1、第1章 特殊的平行四邊形一、菱形：【知識梳理】1菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2菱形的性質菱形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質，還具有自己獨特的性質：1 邊的性質：對邊平行且四邊相等 角的性質：鄰角互補，對角相等 對角線性質：對角線互相垂直平分且每條對角線平分一組對角 對稱性：菱形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形 菱形的面積等于底乘以高，等于對角線乘積的一半點評：其實只要四邊形的對角線互相垂直，其面積就等于對角線乘積的一半3菱形的判定判定：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 判定：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形判定：四邊相等的四邊形是菱形【例題精講】板塊一、菱形的性質

2、例1.如圖，菱形ABCD的對角線交于點O，AC=16cm，BD=12cm（1）求菱形ABCD的邊長；（2）求菱形ABCD的高DM 例2.如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點E，F分別在AB，AD上，且AE=DF連接BF與DE相交于點G，連接CG與BD相交于點H求證：（1）求BGD的度數。（2） 求證：DG+BG=CG例3.將兩張寬度相等的長方形紙片疊放在一起得到如圖29所示的四邊形ABCD.(1)求證：四邊形ABCD是菱形(2)如果兩張長方形紙片的長都是8，寬都是2，那么菱形ABCD的周長是否存在最大值或最小值？如果存在，請求出來；如果不存在，請簡要說明理由 例4.已知，菱形中，、分別是、上

3、的點，若，求的度數 跟蹤練習：1.如圖,在菱形ABCD中,AB=5,對角線AC=6.若過點A作AEBC,垂足為E,則AE的長為()A.4B.2.4C.4.8D.52.如圖，在菱形ABCD中，B=60°，AB=2，E、F分別是BC和CD的中點，連接AE、EF、AF，則AEF的周長為（ ）A. B. C. D.3.3.如圖所示,把一個長方形的紙片對折兩次,然后剪下一個角,為了得到一個鈍角為120°的菱形,剪口與第二次折痕所成角的度數應為()A.15°或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60

4、°4如圖1138，在給定的一張平行四邊形紙片ABCD上作一個菱形，甲、乙兩人的作法如下：圖1138甲：連接AC，作AC的垂直平分線MN分別交AD，AC，BC于點M，O，N，連接AN，CM，則四邊形ANCM是菱形乙：分別作A，B的平分線AE，BF，分別交BC，AD于點E，F，連接EF，則四邊形ABEF是菱形根據兩人的作法可判斷()A甲正確，乙錯誤 B甲錯誤，乙正確 C甲、乙均正確 D甲、乙均錯誤5. (1) 如圖所示,在菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足為E,AB=4 cm.那么,菱形ABCD的面積是_,對角線BD的長是_.(2) 如圖：菱形ABCD中，AB=2，B=120

5、6;，E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值是_6.如圖，在四邊形ABCD中，E為AB上一點，ADE和BCE都是等邊三角形，AB、 BC、CD、DA的中點分別為P、Q、M、N，試判斷四邊形PQMN為怎樣的四邊形，并證明你的結論7.如圖所示，在菱形ABCD中，ABC=60°，DEAC交BC的延長線于點E求證：DE=BE 8.如圖，在菱形ABCD中，A=60°，AB=4，O為對角線BD的中點，過O點作OEAB，垂足為E （1）求ABD的度數； （2）求線段BE的長 9.如圖，四邊形ABCD是菱形，BEAD、BFCD，垂足分別為E、F（1）求證：BE=B

6、F；（2）當菱形ABCD的對角線AC=8，BD=6時，求BE的長 10.如圖，在菱形ABCD中，P是AB上的一個動點（不與A、B重合），連接DP交對角線AC于E連接BE（1）證明：APD=CBE；（2）若DAB=60°，試問P點運動到什么位置時，ADP的面積等于菱形ABCD面積的，為什么？ 11.如圖所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、點P從點D出發向點A運動，同時點Q從點B出發向點C運動，點P、Q的速度都是1cm/s（1）在運動過程中，四邊形AQCP可能是菱形嗎？如果可能，那么經過多少秒后，四邊形AQCP是菱形？（2）分別求出菱形AQCP的周長、面積 【作業】1.

7、選擇題：1.在菱形ABCD中，AB=5cm，則此菱形的周長為（ ）A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm2.如圖，在菱形ABCD中，BAD=60°，BD=4，則菱形ABCD的周長是_3.已知菱形ABCD的對角線AC、BD的長度是6和8，則這個菱形的周長是（）A、20B、14 C、28 D、244.如圖，菱形ABCD的周長是16，A=60°，則對角線BD的長度為（ ）A2 B C4D 5.已知菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，BAD=120°，AC=4，則該菱形的面積是（）A、16B、16 C、8 D、86. 如圖所示，在平面直角坐標系

8、中，菱形MNPO的頂點P的坐標是（3，4），則頂點M、N的坐標分別是（）A、M（5，0），N（8，4）B、M（4，0），N（8，4）C、M（5，0），N（7，4）D、M（4，0），N（7，4）二、填空題7. 如圖，菱形ABCD的邊長是2cm，E是AB的中點，且DE丄AB，則菱形ABCD的面積為 cm2第9題第8題第7題8. 如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且AC8，BD6，過點O作OH丄AB，垂足為H，則點O到邊AB的距離 9.如圖所示，將兩張等寬的長方形紙條交叉疊放，重疊部分是一個四邊形ABCD，若AD=6cm，ABC=60°，則四邊形ABCD的面積等于 cm2三、

9、解答題12. 如圖，AC是菱形ABCD的對角線，點E、F分別在邊AB、AD上，且AE=AF。 求證：ACEACF。ADFEBC13.如圖，四邊形ABCD為菱形，已知A（0，4），B（3，0）（1）求點D的坐標；（2）求經過點AB的一次函數解析式14.如圖所示，在菱形ABCD中，ABC 60°，DEAC交BC的延長線于點E求證：DEBE15. 如圖，已知矩形ABCD的兩條對角線相交于O，ACB=30°，AB=2（1）求AC的長（2）求AOB的度數（3）以OB、OC為鄰邊作菱形OBEC，求菱形OBEC的面積板塊二、菱形的判定例1.已知:如圖1-3,在ABCD中,對角線AC與BD

10、交于點O,ACBD.求證: ABCD是菱形例2.已知:如圖1-5,四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求證: 四邊形ABCD是菱形例3.已知:如圖,在ABCD中,對角線AC的垂直平分線分別與AD、AC、BC相較于點E、O、F.求證: 四邊形AECF是菱形課堂練習：1.如圖，如果要使平行四邊形成為一個菱形，需要添加一個條件，那么你添加的條件是 2. 已知：如圖，平行四邊形的對角線的垂直平分線與邊、分別相交于 、.求證：四邊形是菱形.3.如圖，在梯形紙片中，將紙片沿過點 的直線折疊，使點落在上的點處，折痕交于點，連結.求證：四邊形是菱形4.如圖，在中，是的中點分別作于，于，于，于相交于點求證

11、：四邊形是菱形【作業】1 有一組鄰邊相等的 是菱形，對角線 的四邊形是菱形。2 菱形的面積為24cm2，一條對角線的長為6cm，則另一條對角線長為 cm，邊長為 cm，高為 cm。3 菱形周長為20，相鄰兩角的比為1:2，則菱形的兩對角線的長為 。4如圖1所示，菱形ABCD中，AEBC，BE=EC，AE=2，BD= 。5如圖2所示，菱形ABCD中，AB=AE=EF=FA，C= 。ABCDEF圖3ABDEFC圖2ABCDE圖16菱形對角線的平方和等于一邊平方的（ ） A2倍 B3倍 C4倍 D8倍7菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質是（ ） A對角線互相平分 B鄰角互補 C對角相等 D每條對角

12、線平分一組對角8如圖3所示，菱形ABCD中，DEAB，DFBC，E、F為垂足，AE=EB，則EDF等于（ ） A75° B60° C50° D45°9下列條件中不能確定菱形的形狀和大小的是（ ） A已知菱形的兩條對角線 B已知菱形的一邊和一個內角 C已知菱形的四條邊 D已知菱形的周長和面積10下列命題正確的是（ ） A有兩組鄰角相等的四邊形是菱形 B有一組鄰邊相等的四邊形是菱形 C對角線互相垂直的四邊形是菱形 D對角線互相垂直平分的四邊形是菱形11菱形的周長為a，高為h，一條對角線長為h，則另一對角線的長可示為： 。12如圖，ABC中，AB=AC，AD是

13、角平分線，E為AD延長線上一點，CF/BE交AD于F，連結BF、CE，求證：四邊形BECF是菱形。13如圖，ABC中，ACB=90°，B的平分線交高CD于E，交AC于F，FGAB，G為垂足，求證：四邊形CEGF是菱形。 14. 在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，順次連接EF、FG、GH、HE（1）請判斷四邊形EFGH的形狀，并給予證明；（2）試添加一個條件，使四邊形EFGH是菱形（寫出你添加的條件，不要求證明）15.如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120°，AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動，且E、F不

14、與B、C、D重合（1）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動，總有BE=CF；（2）當點E、F在BC、CD上滑動時，分別探討四邊形AECF和CEF的面積是否發生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最小）值16.如圖，菱形ABCD的邊長為2，BD=2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個動點，且滿足AE+CF=2（1）求證：BDEBCF；（2）判斷BEF的形狀，并說明理由；（3）設BEF的面積為S，求S的取值范圍17如圖1，在ABC中，AB=BC=5，AC=6ECD是ABC沿BC方向平移得到的，連接AE、AC和BE相交于點O（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，說明理由；（2）如圖2

15、，P是線段BC上一動點（圖2），（不與點B、C重合），連接PO并延長交線段AE于點Q，QRBD，垂足為點R四邊形PQED的面積是否隨點P的運動而發生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積18. 如圖1，在ABC和EDC中，AC=CE=CB=CD；ACB=DCE=90°，AB與CE交于F，ED與AB，BC，分別交于M，H（1）求證：CF=CH；（2）如圖2，ABC不動，將EDC繞點C旋轉到BCE=45°時，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形？并證明你的結論19. 如圖，在直角坐標系xOy中，RtOAB和RtOCD的直角頂點A，C始終在x軸的正半軸上，B，D在

16、第一象限內，點B在直線OD上方，OC=CD，OD=2，M為OD的中點，AB與OD相交于E，當點B位置變化時，RtOAB的面積恒為試解決下列問題：（1）填空：點D坐標為_；（2）設點B橫坐標為t，請把BD長表示成關于t的函數關系式，并化簡；20. 如圖，在RtABC中，B=90°，BC=5，C=30°點D從點C出發沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動設點D、E運動的時間是t秒（t0）過點D作DFBC于點F，連接DE、EF（1）求證：AE=DF；（2）四邊

17、形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明理由（3）當t為何值時，DEF為直角三角形？請說明理由21如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC，E、F分別是AD、BC的中點，G、H分別是BD、AC的中點，猜一猜EF與GH的位置關系，并證明你的結論21. 如圖1，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是BD延長線上的點，且ACE是等邊三角形（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）如圖2，若AED=2EAD，AC=6求DE的長22. 在菱形ABCD中，ABC=60°，E是對角線AC上一點，F是線段BC延長線上一點，且CF=AE，連接BE、EF（1）若E是線段AC的中點，如圖1，易證：BE=EF（不需證明）；（2）若E是線段AC或AC延長線上的任意一點，其它條件不變，如圖2、圖3，線段BE、EF有