1、第五講 函數（三）導數與不等式課后作業Î R)【1】證明： e【2】證明： ln(1+> -1)x < tan x(0 < x < p )2【3】證明： sin【4】求證：方程2x - x2 - 7 = 0 只有 x = 5 一個根。= x - ln(x + a) 的最小值為0 ，其中a > 0 。f【5】（2012(1)求a 的值；20）已知函數(2)若對任意的 x Î0, +¥) ，有f (x) £ kx2 成立，求實數k 的最小值；n2åi=1- ln(2n +1) < 2(n Î N

2、9; )(3)證明：2i -1第五講 函數（三）導數與不等式參考Î R)【1】證明： ef (x) = ex - x -1，則 f ¢(x) = ex -1。【】構造函數f (0) = 0 ，故f (x) ³ 0 對任意實數 x 恒成立。由表可知當 x = 0 時， f (x) 取得最小值即ex ³ 1+ x【2】證明： ln(1+> -1) ，則 f ¢(f (【】構造函數。當 x > -1 時，有1+ x > 0 ，故f (0) = 0 ，故 f (x) ³ 0 對 x Î(-1, +¥) 恒

3、成立。由表可知當 x = 0 時， f (x) 取得最小值即ln(1+ x) £ x 。(0 < x < p )2f= x - sin x ， g(【3】證明： sinp，其中 x Î0,2【】構造函數2f ¢(x) = 1- cos x ， g¢(則x(-¥, 0)0(0, +¥)f ¢( x)-0+f (x)極小值x(-¥, 0)0(0, +¥)f ¢( x)-0+f (x)極小值當 x Î(0, p ) 時，2= sin xf ¢(x) = 1- cos x

4、 > 0 ， g¢> 0(x)2cos2 x故 f (x), g(x) 在(0, p ) 上單調遞增，故當 x Î(0,)p時， f (x) > f (0) = 0, g(x) > g(0) = 02即sinx < tan x(0 < x < p )22【4】求證：方程2x - x2 - 7 = 0 只有 x = 5 一個根。【】證明：顯然 x = 5 是方程的一個根。當 x Î(-¥, 2 時， 2x £ 4 ， x 不是方程的根。當 x Î(2, 3 時， 2x£ 8 ，而 x2

5、 + 7 > 11， x 不是方程的根。當 x Î(3, 4 時， 2x £ 16 ，而 x2 + 7 > 16 ， x 不是方程的根。當 x Î4, +¥) 時，令f (x) = 2x - x2 - 7 ，則 f ¢(x) = 2x ln 2 - 2x ， f ¢¢(x) = 2x (ln 2)2 - 2 。æ 1 ö21e ，故ln 2 >， f ¢¢(x) = 2x (ln 2)2 - 2 > 24 ç- 2 > 0顯然e < 4 ，

6、 2 >÷2è 2 øf ¢( x) 在4, +¥) 上單調遞增。而f ¢(4) = 24 ln 2 - 8 > 0 ，故f (x) 在4, +¥) 上單調遞增。故f (5) = 0 ，故方程 f (x) = 0 在4, +¥) 上只有一個根。又綜上所述，方程2x - x2 - 7 = 0 只有 x = 5 一個根。= x - ln(x + a) 的最小值為0 ，其中a > 0 。f【5】（2012(1)求a 的值；20）已知函數(2)若對任意的 x Î0, +¥) ，有 f

7、(x) £ kx2 成立，求實數k 的最小值；n22i -1å- ln(2n +1) < 2(n Î Nå )(3)證明：i=1【】(1) a = 1 ，過程略。+ kx2 (x > -1) ，則 g (x) ³ 0 對任意的 x Î0, +¥) 成立。(2)令 g(2(2k -1)g¢(x) =+1f (x) > 0(x > 0) ， k > 0當 x = 0 或 x = 1- 2k 時， g¢(x) = 0 。2k若0 < k < 1 ，則1- 2k >

8、 022k由表可知，當 x Î(0, 1- 2k ) 時， g(x) < g(0) = 0 。不合題意。2k= 0若 k = 1 ，則1- 2k22k由表可知，當 x Î(0, +¥) 時， g(x) > g(0) = 0 。符合題意。1故滿足條件的實數k 的最小值為 2 。(3)由(2)結論，取 k = 1 ，有2222ö2æ 2i +1 ö21 æ2令 x =- ln£，則ç÷ç÷2i -12i -12i -12 2i -1èøè

9、ø兩邊對i = 2, 3, n 進行求和， i = 1 時保留不等式左邊的項ö2æ 2i +1 önnnæ212åi=1åå- lni=1£+ 2 - ln 3ç÷ç÷2i -12i -122i -1èøi=2 èøln æ 2i +1 ö = ln æ 3 ´ 5 ´ 7 ´´ 2n +1 ö = ln(2n +1)n其中åi=1ç 2i -1 ÷ç 12n -1 ÷èøè35øö2ö21næ2næ1n1næ11ö1åçåçåi=2åç= 2< 2=2i - 32i -1 ÷ = 1- 2n -1-÷÷22i -12i -1(2i -1)(2i - 3)i=2 èøi=2 èøi=2 èøx(-1, 0)0(0, +