1、第1 1頁共 1919 頁2020 屆廣東省中山紀念中學高三 1 月月考數學(文)試題一、單選題1 1.已知集合Ax |y lg(2 x),集合B x| 2 x 2，則A B()A A .x | x2B B.x| 2x2C C.x| 2x2D D .x|x2【答案】C C【解析】試題分析：因為對數函數y lg(2 X)，所以2 x 0，即x 2，即集合A X|x 2，由交集的定義知，A BX| 2 x 2，故應選C.【考點】1 1、集合與集合間的基本運算2 2、對數函數；2 2 .在復平面內，復數 匕丄對應的點的坐標為()1 iA A.(2,1)B B.(1, 2)C C.(1,2)D D.(

2、2, 1)【答案】A A3 f【解析】試題分析：Z =- =* _ 一：2 +，所對應的點的坐標是1T(1- rll+i)2) )，故選 A A .【考點】復數的幾何意義r3 3.設平面向量m1,2,n2,b，若rn/n，則r r mn等于()A A. 75B B .C C .V13D D .3/5【答案】D D【解析】試題分析：Qmn,1 b 2 20,得b4,mm n 1,22,43,6,imm n732623J5.故應選D.【考點】1 1、向量的坐標運算；2 2、向量平行的性質. .4 4 執行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果為()第2 2頁共 1919 頁【答案】B B【解析】列出循環

3、的每一步，根據條件S【詳解】運行該程序，輸入i 1,S 0，則S 0g1y3g1;S lg-y3g 101,不滿足判斷框，則i3,S g1；5S g-y5g y101,不滿足判斷框，則i5,S9扌；Sg扌g 101，不滿足判斷框，則i7,Sg9 g-g9；S Ig1y9g 101,不滿足判斷框，則i9,Sg丄11Sig111g丄y101，滿足判斷框，輸出i 9. .故選：B.B.【點睛】本題考查程序框圖，考查學生的推理能力與計算求解能力，屬于基礎題5 5.齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優于齊王的下等馬， 劣于齊王的中等馬， 田忌的下等馬劣于齊王的下

4、等馬，C C. 1010D D . 11111成立，循環結束，可得出輸出結論現從雙2第3 3頁共 1919 頁將函數y f x的圖象向左平移寸個單位后得y cos7tsin x，故選項方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為（）1111A A . . - -B B. C C. D.D.- -3456【答案】A A【解析】先求出基本事件總數，再求出田忌的馬獲勝包含的基本事件種數，由此能求出田忌的馬獲勝的概率 【詳解】分別用 A A, B B, C C 表示齊王的上、中、下等馬，用 a a, b b, c c 表示田忌的上、中、下等馬， 現從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽有 A

5、aAa, AbAb, AcAc, BaBa, BbBb, BeBe, CaCa, CbCb ,CcCc 共 9 9 場比賽，其中田忌馬獲勝的有 BaBa , CaCa, CbCb 共 3 3 場比賽，所以田忌馬獲勝的概1率為. .3故選：A.A.【點睛】本題考查概率的求法，考查等可能事件概率計算公式等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是基礎題 【答案】【詳解】故選項 A A、B B 都不正確;6 6.已知函數fsincosnx,則下列結論中正確的是A A 函數y f的最小正周期為2nB.函數y f的最大值為C C .將函數yx的圖象向左平移D D .將函數yx的圖象向右平移丄個單

6、位后得2丄個單位后得2y = g(x)的圖象y = g(x)的圖象【解結合三對四個選項逐個分析可選出答案由題nsin x 2ncosx,g x cos x2sin x,x g x cosx sinx】sin2x,最小正周期為22n2n，最大值為第4 4頁共 1919 頁不正確;故選：D.D.【點睛】與推理能力，屬于基礎題是奇函數，排除 B,DB,D 再根據導函數的導函數小于 0 0 的 x x 的范圍，確定導函數在，一3 3上單調遞減，從而排除 C C,即可得出正確答案.【詳解】1212由 f f( (x x)= 一xsin x x cosx,4241二f (x)-x sinx，它是一個奇函數

7、，其圖象關于原點對稱，故排除 B B, D D .211又f (x) cosx，當一 V X XV 時，cosxcosx ，二f (x)V 0 0,2332故函數 y y=f (x)在區間-,7上單調遞減，故排除 C C.33故選 A A.【點睛】將函數y f x的圖象向右平移n個單位后得yncos x一2sin x,故選項 D D 正本題考查三角考查三角函數的周期與最值,考查學生的計算能力x），f (x)為 f f (x)(x)的導函數，則f(x)的圖象是()A.【解析】先化簡 f f (x x)sincosx，再求其導數，得出導函數D D.B B.第5 5頁共 1919 頁本題主要考查函數

8、的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于 0 0 時原函數單調遞增，當導函數小于 0 0 時原函數單調遞減，屬于基礎題.第6 6頁共 1919 頁【答案】B B【解析】 試題分析：兩個曲線的:1一.：匚.，和.：一亠： 一，故兩個曲線的_相等，即焦距相等，而兩個曲線的 T T - -,另一個一一，所以離心率不同，虛軸也不同，故選 B B .【考點】雙曲線的性質0,將函數f x cos x的圖象向右平移個單位后得到函數2g xsin x的圖象，則4的最小值是f)A A .3423B.C.D D .332【答案】D D【解析】由函數f (x)cosxsin（ x）圖象向右平移一個單位后得

9、到22sin( x),22由題意可得：2 2k, fk Z)解得：34k，:0,2242當k 0時,3的值最小值為-,故選 D.D.21010 .已知x,1y均為正實數，且11 1，則x y的最小值為 f)x2 y 26A A . 2020B B. 2424C C. 2828D D . 3232【答案】A A【解析】分析:由已知條件構造基本不等式模型x yx 2y 24即可得出詳解：Qx,y均為正實數，且1-，則6丄x 2 y 26x 2x y (x 2) (y 2)46(2)(x 2) (y 2)8 8.已知（0,亍） ， 則曲線4sin21與曲線2x9 4cos2A A 離心率相等B B.

10、焦距相等C C .虛軸長相等D D .頂點相同9 9.已知x第7 7頁共 1919 頁6(2H2)4v 2 x 26(22卜)420當且僅當x y 10時取等號x y的最小值為 20.20.故選 A.A.點睛：本題考查了基本不等式的性質,一正、二定、三相等”31111.已知函數f (x) loga(xax),11，若函數 f f （x x）在區間（-,0）上單調遞增，則實數a的取值范圍是3A A .Q1)C C.(1,4)【答案】【解析】設g （x）3x ax,由g(x)0可得x（、a,0） C，a,），進而可得g(x)3x2令 g g (x)(x)x（,；,）；令g （x）0，可得(a,：）

11、(a,），所以函數g（x）在（,0）上單調遞減，在,(.a,）上單調遞增當a 1時，函數 f f （x x）的單調遞增區間為；),(W），不合題意；當0 a 1時，函數f f （x x）的單調遞增區間為J)，因為函數1f f（x x）在區間（2,0）上單調遞增，所以1，所以實數a的取值范圍是3,1)，故選 A A .4x21212.若函數f的最大值為f，則實數a的取值范圍為A A.0,2e2B B.【答案】B B0,2e3C C.0,2e2D D.0,2e3x第8 8頁共 1919 頁【解析】由f( 02 a，可得ainx x222 a在x0恒成立,【答案】3,0第 7 7 頁共 1919 頁

12、即為 a a f 1-lnx1-lnx)Mx x2,當x e時，oe2顯然成立；2當00，可得axInx 12x,0vxve,Inx 1可得a 0;33由x e2時，g(x)0,g(x)在x e2,遞增,3即有g(x)在x e2處取得極小值，且為最小值2e3, 可得a 2e3, 綜上可得0 a 2e3故選 B B.【點睛】本題考查函數的最值的求法和應用， 注意運用參數分離和分類討論的思想方法,以及構造函數法，求出導數和最值 . .、填空題x 0,x 2y 3,則x y的取值范圍是_2x y 3,設g( x)g(x)2x(l nx 1) x(Inx 1)2x(2I nx 3)2，(Inx 1)2

13、由Ovxvg (x)vo,g(x)在(o,e)遞減，且g( x)v0當xe時，有1Inxv0，可得a設g( x)2xInx 1x e,g(x)x(2Inx 3)(Inx 1)23evxve2時,3g( x)v0,g(x)在(巳記)遞減,1313 .若x，y滿足約束條件:第1010頁共 1919 頁【解析】 約束條件對應ABC邊際及內的區域:請在此輸入詳解！1414 已知直線y kx 1與曲線y x3ax b切于點(1,3)，則b的值為【答案】3 3【解析】將1,3代入切線，得k 2，又y 3x2a，所以y |x i3 a 2，得a 1,曲線解析式為y x3x b，再將1,3代入可得b 3151

14、5 已知拋物線方程為y24x，直線l的方程為2x y 4 0，在拋物線上有一動點A，點A到y軸的距離為m,點A到直線l的距離為n，則m n的最小值為 _ . .【答案】6J15【解析】過點A作直線I的垂線，垂足為H,過點A作準線的垂線，垂足為C,交y軸 于點B，根據拋物線的定義可知，AF AC m 1，所以m n AF AH 1, 過點F作直線I的垂線，垂足為H1,當點A在FH1與拋物線的交點時，AF| |AH最 小，從而可求出答案 【詳解】如圖，焦點為F 1,0，拋物線的準線方程為x 1,過點A作直線l的垂線，垂足為H，則AH n,A(0,3),B(0，2)，C(1,1)【詳第1111頁共

15、1919 頁過點A作準線的垂線，垂足為C,交y軸于點B，則I AB m,| AC m 1,根據拋物線的定義可知，|AF| |AC m 1,所以mnlAF| |AH1，此時，m n取得最小值L-5i. .5本題考查拋物線的性質，考查點到直線距離公式的應用，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題 1616 .函數f x XX(函數y x的函數值表示不超過x的最大整數，如3.64,2.12),設函數g x f x lg x，則函數y = g(x)的零點的個數為_. .過點F作直線I的垂線，垂足為Hi，則FH6.55當點A在FHi與拋物線的交點時,AF | AH最小，為FHi出，5故答案為：Lili. .

16、第1212頁共 1919 頁【答案】8 8【解析】令h x f x，則h x x x,易知x 0,1時，h x x，且h x是周期為 1 1 的函數，令g x f x Igx0，可得Igx h x，即只需求得函數h x及y Ig x的圖象在(0,+?)上的交點個數即可. .【詳解】令h xf x，貝U h x x x,由函數yx的定義知，x 0,1時，h x x，且h x是周期為 1 1 的函數. .令g xf x lg x 0，則Ig xf x，即Ig x h x，且x 0,作出函數h x及y lg x在(0,+?)上的圖象，如下圖，h 111 lg1 0，二者第一次相交，h 10 10 1

17、0 0,lg10 1,故x 0,10時，h x與y Igx的圖象有 8 8 個交點,x 10時，h(x) 1，lgx1，二者無交點所以函數h x及y lg x的圖象在(0,+?)上有 8 8 個交點，即函數y = g(x)的零點的個數為 8.8.故答案為：8.8.本題考查函數零點個數，考查函數圖象的應用，利用數形結合是解決本題的較好方法，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題 三、解答題rrr r1717 .已知m (、3 sin x,2),n (2cos x,cos2x)，函數f(x) m n. .(1) 求函數 f f (x)(x)的值域；第1313頁共 1919 頁(2) 在ABC中，角A,

18、 B,C和邊a,b, c滿足a 2, f(A) 2,si nB 2s in C，求邊c. .【答案】( (1 1)函數 f(x)f(x)的值域為1,3(2 2)c厲3第1414頁共 1919 頁【解析】試題分析：(1 1)平面向量的數量積及輔助角公式可得f(x) 2sin(2x -) 1,6則函數 f(x)f(x)的值域可求；(2 2 )由f(A) 2si n(2 A ) 1 2可得A，再由正弦63定理；余弦定理可求邊c試題解析：(1 1)f(x) m n 2/3sin xcosx 2cos1 2x V3sin2x cos2x 1 2sin(2 x)1，-1 sin(2x -) 1，則函數 f

19、(x)f(x)的值域為1,3. .61(2(2) /f(A) 2sin(2A )12, /.sin(2A -)6 6 2十135又2A - 2A則A -6 6 66 63由sinB 2sinC，得b2c, 已知a 2,由余弦定理a2b2c22bc cos A,得：c2 33【考點】平面向量的數量積，輔助角公式，正弦定理；余弦定理1818 .某學校高三年級有學生500500 人，其中男生 300300 人，女生 200200 人，為了研究學生的數學成績是否與性別有關，現采用分層抽樣的方法，從中抽取了 100100 名學生，先統計了他 們期中考試的數學分數，然后按性別分為男、女兩組，再將兩組學生的

20、分數分成5 5 組:100100 , 110)110), 110110, 120)120), 120120 , 130)130), 130130 , 140)140), 140140 , 150150分別加以統計，得到如 圖所示的頻率分布直方圖.1從樣本中分數小于 110110 分的學生中隨機抽取 2 2 人，求兩人恰好為一男一女的概率；2 若規定分數不小于 130130 分的學生為 數學尖子生”，請你根據已知條件完成2X22X2 列聯表，并判斷是否有 90%90%的把握認為 數學尖子生與性別有關”？附：第1515頁共 1919 頁P(KP(K2 k) )0.1000.1000.0500.05

21、00.0100.0100.0010.001k k02.7062.7063.8413.8416.6356.63510.82810.828n(ad be)2(a b)(c d)(a c)(b d)【答案】（1 1） . ； （2 2）有 90%90%的把握認為數學尖子生與性別有關”.【解析】試題分析：（1 1）先利用分層抽樣的得到男生男生和女生的人數，再列舉出基本事件，利用古典概型的概率公式進行求解；（2 2）先利用頻率分布直方圖得到有關數據,列出列聯表，利用，-公式求值，再結合臨界值表作出判斷.試題解析：解：由已知得，抽取的 100100 名學生中，男生 6060 名，女生 4040 名 分數小

22、于等于 110110 分的學生中，有 60X0.0560X0.05 = = 3(3(人) )，記為 A A1, A A2, A A3；女生有 4040 0.050.05 = 22( (人)，記為 B B1, B B2從中隨機抽取 2 2名學生，所有的可能結果共有1010 種，它們是：(A(A1, A A2) ), (A(A1, A A3) ),(A(A2,A A3) ), (A(A1, B B1) ), (A(A1,B B2) ), (A(A2, B B1) ), (A(A2, B B2) ),(A(A3, B B1) ), (A(A3, B B2) ),(B(B1, B B2) ),其中，兩

23、名學生恰好為一男一女的可能結果共有6 6 種，它們是：(A(A1, B B1) ), (A(A1, B B2) ),(A(A2,B B1) ), (A(A2, B B2) ), (A(A3,B B1) ), (A(A3, B B2) ),故所求的概率- 一 -105（2 2）解：由頻率分布直方圖可知，在抽取的 100100 名學生中，男生 60X0.2560X0.25 = = 1515（人），女生 40X0.37540X0.375 = = 1515（人）據此可得 2X22X2 列聯表如下：數學尖子生非數學尖子生合計男生151545456060女生151525254040合計3030707010

24、0100K2第1616頁共 1919 頁1.791.79 2.706.2.706.所以沒有 90%90%的把握認為數學尖子生與性別有關”.【考點】1.1.分層抽樣；2.2.古典概型；3.3.頻率分布直方圖；4.4.獨立性檢驗思想.1919 已知定義域為R的函數f x一1是奇函數. .2x 12(1) 求b的值；(2) 判斷并證明函數f X的單調性；2 2(3)若對任意的t R，不等式ft 2t f 2t k 0恒成立，求k的取值范圍1【答案】( (1 1)b 1； (2 2)f X在,上為減函數，證明見解析；(3 3)k -3【解析】(1 1)由f X是R上的奇函數，可得f 0 0，可求出b的

25、值；2X2X1XX1 2 2 11X 12 2 2 2故b 1時，滿足題意(2(2)由(1 1)知,所以得K22n(ad be)(a b)(e d)(a e)(b d)2100(15 25 15 45)60 40 30 7025141.79因為(2(2)由(1 1)可知f X的表達式，任取 X X1,X,X2R，且 X X1X X2，比較f X1f X2與0 0 的大小關系，可得出函數的單調性;(3)由f X是奇函數，可將不等式轉化為f t22t2f k 2t，再結合函數是R上的減函數，可知對一切t R,3t22t k 0恒成立，令即可求出答案【詳解】(1(1)因b 100，即0 b 1，即2

26、2經驗證1 12 2X1第1717頁共 1919 頁1 1 2 2X1任取 X Xi,X,X2R，且X XiX X2，貝yf Xlf x2歹1 2212112X21，函數y 2X在R上是增函數，所以22X0. .又21 2X210，則f % fX20，即f %fX2, fX在 ，上為減函數. .(3 3)因為f X是奇函數，從而不等式f t22tf 2t2k0等價于f t22t f 2t2k f k 2t2，又因為fx為， 上減函數，所以由上式推得t22tk2t2，即對一切t R，3t22t k 0恒成立，1則4 12k0，即k. .3【點睛】本題考查函數奇偶性、單調性的應用，考查不等式恒成立

27、問題，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題 2 22020 在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:務 篤1 a b 0的離心率為 一3, ,直線a b2y x被橢圓C截得的線段長為土10. .5(1) 求橢圓C的方程；(2) 過原點的直線與橢圓C交于代B兩點( (代B不是橢圓C的頂點)，點D在橢圓C上，且AD AB，直線BD與x軸y軸分別交于M , N兩點. .設直線 BDBD,AM斜率分別為k1, k2，證明存在常數使得K求OMN面積的最大值2【答案】(1)(1)Xy21. .4(2)(2)證明見解析，1:k2，并求出 的值;第1818頁共 1919 頁28第 i5i5 頁共 i9i9 頁【解析】

28、 試題分析：( (1 1 )首先由題意得到將y x代入x24y2a2可得x鳥,5由丄口0，可得a 2. .b 1得解. .55(2)( i )注意從確定ki,k2的表達式入手，探求使kik2成立的0), Dg, y2)，則B( Xi, yi)，yiy2iy得到kii2Lx-ix24k4x-i根據直線BD的方程為y yi(x xi)，4xiyi令y ,得x 3Xi，即M (3xi,0). .得到k2 2xi1由ki-k2，作出結論. .2(ii)直線 BDBD 的方程y yi-(x Xi),4xi139從確定OMN的面積表達式S 3 xi % xi入手，應用基本不等式得248解 試題解析：(i

29、i)由題意知 丄匚蘭 仝，可得a24b2. .a2橢圓 C C 的方程可化簡為x24y2a2. .因此&込邁，可得a 2. .55因此b i,2設A(xi, yi)(Xiyi將y x代入可得x第2020頁共 1919 頁所以橢圓 C C 的方程為y2i. .40), D(X2, y2)，則B( Xi, yi),(2) ( i )設A(Xi,yi)(Xiyi第2121頁共 1919 頁y1因為直線 ABAB 的斜率kAB-,Xi又AB AD，所以直線 ADAD 的斜率k已,yy(ii)直線 BDBD 的方程y y-(x X-),4x133令x 0,得yy1，即N (0, yj,44由(i)知M

30、(3X1,0),139可得OMN的面積S 3 x y1 x1y1,248由題意知k0,m0,y kxm由x22，可得（1y148mk所以為X22:1 4k2因此y1y2k(x1X2)由題意知,X1x2yy1所以KX1x24k所以直線 BDBD的方程為y2 2 24k )x 8mkx 4m 40. .2m4k24x1(X X-),令y0,得X3x1,即M (3為,0)可得k2_y_2x1. .所以k11k2,即-22. .設直線 ADAD 的方程為 y y kxkx m m ,2m第2222頁共 1919 頁因為xy1y121，當且僅當 嵐y12時等號成立，4229此時 S S 取得最大值 ,8

31、9所以OMN的面積的最大值為. .8【考點】橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系，三角形面積，基本不等式的應用2121 .已知函數fx x al nxa R.1 a(1) 求函數h x f x的單調區間；x1 a(2)若g x在1,e e 2.71828L上存在一點x，使得f xg xo成x立，求a的取值范圍.【答案】(1 1)當a1時，h x在0,a 1上單調遞減，在a 1,上單調遞增,當a1時，h x的0,上單調遞增.( (2 2)ae21e 1或a 2.e 1【解析】試題分析： (1(1)先求函數導數，并因式分解x 1 x 1 a2x安裝導函數是否變號進行分類討論:當a1時，導函數不變號， 在定義區間上單調遞增;當a1 a時，導函數由負變正，單調性先減后增(2 2)構造差函數h x x alnxa，結合x(1 1)討論h x單調性,確定對應最小值，解出對應a的取值范圍.試題解析:解：(1 1)h,l acx x al nx，定義域為0,xa1 a2x ax 1 ax 1x 1 ah x1 -222xxxx當a1 0,即a1時，令h x 0,/x 0，x 1 a，令h x0, x 0,0 x 1 a；當a1 0,即a1時，h x