如圖，在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA 丄平面 ABCD , AB = 2, AD = AP = 3，點 M 是棱PD 的中點.（1）求二面角 MACD 的余弦值；10 分，共 20 分.若多做，則按作答的N（5, 6），求矩陣 A 的特征值.第頁9點 N 是棱 PC 上的點，已知直線 MN 與平面 ABCD 所成角的正弦值為3222求爰的值.1*23.已知數列an中，ai= 6, an+i= 3a2 an+ 3

10、(n N ).分別比較下列每組中兩數的大?。?3a 和 6x2；a3和 6X3;a. 23當 n3 時，求證：(才2x(pn 3.第頁102020屆高三模擬考試試卷（蘇錫常鎮）數學參考答案及評分標準1. 12. 03. 30 4. - 15. 26. (0, 27. 18. 2 或 89. 2410. 011.212.413. (2 2, 4)14. t = e 或 t 5e215.解：(1)因為 bsin 2A = asin B，所以 2bsin Acos A = asin B,所以由正弦定理 一 = -，得 2bacos A= ab.(3 分)sin A sin Bab 1因為 abz0,

11、所以 cos A =T= z.2ab 2n因為三角形內角 A (0,n)，所以 A = .(6 分)3n2n2n(2)由(1)知 A = -3，又 A + B + C=n,得 C=n A B =可一 B, B (0 ,三),nn所以 cos(B+ )+ sin(C + )=2sin B + #cos B= sin(B + 才).(11 分)2nnn因為 0可，所以 y0I X2=咼習所以y1+ y2= 34p.（1 分）化簡得 k2= 4 所以 k =g，符合題意,（13分）18.解：因為處所對的圓心角為亍，所以/nPCQ =石，n5n因為/ BCA = 2，所以/ BCQ = 2n兀n626

12、 = 7，所以四邊形7tBCQN 中,2n從而 PM + NQ = tan0+tanCw30 =tan02ntan亍tan0 + =tan2n1+tan 3 tan0V3tan00+1.3tan0，即 PM+NQ=tan0+爭+tan0=tan 3tan0 11+-ta n0-巫，（9分）tan0其中n nxi30（石，?），tan0（所以2 3,第頁13(14 分)2nn答：當/ PCA =飛時，新路總長度的最小值為（2.3+石）千米.（16 分）因為anSn+1 an+1Sn= 2an+1 2an，所以 anSn+1+ 2an= an+1Sn+ 2an+1.Sn+1+ 2 Sn+ 2 十,

13、、，Sn+1+ 2 Sn+ 2*因為 an0,兩邊除以 anan+1得=-，所以-=0, n N ,an+1anan+1an則 Sn+ 2= 2an, Sn+1+ 2= 2an+1,兩式作差得 an+1= Sn+1 Sn= 2an+1 2an, 所以 an+1= 2an.因為 an0，所以 =2, n N*,an所以數列an是首項為 2,公比為 2 的等比數列，所以an= 2n.(7 分)解：bn= 2n+ 4n 3，由 b2, bi, bj成等差數列得 2bi= b2+ bj,即 2(21+ 4i 3) = 9 + 2j+ 4j 3，整理得 2i1+ 2i = 2 廠2+ j + 3(2i

14、i+ 2，則(2j2+ j + 3) (2i1+ 2i) 2i+ i + 5 2 廠1 2i = 2i1 i + 5.(12 分) 設 Cn= 2n1 n +5(n2), cn+1 cn= (2n n + 4) (2n1 n+ 5) = 2n1 10 ,則 Cn+1cn(n2)，所以 n2 時，數列cn單調遞增，其中 C3= 60 ,所以 cn0 , 即 2 廠2+ j + 32i1+ 2i，所以(*)式不成立.(15 分)綜上可得 i= 4, j = 5.(16 分)120.解：(1)當 m= 0 時，f(x) = x+ ln x，令 f (=) 1 +_= 0,得 x= 1,列表如下: X

15、x(0, 1)1(1 , )f (x)+0一f(x)極大值、所以，當 x= 1 時，函數 f(x)有極大值為 f(1) = 1,函數 f(x)無極小值.(3 分)(2)當 n= 0 時，F(x) = (m 2)x2+ (4 m)x ln x 2, x (0,+ ),12 (m 2) x2+( 4 m) x 1(2x 1) ( m 2) x + 1則 F (x= 2(m 2)x + (4 m) =xxx1 1當 m 20，即 m2 時，令 F (x)0 則 x2，所以 F(x)在(0,刁上單調遞減，1在(2,)上單調遞增，不符合題意；(5 分)1 1 1 1 1若 一0 則 x；，所以 F(x)

16、在(0,)上單調遞減，2 m 22 m 22 m當且僅當 tan0扌=，0 (_6，tan0可ny）,即當且僅當nA時取等號.3(15 分)19.證明:S + 2a1=2.所以數列是首項為 2，公差為 0 的等差數列，所以= 2.(3 分)an第頁14當 m1，令 F (x)0 則 1x0,構造 h(x) = x + In x + x (3 + n)(x0),1 2x2+ x -2(x+2)( x -1)則 h (x= 1 +-=2 =2.x x xx令 h (x=0,貝 y x= 1,當 0 x1 時，h (x)1 時，h (x)0 ,所以 h(x)在(0, 1)上單調遞減，在(1,+s)上

17、單調遞增，所以當 x= 1 時，h(x)取得極小值 h(1),2 因為 h(1)= *0, h(n + 3)= ln(n + 3)+0,n+ 3且 h(x)在1 , n+ 3上的圖象是一條連續不間斷的曲線，2 所以存在 x (1, n + 3)，使得 h(x0)= 0,即卩 X0+ In X0+ (3 + n) =0, x0兩邊同乘以 X。，有 x2+ X0ln X0+ 2 (3 + n)X0= 0 .(12 分) In X0”皿，、 InxnIn x 1取 m= 1 0,構造 k(x) = 1 , x0, k (x) =2.X0 xx令 k (x= 0 有 x = e,則有 k(x)在(0,

18、 e)上單調遞增，在(e,+ )上單調遞減,1所以當 x= e 時，k(x)取最小值 1 -0,eIn X0所以 m= 100，兩邊同時乘以X0化簡得(m 1)X0+ In X0= 0，即 X0也是 f(x)的零點；兩邊同時乘以 X0可得(m 1)x2+ X0ln X0= 0.(14 分)用一可得(m 2)x6+(n+ 3)x0 2 = 0,所以 X0也為 g(x)的一個零點， 所以當 n0 時，存在正數 m,使得函數 f(x)與 g(x)有相同的零點.(16 分)X0, 有 mx0= X0 In X0,第頁152020 屆高三模擬考試試卷（十八）（蘇錫常鎮）數學附加題參考答案及評分標準入一

19、1 3=(1)(入一 2) 6,令 f(入=0,得 用一 3 入一 4 = 0,2 入一 2即（4）（甘 1）= 0，解得X1= 4,入2= 1 ,所以矩陣 A 的特征值為 4 或1.（10 分）x22B.解： 由題意，曲線 C 的普通方程為-+ y2= 1,直線 I 的普通方程為 x + y 2,：5 = 0.（4 分）設 P（2cosa,sina），貝 U P 到直線 I 的距離所以P到直線I的距離的最小值為亠 2（10 分）b+唇 33 bxa=3,a b c .a b c0, 0), B(2 , 0, 0), C(2, 3 , 0) , D(0 , 3 , 0) , P(0 , 0 ,

20、 3), M(0 , | , |) , AP = (0 , 0 , 3) , AC = (2 , 3 , 0),3 3AM = (0 , 2 , 2).21. A.解：因為點 M（2，1）在矩陣 A =對應的變換作用下得到點N(5 , 6),所以5，則2+ a= 5, 2b+ 2 = 6,a= 3,解得所以 A =b = 2,.(5 分)f(入)E-A| =|2cosa+sina 2 5|V5sin( a+ 0) 2 苗|2 5. 5sin (a+ 0),(8 分)所以當 Sin（汁0=1 時，dmin=10C.證明:對于正數 a, b, c,由均值不等式得當且僅當 a= b = c 時取等號

21、.（4 分）對任意 x R，由絕對值不等式得|x 2| |x + 1|W|x 2| |x + 1| 6X(|)3.(3 分)c n (n - 1)32證明：先用數學歸納法證明：當n3 時，an6X(刁.(4 分)31當 n= 3 時，a36X3;3k(k-1)2假設當 n= k(k 3, k N*)時，結論成立，即ak6X(；)4 5,k ( k- 1)41 3 3 13當 n = k + 1 時，ak+1=ak ak+ 3込X6X(?)22- 6X(刁2+ 3X6X(-)22-因為 PA 丄平面 ABCD，所以平面 ACD 的一個法向量為 AP = (0, 0, 3). (1 分)設平面 MAC 的法向量為 n = (x , y, z).所以n AC = 0, nAM = 0,2x + 3y = 0,即 33 取 n