1、基本圖形與初中幾何教學試論“相似三角形”中的基本圖形內容提要：幾何研究的對象是圖形，識圖是學習幾何的基本功，而所有的圖形都是由基本圖形組成和發展變化而來的。相似三角形中就有許多特殊的基本圖形。這些基本的規律圖形是非常重要的，它是我們遇到的許多復雜圖形的底圖。在復雜的圖形中，如果能夠發現一些基本圖形的話，對找到證明途徑往往具有很大的啟示作用。本文通過對相似三角形中的幾種基本圖形的分類和分析，以及典型例題的證明，進一步說明了基本圖形的重要作用。幾何學是一門源遠流長、內容豐富的數學分支。它是數學領域里一門極為重要的學科。而幾何是生活中的物質空間的數學化，把物質空間作為教學活動的源泉，它研究的對象主要

2、是學生日常生活中經常接觸的東西。初中幾何的內容包括：（1）線段、角；（2）相交線、平行線；（3）三角形；（4）四邊形；（5）相似形；（6）解直角三角形；（7）圓。從內容和教學課程的安排上，我們可以看出，相似形不僅是幾何學龐大知識鏈中承上啟下的一環；也是初中數學教育的重要組成部分。“相似形”的內容是在“全等形”的基礎上研究的，是有關全等知識的拓廣和發展。從變換的角度來講，也就是由保距變換進入到保角變換。但它也是幾何中其他一些知識的基礎，如為引進“銳角三角函數”作好了知識上、方法上的準備，又為證明圓冪定理等奠定了理論基礎。相似形還是研究其他學科的基礎，如物理學中的“力學、光學”等知識也需利用相似三

3、角形性質，同時相似形知識還有很重要的實用價值，如“工程設計、放大樣、測量、繪圖”等方面的工作都要用到這部分知識，因此這部分內容的學習對于今后參加生產勞動從事實際工作也具有重要作用。由于相似形是采用廣泛聯系著的比較抽象的相似變換的方法，再加上它所涉及的內容廣泛，使之成為初中幾何教學中的難點之一，而學好這部分的知識內容關鍵就是掌握其中一些主要的基本圖形。其實學習平面幾何,就是創造條件使一般圖形向基本圖形轉化,然后利用基本圖形的性質去解決問題,培養學生由具體到抽象,由“求真”的科學文化知識教育，將人類幾千年沉積的科學文化成果轉化為學生的個體身心的文化素質。所以，掌握圖形的本質，特征，聯系，應用是學好

4、平面幾何，培養學生文化素質的重要一議。所謂基本圖形，就是直接由定義、判定定理或性質定理所給出的一些幾何圖形。如三角形內角和定理：三角形的三個內角和等于180°。字母表達式為：A+B+C=180°。圖1就是該定理的基本圖形。又如平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。字母表達式為：=。圖2就是該定理的基本圖形。可見，定理決定了圖形，圖形表達了定理，知其一，便知其二。基本圖形的展示可使學生結合圖形能具體形象的理解掌握定理，進行了“求真”的科學文化知識的教育，加之“求美”的藝術圖形的構成，使學生在快樂的教學過程中掌握知識，提高了文化素質，進而也提高了學

5、生的能力。基本圖形之間是有聯系的，明確與其聯系演變，對掌握基本圖形及應用有著重要作用。因此，必須根據學生的特點，為學生創設良好的思維環境，使之由形象思維向抽象思維過渡。如：平行線分線段成比例定理是相似一章的基本定理。同樣，其基本圖形也是本章其它圖形的基礎。三角形一邊平行線判定，內外角平行線性質定理，相似三角形的判定定理，三角形中位線定理都是由平行線分線段成比例定理演變來的。因為學生的思維是不定向和不穩定的，通過基本圖形的演變和學生對其定理的形式的掌握，會使學生的思維模式逐漸形成，理解力和記憶力也隨之增強，開發了學生身心的潛能，使知識成果在學生的身心結構中積沉和內化。一、基本圖形平行線分線段成比

6、例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得對應線段成比例。字母表達式：=或AB*AE=AD*AC（圖3、4）（一）基本型（圖3）例1 已知如圖1，在ABC中，點M是BC邊上的中點，點D是AC邊上的一點，且滿足=,連結BD交AM于點E，求的值。解：過點M作BD的平行線交AC于點NMNBD CMNCBD =又點M是BC的中點 CM=MB CN=DN又= = =同理又MNED AEDAMN =求線段的比例關系通常讓人聯想到平行線分線段成比例定理，而運用此定理的關鍵是要有平行線，所以此類題型就轉化為如何添置平行線的問題了。如何迅速

7、發現要利用的相似三角形是解題中的重點和難點。常見的方法是把稍有變化的題目轉化為已經熟悉的題目和基本圖形，如添輔助線（特別是平行線）、變式、等量代換等。例2 已知如圖2,過菱形ABCD的頂點C的直線分別交BD、AB、AD的延長線于E、F、G。若AG=2AF,求證:EB=BD。證明： BCAG FBCFAG =又BC=DC = 又BFDC EBFEDC = EB=ED引入替換的思想方法，是相似三角形證明中經常用的一種方法。以上解法便利用“DC”取代“BC”來得到新的線段比例關系。例3 已知如圖3，平行四邊形ABCD，EFAC，BF交AD延長線于M。求證：AD2AE*AM證明： EFAC DEFDA

8、C = 又AB=CD = (1) ABCD是平行四邊形 MAB=FCB又AMBC M=CBF AMBCBF= (2) 由(1)(2) = (3)又ABCD MDFMAB = (4)由(3)(4) = 即AD2AE*AM成比例線段問題貫穿平面幾何的相似形與圓兩大章的內容。證明四條線段成比例問題，是常見的一種類型證明題，從基本圖形得到四條線段成比例就得根據給要證明的四條線段放在兩個合適的三角形中，通過證明兩個三角形相似，然后應用兩個三角形對應邊成比例得到證明的已知條件，構造出基本圖形，才能得出結論。（二）拓展型（圖4）例4 已知如圖4，E是正方形ABCD的邊AB上的一點，H是CE的中點，過點H任意

9、作一直線FG，交AD、BC于點G、F。若AE=2BE，求。證明： 過點E作BC的平行線交FG于點MEMFC EMHCFH =又點H是CE的中點EH=HC MH=HF又EMAD 由平行線分線段成比例定理=MG=2FM=4HF=4MH =幾何教學中經常遇到這樣一個問題：學生定義、公理、定理記得很熟，但不會應用。其中主要原因就是定義、定理、公理都是針對一些“基本”圖形（三角形、圓、矩形）的；但在實際應用中，學生在復雜圖形中卻發現不了這些基本圖形。所以在確定相似三角形時，經常可以抓住這些基本圖形的特征尋找到正確的解決方法。如果在教學中能夠引導學生掌握這些基本圖形，并能靈活地使用這些方法，則可使學生在解

10、題中拓展思路，培養其分析問題和解決問題的能力，提高其數學思維品質。（三）綜合運用例5 已知如圖5，DB=DC,APBC,PG分別交AB、AD、AC于E、F、G。求證：=。證明： 過點F作BC的平行線交AB、AC于點M、NMFBC APBC MFAP MEFAEP = (1)FNAP GNFGAP = (2)FMBD FNDC =又BD=DC MF=FN (1)=(2) 即 =引入中介值的思想，得四條線段成比例,這種方法，應用得非常普遍。以上解法便利用其中的兩段線段相等，證明取代后的四條線段成比例即可。例6 已知如圖6，在ABC中，D在AB上，過點D的直線分別交CB的延長線和AC于點F、E。如果

11、=。求證：AE=BF。證明： 過點E作BC的平行線交AB于點GEGBC AGEABC = (1)又EGBF EGDFBD = (2)又= (1)=(2) 即 = AE=BF例7 已知如圖7，在梯形ABCD中，ABCD，AD、BC的延長線交于點F，過點F作EGAB，交BD、AC的延長線于點E、G。若AB=a，CD=b，求FG的長。解： EGAB CGFCAB = (1)又ABCD EGCD ACDAGF = (2)(2)-(1) 得 FG(-)=1 FG=我們知道數學的思想方法是數學的靈魂，它是構造數學能力的核心。基本圖形是幾何教學的基本途徑，作為“模型”的基本圖形能教給學生掌握知識的通法，即普

12、通意義的方法，提高掌握數學基礎知識發展能力，使之帶有規律性、全局性和運用面廣的方法，發展思維的靈活性和創造性，使學生在天稟賦的基礎上形成自身的能力和文化素質。二、基本圖形(一) 當AED=ABC時，ADEACB(圖5)字母表達式：=或AB*AD=AC*AE例1 已知如圖1，在ABC中，BD、CE是高，且ABC+ACB=2A。求證：BC=2ED。證明： ABC+ACB=2A 而ABC+ACBA180°A60° ACE=ABD=90°60°30°= 又EAD=CAB=60° AEDACB = BC=2ED例2 已知如圖2，PAB、PCD是

13、O的割線，且PAB過圓心O，若PA=AO求tgPOC*tgPOD的值。解： 連結BD、BC、AC、ADtgPOC*tgPODtgCBA*tgDBA=*=* (1)PCA=PBD P=P PCAPBD =又PDA=CBP P=P PADPCB =將(1)轉化為 tgPOC*tgPOD*=*=又PA=AO OA=OB = tgPOC*tgPOD=基本圖形的關鍵作用是模型作用，熟悉地掌握基本圖形的性質、特征后，作為“模型”儲存在記憶中，為理解應用概念，定理打基礎，這樣在解決問題中，才能應用自如，逐漸形成一個良好循環。看到圖形，就能想到其反應的定理，概念的內容，明確求證的結論和已知的題設，就能聯想到與

14、其有關的圖形。在實際解題中，能直接觀察到一些基本圖形，就會很容易聯想到其表達式，找到解決問題的途徑。特殊情況：當ACB=ADE=Rt時（圖6） 例3 已知如圖3，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿對角線AC將ACD翻折，點D落在點E處，AE交BC于點F，則點F到AC的距離FG為多少？解： AFBCFE AF=CF 又BF+CF=8 BF+AF=8 (1)又AF2=BF2+AB2=BF2+62 (2) 由（1）（2）解得BF= AF=FC= AC=10AGF=E=Rt GAF=EAC RtAFGRtACE = FG=AF*=例4 已知如圖4，在ABC中，C=90°，P為AB上的一

15、點，且點P不與點A重合，過點P作PEAB交AC邊于點E，點E不與點C重合。若AB=10，AC=8，設AP的長為x，四邊形PECB的周長為y，求y與x之間的函數關系式。（北京市海淀區2002年高級中學中等學校招生考試）解： 在ABC中，C=90°，AB=10，AC=8，根據勾股定理，得BC=6又PEAB EPA=ACB=RtA為公共角 AEPABC =又AP=x = 即AE=，PE=EC=8- BP=10-x y=PE+EC+CB+BP=+8-+6+10-x-+24設點E與點C重合(圖4) 有CPAB又ACB=90° CA2=AP*AB 即 8210*AP 解得AP=因點P與

16、點A不重合，點E與點C不重合 故自變量x的取值范圍是0xy與x之間的函數關系式為y-+24（0x)(二)由上題的解答過程中可以發現另一種特殊的情況，那就是C、E兩點重合的情形。也就是當圖5中的點E重合于點C時，基本圖形就變成為圖7的形式了。這時的字母表達式應為： =或AC2=AD*AB例5 已知如圖5，在ABC中，AD平分BAC，AD的垂直平分線交AD于E,交BC的延長線于F。求證:FD2=FB*FC。（廣州市中考題）證明： 連結AFFAD=FDA CAD=BAD FADCAD=FDABADFAC=B 又AFC=BFA（公共角） FACFBA= FA2=FB*FC又FA=FD FD2=FB*F

17、C用數形結合、引輔助線、以及解方程（比例）、等量代換（線段比、“中間比”）去尋找解體思路。如尋找“對應”，即如要找對應定點，只要判斷兩個定點是否相等，相等的角為對應角，它們的頂點就是對應頂點，相應兩個對應頂點的連線就是對應線段等。例6 已知如圖6，在ABC中，ACB=90°,AM是BC邊上的中線，D在AM上，且DBM=BAM。求證：CDAM。證明： DBM=BAM BMD=AMB（公共角） DBMBAM = BM2=DM*AM又AM是BC的邊上的中線 CM=BM CM2=DM*AM =又AMC=CMD（公共角） CMDAMC CDM=ACM=Rt CDAM對于一些較難的幾何圖形，基本

18、圖形是隱藏在所給的圖形里，必須根據所給的已知條件適當引輔助線構成基本圖形，才能達到目的。例7 已知如圖7，在ABC中，ACB=2ABC.求證：AB2=AC2+AC*BC。證明： 作ACB的角平分線交AB于點D 則ACD=ABC 又A=A（公共角） ACDABC = AC2=AD*AB (1) AC*BC=AB*CD (2) 又B=DCB BD=CD 則（2）轉化為 AC*BC=AB*BD (3)由（1）（3）得 AC2+AC*BCAD*AB+AB*BD=AB(AD+DB)=AB2 得證例8 已知如圖8，在正方形ABCD中，M是AB上一點，N是BC上一點。且BM=BN，BECM，垂足為點E。求證

19、：DEEN。證明： ABC=Rt BECM 1MBE=2+MBE=Rt 1=2 同理 又DCEECB=2+ECB=Rt DCE=2 又MEB=BEC=Rt BCEMBE = 又BC=DC BN=BM = 即= 又DCE2 DCENEB DECNEB DENBEC=Rt DEEN同樣道理，當ACB=ADC=Rt時，基本圖形就變為圖8了。這時就變成了我們所熟悉的射影定理。字母表達式為：AC2=AD*AB或BC2=BD*AB例9 已知如圖9，AB是O的直徑，點P在BA的延長線上,PC是O的切線，切點為C，且CDAB，垂足為E。若OE:EA=1:2，PA=6,求O的半徑。(長沙市2002年初中畢業會考

20、)解： 連結OC 設OE=x OE:EA=1:2 EA=2x OA=OC=3xOP=3x+6PC是O的切線 PCO=Rt 又CDAB 由射影定理知 OC2=OE*OP即(3x)2=x(3x+6) x11 x20（不合題意，舍去）故r=OA=3*1=3三、圓中的基本圖形重視掌握基本圖形聯系，演變，好就好在只要記住或回憶起其中一個，就能記住其它。如：相交弦定理，切割線定理，割線定理，就是從上面幾種基本圖形演變而來的。以切割線定理為例，可知此圖形其實就是基本圖形（二）的演變。切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓的交點的兩條線段長的比例中項。字母表達式：PC2=PA*PB（圖9）例1 已知如圖1，P為O外一點，PA為O切線