1、華 北 水 利 水 電 學 院行列式的性質(zhì)及應用課 程 名 稱： 線性代數(shù) 專 業(yè) 班 級： 成 員 組 成： 聯(lián) 系 方 式： 2012年11月 05 日摘要： 行列式是高等代數(shù)課程里基本而重要的內(nèi)容之一，在數(shù)學中有著廣泛的應用，懂得如何計算行列式顯得尤為重要。本文先闡述行列式的基本性質(zhì)，然后介紹各種具體的方法，最后由行列式與其它知識的聯(lián)系介紹其它幾種方法。通過這一系列的方法進一步提高我們對行列式的認識，對我們以后的學習帶來十分有益的幫助。關(guān)鍵詞： 遞推法 行列式 三角化法 公式法 數(shù)學歸納法 英文題目: Determinantal properties and application Ab

2、stract: Determinant is an basic and important subject in advanced algebra ,it is very useful in mathematic. It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,with the other determinant of knowle

3、dge on the links in several other ways.,through this series of methods will futher enhance our understanding of the determinat,on our learning will bring very useful help.Key words: Recurrence method Determinant triangularization method formula method mathematical induction正文：1 引言: 問題的提出在實踐中存在許多解n元一

4、次方程組的問題，如 運用行列式可以解決如的n元一次方程組的問題。2 2.1排列定義1 由1.2n組成的一個有序數(shù)組稱為一個級排列。n級排列的總數(shù)為（n的階乘個）。定義2 在一個排列中，如果一隊數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個逆序。一個排列中逆序的總數(shù)就稱為這個排列的逆序數(shù)。定義3 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列。 2.2行列式定義（設(shè)為n階）：n階行列式是取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數(shù)和，它由項組成，其中帶正號與帶負號的項各占一半，表示排列 的逆序數(shù)。 2.3 階行列式具有的性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.（） 事

5、實上，若記 則 說明：行列式中行與列具有同等的地位, 因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的結(jié)論, 對列也同樣成立.性質(zhì)2 互換行列式的兩行()或兩列()，行列式變號. 例如 推論 若行列式有兩行（列）完全相同，則. 證明: 互換相同的兩行, 則有, 所以. 性質(zhì)3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以數(shù)，等于數(shù)乘以此行列式，即推論：(1) 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符號的外面；(2) 中某一行(列)所有元素為零，則；性質(zhì)4: 行列式中如果有兩行(列)元素對應成比例, 則此行列式等于零性質(zhì)5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是兩個數(shù)的和，則此行列式等于兩個行列式的和.這兩個行列式的這一

6、行(列)的元素分別為對應的兩個加數(shù)之一，其余各行(列)的元素與原行列式相同 .即.證: 由行列式定義性質(zhì)6 行列式的某一行（列）的各元素都乘以同一數(shù)加到另一行（列）的相應元素上，行列式的值不變，即計算行列式常用方法: 利用性質(zhì)2,3,6, 特別是性質(zhì)6把行列式化為上(下)三角形行列式, 從而, 較容易的計算行列式的值 2.4行列式的計算數(shù)字型行列式的計算1. 三角化法例1 .解： 這個行列式的特點是每行（列）元素的和均相等，根據(jù)行列式的性質(zhì)，把第2，3，列都加到第1列上，行列式不變，得.例2 .解： 這是一個階數(shù)不高的數(shù)值行列式，通常將它化為上（下）三角行列式來計算2.2遞推法 例3 計算行列

7、式之值。解 把各列均加至第1列，并按第1列展開，得到遞推公式繼續(xù)使用這個遞推公式，有 而初始值，所以 例4 計算 .解：., ,3數(shù)學歸納法當 與  是同型的行列式時，可考慮用數(shù)學歸納法求之。 一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學歸納法給出猜想的證明。因此，數(shù)學歸納法一般是用來證明行列式等式。例5 計算行列式 .解：結(jié)合行列式的性質(zhì)與次行列式本身的規(guī)律，可以采用數(shù)學歸納法對此行列式進行求解當時，假設(shè)時，有 則當時，把按第一列展開，得由此，對任意的正整數(shù)，有4公式法例6 計算行列式 之值。解 由于,故用行列式乘法公式，得因中，系數(shù)是+1，所以。行列式的概念與性

8、質(zhì)的例題例7 已知是6階行列式中的一項，試確定的值及此項所帶的符號。解 根據(jù)行列式的定義，它是不同行不同列元素乘積的代數(shù)和。因此，行指標應取自1至6的排列，故，同理可知。直接計算行的逆序數(shù)與列的逆序數(shù)，有。亦知此項應帶負號。抽象行列式的計算例8 若4階矩陣A與B相似，矩陣A的特征值為則行列式（ ）。解 由AB，知B的特征值是。那么的特征值是2，3，4，5.于是的特征值是1，2，3，4。有公式得，。含參數(shù)行列式的計算例9 已知，求。解 將第3行的-1倍加至第1行，有所以。關(guān)于的證明解題思路：設(shè)證法；反證法：如從A可逆找矛盾；構(gòu)造齊次方程組，設(shè)法證明它有非零解；設(shè)法證矩陣的秩；證明0是矩陣A的一個

9、特征值。特殊行列式的解法1 范德蒙行列式定義：行列式稱為n級的范德蒙行列式。例10 計算行列式之值。解 把1改寫成，第一行成為兩數(shù)之和，可拆成兩個行列式之和，即分別記這兩個行列式為和，則由范德蒙行列式得，故2.4.7 拉普拉斯定理設(shè)在行列式D中任意取定了個行，由這行元素所組成的一切級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式。(其中：級子式：在一個級行列式中任意選定行列。位于這些行和列的交點上的個元素按照原來的次序組成一個級行列式，稱為行列式的一個級子式。余子式：在中劃去這行列后余下的元素按照原來的次序組成的級行列式稱為級子式的余子式。代數(shù)余子式：設(shè)的級子式在中所在的行、列指標分別是則的余子式

10、前面加上符號后稱為的代數(shù)余子式)。例11 求行列式。解：在行列式中取定第一、二行，得到六個子式：它們對應的代數(shù)余子式為根據(jù)拉普拉斯定理3 結(jié)束語老師淵博的學識、敏銳的思維、民主而嚴謹?shù)淖黠L，使我受益匪淺，終生難忘，嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度和對工作的兢兢業(yè)業(yè)、一絲不茍的精神將永遠激勵和鞭策我認真學習、努力工作。感謝我的老師對我的關(guān)心、指導和教誨！ 感謝我的學友和朋友對我的關(guān)心和幫助！參考文獻1 孫亞飛 北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù).高等教育出版社，1988，51-96。張賢科 許甫華.高等代數(shù)學.清華大學出版社，2000。李正元 李永樂 袁蔭棠.數(shù)學復習全書.國家行政學院出版社，200

11、5，347-363。 高等數(shù)學M.上海：高教出版社，2008:44-77.等。2張 帥 高等數(shù)學M.上海：高教出版社，2008:44-77.等。 3郎建強 高等數(shù)學M.上海：高教出版社，2008:44-77.等。M表示參考的是書J 表示參考的是雜志上的論文分工情況 第一部分由孫亞飛完成。第二部分由張帥完成。 第三部分由郎建強完成。注意事項1. 完成時間1-4周：數(shù)學教師搜集、整理、匯總創(chuàng)新實踐題目；5-6周：公布教師題目，學生醞釀、分組，并將選題和分組結(jié)果報送給授課教師；7-14周：學生在教師的輔導下完成題目，形成論文或報告；15-16周：教師對學生進行考核，評定實踐成績。2.考核方式學生必須提交一篇紙質(zhì)的論文或報告，報告字數(shù)不能少于3000字。作為成績評定的主要依據(jù)。有條件的可以安排學生進行分組演講與答辯，演講出色的學生可以適當提高其成績。教師根據(jù)學生