1、第4章 統計估值1 （1994年、數學三、選擇）設是來自總體的簡單隨機樣本，是樣本均值，記，則服從自由度的分布的隨機變量是（）。A.B.C.D. 答案：選B當時，服從自由度的分布的隨機變量應為 、由， 而不是、由 。2 （1997年、數學三、填空）設隨機變量相互獨立，均服從分布且與分別是來自總體的簡單隨機樣本，則統計量服從參數為（）的（）分布。 答案：填；由相互獨立，均服從分布，又與分別來自總體，可知與之間均相互獨立，均服從分布因而，且與相互獨立，因而服從參數為的分布。3 （1998年、數學三、填空）設是取自正態總體的簡單隨機樣本且，則（），（）時，統計量服從分布，其自由度為（）。答案：填；由

2、統計量設，即由可知，且 若統計量服從分布，則由，可知自由度為且服從標準正態分布，即，4 （1999年、數學三、證明）設是取自正態總體的簡單隨機樣本，證明統計量服從自由度為的分布。證明：記（未知），易見，由于和相互獨立，可見，從而 由正態總體樣本方差的性質，知 由于與獨立，與以及與獨立，可見與獨立。于是，由服從分布的隨機變量的結構，知 5 （2001年、數學三、填空）設總體X服從正態分布,而是來自總體的簡單隨機樣本，則隨機變量 服從（ ）分布，參數為（ ）。 答案 填：F; (10,5)且顯然此二者相互獨立，則 6 （2001年、數學四、計算）設總體X服從正態分布，從中抽取簡單隨機樣本，（），其

3、樣本均值為，求統計量的數學期望E(Y)。解： 7 （1998年、數學一、計算）設容量為n的簡單隨機樣本取自總體N ( 3.4, 36 ),且樣本均值在區間(1.4,5.4)內的概率不小于0.95,問樣本容量n至少應取多大？解：設是取自總體的簡單隨機樣本，則又由于： 則：，查表得即知樣本容量n至少應取35.8 （1993年、數學三、填空）設總體的方差為，據來自的容量為的簡單隨機樣本，測得均值為，則的期望的置信度近似等于的置信區間為（）。 答案：填：據題意可知，且，由，即，查表得，可知 因而總體的期望的置信度近似等于的置信區間為。9 （1996年、數學三、填空）由來自正態總體，容量為的簡單隨機樣本

4、，若得到樣本均值，則未知參數的置信度為的置信區間為（）。 答案：填：據題意可知，又由，得，即。10 （2000年、數學三、計算）假設是總體的簡單隨機樣本值，已知服從正態分布。（1）求的數學期望（記為）；（2）求的置信度為的置信區間；（3）利用上述結果求的置信度為的置信區間。解：（1）的概率密度為： ，于是，（令） （2）當置信度時，。標準正態分布的水平為的分位數為。故由，可得 其中 于是，有 從而就是的置信度為的置信區間。（3）由函數的嚴格遞增性，可見 因此的置信度為的置信區間為。11 （1997年、數學一、計算）設總體X的概率密度為 其中未知參數，是取自總體的簡單隨機樣本，用矩法估計和極大似

5、然估計法求的估計量。解： 令，解得：，此即的矩估計量。設似然函數對此式取對數，即：且令可得，此即的極大似然估計量。12 （1999年、數學一、計算）設總體X的概率密度為： 設是取自總體的簡單隨機樣本。（1）求的估計量；（2）的方差D()。解：（1），令得的矩估計量。 （2）經計算可得： 13 （2000年、數學一、計算)設某種元件的使用壽命X的概率密度為 其中為未知參數。由設是X的一組樣本觀測值，求參數的最大似然估計值。解：似然函數為： 取對數得 由于，則單調增加，因必須滿足因此當取中的最小值時，取最大值，所以的最大似然估計值為：=min14 （1991年、數學三、計算）設總體的概率密度為 據來自總體的簡單隨機樣本，求未知參數的最大似然估計量。解：由得總體的樣本的似然函數 再取對數得： 再求對的導數：令，得所以未知參數的最大