1、9.2正弦定理與余弦定理的應用課標要求素養要求能夠綜合運用正弦定理、余弦定理等知識和方法求解三角形的實際問題.通過對實際問題的解決，培養學生的數 學建模素養，提升數學抽象素養和數學 運算素養.課前予血習知識探究教材知識探究作借境引入一位附庸風雅的百萬富翁在風光宜人的湖泊地區游覽觀光，打算在那里建造他的避暑山莊.他選中了三個方方正正、酷似正方形的湖泊一一杉湖、榕湖與鴛鴦湖，其面積分別為18畝、20畝與26畝（1公頃=15畝），如圖所示.湖中正好有一塊三角形的土地，恰似天造地設一般.可以想象，一旦山莊建成，花晨月夕，美景無比，可以終老于其中矣.于是富翁二話不說，把它們統統買下.他又想到，為了絕對安

2、靜以及防盜防匪，避免閑人打擾，需要在土地的邊緣建造起架有電網的高墻，因此，他干脆一不做二不休，把毗鄰的三塊土地也一起收購下來，其全部轄區如圖所示.問題 如何計算他這塊領地（包括全部土地與湖泊）的面積？提示 將問題轉化為解三角形，綜合利用余弦定理和正弦定理及三角形面積公式可求解.B新知梳理1.正弦定理及常用變形（1）正弦定理csin A sin BsnV= 2R(其中R為 ABC外接圓半徑).(2)常見變形a=bsin Acsin Asin B sin C2Rsin A.a asin B& sin A=2R= 年sin A : sin B ： sin C= a ： b ： c. q 二 上; q

3、 二aMsin A sin B sin C sin A+sin B+sin C2 .余弦定理及推論(1)余弦定理a2 = b2 + c22bccos A, b2 = a2+c22accos_B, c2 = a2+ b2 2abcos_C.推論cosA=b2a2, cos B=a22, cos C=a22.2bc 2ac2ab3 .三角形的面積公式S= 2absin C = 2bcsin A=2acsin_B.教材拓展補遺微判斷1 .兩點間不可通又不可視問題的測量方案實質是構造已知兩邊及夾角的三角形 并求解.(，)2 .在 ABC 中,sin(A+B) = sin C,且 cos(A+B)=co

4、s C.(x )提示 4ABC 中，A+B+C=tt, a A+ B=兀一C,故 sin(A+ B) = sin C, cos(A+B)= cos C.3 .在銳角 ABC 中，sin A2,貝UA2B,所以 sin Asin 2 B ,即 sin AcosB.微訓練1 .如圖所示，在河岸AC上測量河的寬度BC,測量下列四組數據，較適宜的是()A.a, C, aB.b, C, aC.c, a, BD.b, & Y解析 由% 丫可求出B,由機b,可利用正弦定理求出 BC.故選D.答案 D2 .海上有A, B兩個小島相距10 n mile,從A島望C島和B島成60的視角，從 B島望C島和A島成75

5、 的視角，則B, C間的距離是 n mile.解析 由題意知，在 4ABC 中，AB=10 n mile, A=60, B = 75,則 C=180A- B= 45 :上十4m /曰-c ABsin A 10sin 60 仁, 由正弦止理，得 BC= sin C = sin 45W6(n mile).答案5 ；63.某人向正東方向走了 x千米，他右轉150,然后朝新方向走了 3千米，結果他 離出發點恰好 出千米，那么x的值是.解析 如圖所示，該問題轉化為已知ZXABC的邊BC = 3, AC 4/，=，3, B=30 ；求AB的長.廠在4ABC 中，由余弦定理，得 AC2 = AB2+BC22

6、AB BC cos B,即(U3)2=AB2 + 32 6ABcos 30,即 AB23V3AB+6= 0, . .AB=V3或 2/3,即 x= V3或 班. 答案事或2V3微思考1 .用正、余弦定理求解三角形的邊或角需要什么條件？提示 三條邊與三個角共六個元素中需三個元素，且三個元素中至少有一條邊.2 .鈍角三角形的三邊有怎樣的隱含條件？提示 若c為最長邊，則a+bc,且a2 + b2vc2課堂互動 iimiii典型剖析 ii | | ii i：題型一 不可達兩點之間的距離問題轉化為三角形的邊長問題【例11 要測量河對岸兩地A, B之間的距離，在岸邊選取相距100/3米的C, D 兩點，并

7、測得/ ACB=75, /BCD = 45, /ADC = 30, /ADB=45（A, B, C, D在同一平面內），求A, B兩地的距離.解 如圖所示，:A, B, C, D四點在同一平面內，.在4ACDfl中，ZCAD = 180 -（120 + 30 ）=30,氣成衿就：一一廠“仁口 .AC= CD =100/3（米）.在4BCD 中，/CBD=180 二（45 475 ）=60 ,十力口100依sin 75 由正弦定理得BC=* 60 。 =200sin 75 （米）.在 ABC中，由余弦定理，得AB2 = （100/3）2 + （200sin 75 ）2-2x 100/3x200s

8、in 75 cos 75 “I、/1 cos 150 0 廠= 100X 3+4X2 2X/3Xsin 150= 1002X5, . AB= 100A/5（米）.故河對岸A, B兩地的距離為10075米.規律方法 要求不可達兩點間的距離時，將實際問題抽象為數學問題，將已知量 與要求的量盡量集中在有關的三角形中，利用正、余弦定理解出三角形【訓練11如圖所示，為了測量正在海面勻速行駛的某船的速度，在海岸上選取距離1千米的兩個觀察點C, D,在某大10: 00觀察到該船在A處，此時測得/ ADC = 30, 2分鐘后該船行駛至 B處，此時測得/ ACB = 60, /BCD = 45, /ADB=6

9、0,則船速 為千米/分鐘.解析 易知，A, B, C, D四點在同一水平面上，在4ACD中，CD = 1, /ADC= 30； /ACD=/ACB+/BCD = 105 ；丁. / CAD = 180 30 105 = 45.，一CD由正弦定理，得AD=sn75sin/ACD在ABCD中,由 /BDC=/ADC+/ADB=90 ,/ BCD=45,得/CBD = 45, .BD=CD = 1.在4ADB中,AB2 = AD2+BD2 2AD BD cos /ADB=12 2V3+1+ 1 -2X丁X1x2= 2.AB=坐.船速為乎千米/分鐘.題型二測量底部不可達物體的高度問題【例2】 如圖所示

10、，為測得河對岸塔 AB的高，在地平面上任取兩點C, D,使DC = 10 m,且B, C, D三點共線，從D,C兩點測得A點的仰角分別為30和45,則AB =解析 ./ACB=45, ./CAD = 15.CD一ftAACD 中，由正弦定理得AC=sin /CAD sin Z ADC = sin 15g20亞,.AB = ACsin 45 =5(3+1)(m).門答案 5（、/3+1）m【遷移11 如圖所示，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸 上選一點C,使C在塔底B的正東方向上，測得點A的仰角為60,再由點C沿北偏東150方向走10 m到位置D,測得/ BDC = 45,則塔AB的高是()A.

11、10 mB.10 2 mC.10 ：3 mD.10 6 m解析 在4BCD 中，CD = 10 m, /BDC = 45, / BCD = 15 +90 = 105, / DBC=30由正弦定理，得BC _ CDsin 45 - sin 30 BC=CDsin 45sin 300”10 ：2(m).在4ABD中，由正弦定理，得AB=ADsin / ADBsin / ABD65,則山的圖度為在 RtzXABC 中，/ACB = 60 ； . .AB=BCtan 60=10T6(m).答案 D【遷移2】某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為35。，沿傾斜角為20的斜坡前進1 000 m后到達D處，又

12、測得山頂的仰角為 m(ft確到 1 m, sin 35 / 0.574).解析 過點D作DE/AC交BC于E,因為/DAC = 20,所以/ADE=160 ；于是/ADB = 360 -160 -65 = 135 :又/BAD=35 20 = 15；所以/ABD = 30：=1 000 ,2(m).在 RtAABC 中，BC = ABsin 35 =812(m).答案 812規律方法 當要測量的高度不可直接測量時，常利用一個直角三角形和一個斜三 角形問題求解，要先從實際問題中抽象出一個或幾個三角形, 解三角形，得出實際問題的解.【訓練2】如圖所示，A, B是水平面上的兩個點，相距使用正、余弦定

13、理BA800 m,在A點測得山頂C的仰角為45, /BAD=120,又在B點測得/ ABD=45,其中D點是點C到水平面的垂足，求山高 CD.解在RtzXACD中，/CAD=45,所以 CD = AD.在 AABD 中，Z BDA= 180 -45 - 120 =15 ,AB _ AD 由sin 15sin 45 /口 AB sin 45 得AD =飛而-=800X-2= 800(73+1)(m),. CD = AD = 800($+ 1)m.故山的高度為800（ J3+1）m.題型三航海問題【例3】 如圖所示，在海岸A處發現北偏東450方向, 距A處（，3 - 1）海里的B處有一艘走私船.在

14、A處北偏西 75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以1m海里/時的速度追截走私船，此時走私船正以 10海里/時的速度，從B處向北偏東30。方向逃竄.問：緝私船應沿什么方向行駛才能最快截 獲走私船？并求出所需時間 解 設緝私船應沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲（在D點）走私船，則CD=10V3t海里，BD = 10t海里.在4ABC中，由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2 2AB AC cos A=(51)2+22 2(731) 2- cos 120 = 6,bc=46（海里）.又BC AC sin A sin /ABC .sin / ABC=AC sin A 2 sin 120BC

15、=/6又在 AABC 中，/BAC=75 + 45 = 120； ./ABC=45, ；B點在C點的正東方向上， ./ CBD = 90 + 30 = 120.BDCD在ABCD中，由正弦止理，行 sin /BCD=sin /CBD，./ccc BD sin /CBD 10t sin 1201sin / BCD=CD1-tr-=2.又在ABCD 中，/CBD = 120 ； ./BCD = 300,緝私船應沿北偏東60的方向行駛.又在4BCD 中，/CBD = 120 ； Z BCD = 30 , ./CDB = 30, .BD = BC,即 1仇二就. 6 1=與小時=15分鐘.緝私船應沿北

16、偏東60。的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要 15分鐘.規律方法 航海問題是解三角形應用問題中的一類很重要的問題，解決這類問題一定要搞清方位角，冉就是選擇好不動點，然后根據條件，畫出示意圖，轉化為 解三角形問題.【訓練3】 如圖所示，貨輪在海上以40 km/h的速度由B 吟 向C航行，航行的方位角是140 .A處有一燈塔，在B處觀察燈塔A的方位角是110,在C處觀察燈塔A的方位角是35,、物?由B到C需航行半個小時，求C到燈塔A的距離.邛，1 解 在4ABC 中，BC = 40X= 20(km),/ ABC=140 110 =30,/ ACB= (180 - 140 ) + 35 = 7

17、5, ./ BAC=75. ACBC由正弦止理，行sin 30二sin 75 一.BCsin 30, , AC-sin 7510sin 45 cos 30 4- cos 45 sin 30= L40 = 10(V6-/2)(km).6+/2故C到燈塔A的距離為10（乖柩km.量直提升核心素養、素養落地1 .通過將實際問題轉化為解三角形問題，培養學生的數學建模素養，提升數學抽 象素養和數學運算素養.2 .解三角形應用題的基本思路如下3 .運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的基本步驟是: 分析：理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖 （一個或幾個三角形）；建模：根據已知條件與求解目標，把已知量與待求

18、量盡可能地集中在三角形中, 建立一個解斜三角形的數學模型；求解：利用正弦定理、余弦定理有序地解這些三角形，求得數學模型的解； 檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際問題，從而得出實際問題的解 二、素養訓練1 .甲騎電動自行車以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點 A處望見電 視塔S在電動車的北偏東30方向上，15 min后到點B處望見電視塔在電動車的北偏東75方向上，則電動車在點B時與電視塔S的距離是（）A.6 kmB.3 3 kmC.3 2 kmD.3 km1,一 。,一。解析 由題意知，AB=24X4 = 6 km, / BAS= 30 , / ASB= 75 -30 = 45：由

19、正弦定理，得BS=ABsin / BAS 6sin 30 sin / ASB sin 45 =3 2(km).答案 C2 .如圖所示，設A, B兩點在河的兩岸，一測量者在 A的同 側，在A所在的河岸邊選定一點 C,測出AC的距離為50 m, /ACB=45, /CAB =105,則 A, B 兩點的距離為m.解析 由題意知/ABC=30,由正弦定理,AB行 sin /ABC sin /ACB50 X AC sin / ACB sin / ABC一 二502(m).答案50 2測CD3 .為測量A, C兩點的距離，選取同一平面上 B, D兩點, 出四邊形 ABCD各邊長度(單位：km), AB=

20、5, BC = 8, = 3,DA = 5,若A, B,C,D四點共圓，則AC的長為 km.解析 因為A, B, C, D四點共圓，所以D+B=兀.在 AABC 和 AADC 中，由余弦定理可得： AC2 = 82+522X 8X 5cos ( -D),AC2= 32 + 52-2X 3X 5cos D ,故 82+ 52一 2 X 8 X 5cos( td) = 32+ 5 2X3X 5cos D, 11.cos D = 2，代入得：AC2 = 32+522X 3X 5X 2=49,故 AC = 7.答案 74.某人在M汽車站的北偏西20的方向上的A處，觀察到點C處有一輛汽車沿公 路向M站行

21、駛.公路的走向是M站的北偏東40.開始時，汽車到A的距離為31 千米，汽車前進20千米后，到A的距離縮短了 10千米.則汽車到達M汽車站還 需行駛 米.解析 由題設，畫出示意圖，設汽車前進 20千米后到達B處.在乙ABC 中,AC = 31, BC = 20, AB=21,cos C =AC2+BC2AB2 232ACXBC 31由余弦定理，得則 sin2C= 1 -cos2C = 31,又 0 C180 ；所以sin C =瞽,35 ：362所以 sin/MAC = sin（120 C）sin 120 cos C cos 120 sin C =在AMAC中，由正弦定理,得MCACsin MA

22、C 31：-=sin/AMC3335 3一 t62 =35（千米）.從而有MB=MC BC=15（千米）.故汽車到達M汽車站還需行駛15千米.答案 15且虧提高課后作業基礎達標、選擇題1.已知兩座燈塔A, B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40,燈塔B在觀察站C的南偏東60,則燈塔A在燈塔B的（）A.北偏東10B.北偏西10C.南偏東10D.南偏西101解析 如圖，因ABC為等腰二角形，所以/CBA=1(180 80 ) = 50 , 60 50= 10,故選 B.答案 B2.從高出海平面h m的小島看正東方向有一只船俯角為30,看正南方向有一只船俯角為45,則此時兩船間的距

23、離為()A.2h mB. 2h mC. 3h m解析如圖所示，BC=h m,AC= h m,AB= 3h2+h2 = 2h(m).答案 AD.2 12h m3.一艘海輪從A處出發，以40 n mile/h的速度沿南偏東40 方向直線航行，30 min后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在 A處觀察燈塔，其方向是南偏東70,在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65,那么B, C兩點間的距離是()A.10 2 n mileB.10 13 n mileC.20 .2 n mileD.20 a3 n mile解析 如圖所示，由已知條件可得，/CAB=30,/ ABC=105,1AB=40X 2= 20(n m

24、ile). ./ BCA= 45.AB BC:由正弦定理可得店;sC0.120X2BC= 啦 =10V2(n mile).答案 A4 .如圖所示，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B, C的俯角分別為75。，30。,此時氣球的高是60 m,則河流的寬度BC等于()A.2400V31)mC.120( .31)mB.180( ：21)mD.30(V3+1)m解析 如圖所示，在ACD中，/ CAD=9030 = 60,AD = 60 m,所以 CD = AD tan 60 = 60x/3(m).在 ABD 中,/BAD=90 75 =15,所以 BD = AD tan 15= 60(2M)(m).所以

25、 BC = CD BD = 60/3 60(2 V3) = 1204-1)(m).答案 C5 .臺風中心從A地以20 km/h的速度向東北方向移動，離臺風中心 30 km內的地 區為危險區，城市B在A的正東40 km處，B城市處于危險區內的時間為()A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h解析 設A地東北方向上點P到B的距離為30 km,AP = x km.在 ABP中，PB2 =AP2 + AB2- 2AP ABcos A, 即 302 = x2+4022x 40cos 45 , 化簡得 x2 40、/2x+ 700=0.設該方程的兩根為x1 , x2,則 |x1x2|2 = (x1

26、+x2)2 4x1x2 = 400, |xi x2| = 20 km,一P1P2 20即 PiP2=20 km,故1=-V- = 20= 1(h).故選 B.答案 B、填空題6 .江岸邊有一炮臺高30 m,江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水面上，由炮臺 頂部測得俯角分別為45。和30。，而且兩條船與炮臺底部連線成30。角，則兩條船 相距 m.解析設兩條船所在位置分別為A, B兩點，炮臺底部所在位卜、 置為C點，如圖.在AABC中，由題意可知30AC tan 30 -30v3(m),30，一。BC = tOn45- 30(m)，/ACB = 30 ；AB2 = (3073)2 + 302 - 2

27、 X 30V3 X 30 X cos 30 = 900, .AB= 30(m),即兩條船相距30 m.答案 307 .如圖，CD是京九鐵路線上的一條穿山隧道， 開鑿前，在CD 所在水平面上白山體外取點 A, B,并測得四邊形ABCD中，一九 2一.一/ABC=a，/BAD = aB AB=BC = 400米，AD = 250米，則 33應開鑿的隧道CD的長為米.一,一 ，, 一，一.，一,. 1T解析 在4ABC 中，AB=BC = 400米，/ABC =， 3.一 . 一 兀 . AC=AB=400 米，/BAC=a. 3 , 2冗 冗 冗/ CAD= / BAD / BAC=33= 3.在

28、ACAD中，由余弦定理得CD2 = AC2+AD2 2AC AD cos/ CAD=4002+ 2502-2X400X 250X cos 才=122 500. 3 .CD=350 米.8.某運動會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度 15。的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60。和30。，第一排和最后一排的距離為10/6米（如圖所示），則旗桿的高度為 米（）A.10 3B.20 3C.20D.30解析 如圖所示，依題意可知 /PCB=45, /PBC = 180-60 -15 = 105 ； . ./CPB=180 -45 105 =30 ;由正弦定理可知CBPBABsin

29、B12V6X 手由正弦止理行 AD = sin/ADB=理=24(n mile).T所以A處與D處的距離為24 n mile.(2)在AADC 中，由余弦定理得 CD2=AD2+AC22AD AC cos 30 = 242+(8/3)2 3-2X24Xgx3.解得：CD=8f3(n mile),即燈塔C與D處的距離為8y3 n mile.10.如圖所示，某人在塔的正東方沿著南偏西 60的方向前 進40 m以后，望見塔在東北方向.若沿途測得塔的最大仰 角為30,求塔的高度.解 在4BCD 中，CD = 40 m, / BCD = 90 60= 30,/ DBC=45+90 = 135.由正弦定理

30、，得CDBDsin/DBC = sin/BCD0 .=20 2(m). CD sinC BCD 40sin 30 BD= sin/DBC = sin 135,AB在RtzXABE中，tan/ AEB = B, AB為定值，故要使/AEB最大，需要BE最小,即 BEXCD,這時/AEB=30 :在4BCD 中，Z BDE= 180 -135 -30 = 15 ； .BE= BD sin/BDE=20V2sin 15 = 10(V31)(m).在 RtAABE 中，AB= BEtanZ AEB=10(V3- 1) tan 30 =當(3 V3)(m).10故塔的圖度為不（3 3） m. 3能力提升

31、11某人在C點測得某塔在南偏西80,塔頂仰角為45,此人沿南偏東400方向 前進10 m至I D,測得塔頂A的仰角為30,則塔高為（）A.15 m B.5 m C.10 m D.12 m 解析如圖所示，設塔高OA= h m,在 RtAAOC 中，/ ACO= 45 , 則 OC=OA=h m.在 RtAAOD 中，/ADO = 30 ,則 OD = *h m.在AOCD 中，/OCD=120；CD=10 m,由余弦定理得OD2 = OC2+ CD2- 2OC CDcos/ OCD, 即N3h）2=h2+102 2hx 10Xcos 120, . h2 5h50=0,解得h= 10或h= 5（舍

32、）.故塔高為10 m.答案 C12.在某次地震時，震中A（產生震動的中心位置）的南面有三座 東西方向的城市 B, C, D.已知B, C兩市相距20 km, C, D 相距34 km, C市在B, D兩市之間，如圖所示，某時刻 C市感到地表震動，8 s后B市感到地表震動，20 s后D市感到地表震動，已知震波 在地表傳播的速度為每秒1.5 km.求震中A到B, C, D三市的距離.解 在 ABC 中，由題意得 ABAC=1.5X 8=12(km).在4ACD 中，由題意得 AD AC=1.5X20= 30(km).設 AC = x km,則 AB=(12 + x)km, AD = (30+x)km.x2+400 ( 12+x) 2在AABC中，cos/ ACB =i八2人20人x256 24x 32-3x =Z40x5x ，在 AACD 中，cos/ ACD =x2+ 1 156 (30 + x) 22X34Xx256 60x 64- 15x 二68x17x. B, C,D在一條直線上，.6415x32-3x17x =5x ，64-15x 3x-32