1、 例談解析幾何多元方程組問題的計算策略解析幾何涉及到復雜的計算問題，這些計算問題主要是多元方程組的解法問題,下面我們以一道高考題為例探討解析幾何中方程組的解法.原題:雙曲線與橢圓有相同的焦點，直線為的一條漸近線.(1)求雙曲線的方程.(2)過點的直線交雙曲線于、兩點，交軸于點（點與的頂點不重合）.當,且時,求點的坐標.解:(1)設雙曲線方程為().由題意: ，,.雙曲線的方程為.(2)解法一：由題意知直線的斜率存在且不為零.設直線的方程為:,則可求.設, ,， )在雙曲線上, ， .同理有: 若,則, 過頂點,不合題意, ，,是一元二次方程的兩個根, ,，驗知, ， 所求點的坐標是.仔細分析上

2、面的解法,我們發現本題中涉及7個未知數,它們是: .上面的解法先把作為一組,構建關于的一元二次方程,再把作為一組,構建關于的一元二次方程,由于這兩個運算過程完全相同, 兩個一元二次方程也完全相同,因此,是同一個一元二次方程的兩個根,然后就可以利用一元二次方程的根與系數的關系了.本題第（2）問我們一般采用下面的解法,但是比上面的解法計算量還要大,具體過程如下:解法二：把代入雙曲線的方程為并整理得：，當時，直線與雙曲線只有一個交點，不合題意，故,.由已知 ， (1) , (2)又，故由(1)得: ,由(2)得: ， ,解得：，驗知, ，所求Q點的坐標是(2,0). 如果考慮結論中涉及到的+怎樣用表

3、示,剛才提供的解法二可以演變為下面的解法：解法三：,然后把,，代入上式化簡得: ，解得：，驗知, ，所求Q點的坐標是(2,0)三種解法的內在聯系:前面已經談到本題共涉及到7個未知數,事實上,由已知,我們有以下9個方程組成的方程組,它們是: (1) (5) (2) (6) (9) (3) (7) (4) (8)仔細分析題意,不難發現用(1)(2)可以導 出(3), 用(5)(6)可以導 出(7),因此上面的9個方程實際上等價于7個獨立的方程. 為了求出，需要通過合理的消元，解法一利用(1)、(2)、(4)、 (5)、(6) 、(8)、 (9) 這7個方程組成的方程組；解法二、三利用(1)、(3)

4、、(4)、 (5)、(7) 、(8)、 (9) 這7個方程組成的方程組.以上這些方程中,下標為1的未知數為一類, 下標為2的未知數為另一類,這兩類未知數涉及到的方程具有共同的形式,已知的第（9）個方程不但起著聯系這兩類未知數的作用,而且是兩個未知數的和的形式.解法一之所以比解法二、三簡單一些,就是因為利用了這個特點.當涉及到的方程不具備這個特點時,我們就很難使用解法一這種構造一元二次方程的消元策略了,這時候我們一般利用解法二的消元策略.鞏固練習：已知橢圓的短軸長為，右焦點與拋物線的焦點重合，為坐標原點（）求橢圓的方程；（）設、是橢圓上的不同兩點，點，且滿足，若，求直線的斜率的取值范圍參考答案：解法，、三點共線，而，且直線的斜率一定存在，所以設的方程為，與橢圓的方程聯立得，由，得設,又由得， ，把代入得，消去得：，當時，是減函數， ，解得，又，所以，的取值范圍是.解法設,則又，則由得得 代入得， 由得，