1、高等數學部分易混淆概念第一章：函數與極限一、數列極限大小的判斷例1：判斷命題是否正確若，且序列的極限存在，解答：不正確在題設下只能保證，不能保證例如：，而例2選擇題設，且（ ） A存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C不一定存在 D. 一定不存在 答：選項C正確 分析：若，由夾逼定理可得，故不選A與D. 取，則，且，但 不存在，所以B選項不正確，因此選C例3設（ ） A都收斂于 B. 都收斂，但不一定收斂于 C可能收斂，也可能發散 D. 都發散 答：選項A正確 分析：由于，得，又由及夾逼定理得 因此，再利用得所以選項A二、無界與無窮大無界：設函數的定義域為，如果存在正數，使得則稱函數在上有

2、界，如果這樣的不存在，就成函數在上無界；也就是說如果對于任何正數，總存在，使，那么函數在上無界無窮大：設函數在的某一去心鄰域內有定義（或大于某一正數時有定義）如果對于任意給定的正數（不論它多么大），總存在正數（或正數），只要適合不等式（或），對應的函數值總滿足不等式 則稱函數為當（或）時的無窮大例4：下列敘述正確的是： 如果在某鄰域內無界，則 如果，則在某鄰域內無界解析：舉反例說明設，令，當時，而 故在鄰域無界，但時不是無窮大量，則不正確 由定義，無窮大必無界，故正確結論：無窮大必無界，而無界未必無窮大三、函數極限不存在極限是無窮大當（或）時的無窮大的函數，按函數極限定義來說，極限是不存在的，

3、但是為了便于敘述函數的性態，我們也說“函數的極限是無窮大”但極限不存在并不代表其極限是無窮大例5：函數，當時的極限不存在四、如果不能退出例6：，則，但由于在的任一鄰域的無理點均沒有定義，故無法討論在的極限結論：如果，且在的某一去心鄰域內滿足，則反之，為無窮大，則為無窮小。五、求函數在某點處極限時要注意其左右極限是否相等，求無窮大處極限要注意自變量取正無窮大和負無窮大時極限是否相等。例7求極限解：，因而時極限不存在。 ，因而時極限不存在。六、使用等價無窮小求極限時要注意：（1）乘除運算中可以使用等價無窮小因子替換，加減運算中由于用等價無窮小替換是有條件的，故統一不用。這時，一般可以用泰勒公式來求

4、極限。（2）注意等價無窮小的條件，即在哪一點可以用等價無窮小因子替換例8：求極限分析一：若將寫成，再用等價無窮小替換就會導致錯誤。分析二：用泰勒公式原式。例9：求極限解：本題切忌將用等價代換，導致結果為1。七、函數連續性的判斷（1）設在間斷，在連續，則在間斷。而在可能連續。例10設，則在間斷，在連續，在連續。若設，在間斷，但在均連續。（2）“在點連續”是“在點連續”的充分不必要條件。分析：由“若，則”可得“如果，則”，因此，在點連續，則在點連續。再由例10可得，在點連續并不能推出在點連續。（3）在連續，在連續，則在連續。其余結論均不一定成立。第二章 導數與微分一、函數可導性與連續性的關系可導必

5、連續，連續不一定可導。例11在連讀，在處不可導。二、與可導性的關系（1）設，在連續，則在可導是在可導的充要條件。（2）設，則是在可導的充要條件。三、一元函數可導函數與不可導函數乘積可導性的討論設，在連續，但不可導，又存在，則是在可導的充要條件。分析：若，由定義 反之，若存在，則必有。用反證法，假設，則由商的求導法則知在可導，與假設矛盾。利用上述結論，我們可以判斷函數中帶有絕對值函數的可導性。四、在某點存在左右導數時原函數的性質（1）設在處存在左、右導數，若相等則在處可導；若不等，則在連續。（2）如果在內連續，且設則在處必可導且。若沒有如果在內連續的條件，即設，則得不到任何結論。例11，顯然設，

6、但，因此極限不存在，從而在處不連續不可導。第三章 微分中值定理與導數的應用一、若若，不妨設，則，再由微分中值定理同理，當時，若，再由微分中值定理 同理可證時，必有第八章 多元函數微分法及其應用8.1多元函數的基本概念1. ,使得當,且時,有,那么成立了嗎?成立,與原來的極限差異只是描述動點與定點的接近程度的方法不一樣,這里采用的是點的矩形鄰域, ,而不是常用的圓鄰域,事實上這兩種定義是等價的.2. 若上題條件中的條件略去,函數就在連續嗎?為什么? 如果條件沒有,說明有定義,并且包含在該點的任何鄰域內,由此對,都有,從而,因此我們得到,即函數在點連續.3. 多元函數的極限計算可以用洛必塔法則嗎?

7、為什么? 不可以,因為洛必塔法則的理論基礎是柯西中值定理.8.2 偏導數1. 已知,求 令,那么解出,得,所以或者8.3全微分極其應用1.寫出多元函數連續,偏導存在,可微之間的關系偏導數, 連續Z可微 連續 極限存在偏導數, 連續偏導數, 存在2. 判斷二元函數在原點處是否可微.對于函數,先計算兩個偏導數:又令,則上式為因而在原點處可微.8.4多元復合函數的求導法則1. 設,可微,求.8.5隱函數的求導1.設,都是由方程所確定的具有連續偏導數的函數,證明.對于方程,如果他滿足隱函數條件.例如,具有連續偏導數且,則由方程可以確定函數,即是,的函數,而,是自變量,此時具有偏導數,同理, ,所以.8

8、.6多元函數的極值及其求法1.設在點處具有偏導數,若,則函數在該點取得極值,命題是否正確? 不正確,見多元函數極值存在的充分必要條件.2.如果二元連續函數在有界閉區域內有惟一的極小值點，且無極大值，那么該函數是否在該點取得最小值？ 不一定，對于一元函數來說上述結論是成立的，但對于多元函數，情況較為復雜，一般來說結論不能簡單的推廣。 例如，二元函數，由二元函數極值判別法： ，解得 ， 解得 故得駐點， 由于 ，以及，所以，是函數的惟一極小值點，但是，故不是在D上的最小值.第十一章 無窮級數11.1常數項級數的概念和性質1. 若通項，則級數收斂，這種說法是否正確？否2. 若級數加括號后所成的新級數發散，則原級數必定發散，而加括號后所的級數收斂，則無法判定原