1、橢圓1.橢圓的第一定義：平面內一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數。 ,這個動點的軌跡叫橢圓。這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.注意：若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡無圖形。2.橢圓的標準方程1）當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；2）當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；3.橢圓：的簡單幾何性質（1） 對稱性：對于橢圓標準方程：是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。（2） 范圍：橢圓上所有的點都位于直線和所圍成的矩形內，所以橢圓上點的坐標滿足，。（3）頂點：橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。橢

2、圓與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為，。 線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率：橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。因為，所以的取值范圍是。越接近1，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓。 當且僅當時，這時兩個焦點重合，圖形變為圓，方程為。注意：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：；注意：橢圓標準方程中，三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數，且三個量的大小關系為：，且。4.橢

3、圓的第二定義：到焦點的距離與到準線的距離的比為離心率的點所構成的圖形。即上圖中有5.橢圓 與 的區別和聯系標準方程 圖形性質焦點，焦距范圍，對稱性關于軸、軸和原點對稱頂點，軸長長軸長=，短軸長=離心率準線方程焦半徑，6.直線與圓錐曲線的位置關系：（1）相交：直線與橢圓相交；（2）相切：直線與橢圓相切； （3）相離：直線與橢圓相離；7.焦點三角形：橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形。8.弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則，若分別為A、B的縱坐標，則，若弦AB所在直線方程設為，則。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而

4、是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。9.圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；10.求橢圓標準方程的常用方法： 待定系數法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據定義確定方程。典型例題題型1:橢圓定義的運用例1.已知、為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點，若，則_例2.如果方程表示焦點在x軸的橢圓，那么實數k的取值范圍是_例3.已知為橢圓上的一點，M、N分

5、別為圓和圓上的點，則的最小值為 題型2：求橢圓的標準方程 例1.求滿足下列各條件的橢圓的標準方程 （1）經過點(2，3)且與橢圓具有共同的焦點（2）一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為4題型3:求橢圓的離心率（或范圍）例1.中，若以A、B為焦點的橢圓經過點C，則橢圓的離心率為 例2.過橢圓的一個焦點作橢圓長軸的垂線交橢圓于P，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為 題型4:橢圓的其他幾何性質的運用（范圍、對稱性等）例1.已知P是橢圓上一點，是橢圓的兩個焦點，求的最大值與最小值題型5：焦點三角形問題例1.已知為橢圓的兩個焦點，p為橢圓上的一點，已知為一個直角三角形的三個頂點，且,求的值；例2.若為橢圓的兩個焦點，p為橢圓上的一點，當為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍為 題型6：直線與橢圓的位置關系的判斷例1.若直線與橢圓恒有公共點，求實數的取值范圍； 題型7：弦長問題例1.求直線被橢圓所截得的弦長例2.已知橢圓的左右焦點分別為、，若過點P（0，-2）及的直線交橢圓于A,B兩點，求