1、一、因式分解1運(yùn)用公式法(1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中n為正整數(shù)；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)

2、，其中n為偶數(shù)；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1)，其中n為奇數(shù)運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式例1 分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2=-2xn-1yn(x2n-y2)2 =-2xn-1yn(xn-y)

3、2(xn+y)2 (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2 (4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2

4、(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc我們已經(jīng)知道公(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3-3ab(a+b)解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)例3 分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1分析 這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有16項(xiàng)，從最高次項(xiàng)x15開始，x的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應(yīng)用公式an-bn來分解解 x16-1=(x-1)(x1

5、5+x14+x13+x2+x+1)，說明 在本題的分解過程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用2拆項(xiàng)、添項(xiàng)法因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號相反的同類項(xiàng)相互抵消為零在對某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解例4 分解因式：x3-9x+8解法1 將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1+9原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1

6、)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法2 將一次項(xiàng)-9x拆成-x-8x原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法3 將三次項(xiàng)x3拆成9x3-8x3原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)解法4 添加兩項(xiàng)-x2+x2原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)例5 分解因式： (1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4

7、mn； (3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4； (4)a3b-ab3+a2+b2+1解 (1)將-3拆成-1-1-1原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3) (2)將4mn拆成2mn+2mn原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1

8、)(3)將(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4-(x2-1)2=(x+1)2+(x-1)22-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3) (4)添加兩項(xiàng)+ab-ab原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)b(a+b)+1+(ab+b2+1)=a(a-b)+1(ab+b2+1)=(a2-ab+

9、1)(b2+ab+1)3換元法換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來運(yùn)算，從而使運(yùn)算過程簡明清晰例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12分析 將原式展開，是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難我們不妨將x2+x看作一個(gè)整體，并用字母y來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式的因式分解問題了解 設(shè)x2+x=y，則原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)說明 本題也可將x2+x+1看作一個(gè)整體，比如今x2+x+1=u，例7 分解因式：

10、(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90令y=2x2+5x+2，則，原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)說明 對多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ)例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2解 設(shè)x2+4x+8=y，則，原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6

11、x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)說明 由本題可知，用換元法分解因式時(shí)，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質(zhì)是簡化多項(xiàng)式例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6解法 原式=6(x4+1)7x(x2-1)-36x2=6(x4-2x2+1)+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=2(x2-1)-3x3(x2-1)+8x=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-

12、1)(x+3)說明 本解法實(shí)際上是將x2-1看作一個(gè)整體，但并沒有設(shè)立新元來代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設(shè)置新元來代替整體例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)分析 本題含有兩個(gè)字母，且當(dāng)互換這兩個(gè)字母的位置時(shí)，多項(xiàng)式保持不變，這樣的多項(xiàng)式叫作二元對稱式對于較難分解的二元對稱式，經(jīng)常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式解 原式=(x+y)2-xy2-4xy(x+y)2-2xy令x+y=u，xy=v，則原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2 二、代數(shù)式的求值

13、代數(shù)式的求值與代數(shù)式的恒等變形關(guān)系十分密切許多代數(shù)式是先化簡再求值，特別是有附加條件的代數(shù)式求值問題，往往需要利用乘法公式、絕對值與算術(shù)根的性質(zhì)、分式的基本性質(zhì)、通分、約分、根式的性質(zhì)等等，經(jīng)過恒等變形，把代數(shù)式中隱含的條件顯現(xiàn)出來，化簡，進(jìn)而求值1利用因式分解方法求值例1、 已知a，b，c為實(shí)數(shù)，且滿足下式：a2+b2+c2=1，求a+b+c的值解 將式因式分解變形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0若bc+ac+ab=0，則 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，所以 a+b+c=±1所以a+b+

14、c的值為0，1，-1說明 本題也可以用如下方法對式變形：即前一解法是加一項(xiàng)，再減去一項(xiàng)；這個(gè)解法是將3拆成1+1+1，最終都是將式變形為兩個(gè)式子之積等于零的形式2利用乘法公式求值例2 已知x+y=m，x3+y3=n，m0，求x2+y2的值解 因?yàn)閤+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以3設(shè)參數(shù)法與換元法求值如果代數(shù)式字母較多，式子較繁，為了使求值簡便，有時(shí)可增設(shè)一些參數(shù)(也叫輔助未知數(shù))，以便溝通數(shù)量關(guān)系，這叫作設(shè)參數(shù)法有時(shí)也可把代數(shù)式中某一部分式子，用另外的一個(gè)字母來替換，這叫換元法分析 本題的已

15、知條件是以連比形式出現(xiàn)，可引入?yún)?shù)k，用它表示連比的比值，以便把它們分割成幾個(gè)等式x(a-b)k，y(b-c)k，z(c-a)k所以x+y+z=(a-b)k(b-c)k+(c-a)k=0u+v+w=1， 由有把兩邊平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，即4利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求值若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都為零，這個(gè)性質(zhì)在代數(shù)式求值中經(jīng)常被使用例7 若x2-4x+|3x-y|=-4，求yx的值 分析與解 x，y的值均未知，而題目卻只給了一個(gè)方程，似乎無法求值，但仔細(xì)挖掘題中的隱含條件可知，可以利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解因?yàn)閤2

16、-4x+|3x-y|=-4，所以x2-4x4|3x-y|=0，即 (x-2)2+|3x-y|=0所以 yx=62=36例9 未知數(shù)x，y滿足(x2y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0， 其中m，n表示非零已知數(shù)，求x，y的值分析與解 兩個(gè)未知數(shù)，一個(gè)方程，對方程左邊的代數(shù)式進(jìn)行恒等變形，經(jīng)過配方之后，看是否能化成非負(fù)數(shù)和為零的形式將已知等式變形為m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0，(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即 (mx-y)2+(my-n)2=05利用分式、根式的性質(zhì)求值

17、分式與根式的化簡求值問題，內(nèi)容相當(dāng)豐富，因此設(shè)有專門講座介紹，這里只分別舉一個(gè)例子略做說明例10 已知xyzt=1，求下面代數(shù)式的值：解 根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子、分母可以同時(shí)乘以一個(gè)不為零的式子，分式的值不變利用已知條件，可將前三個(gè)分式的分母變?yōu)榕c第四個(gè)相同同理  三、分式的化簡與求值例1 化簡分式：分析 直接通分計(jì)算較繁，先把每個(gè)假分式化成整式與真分式之和的形式，再化簡將簡便得多(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2) 例2 求分式，當(dāng)a=2時(shí)的值分析與解 先化簡再求值直接通分較復(fù)雜，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可將分式分步

18、通分，每一步只通分左邊兩項(xiàng)例3 若abc=1，求解法1 因?yàn)閍bc=1，所以a，b，c都不為零 解法2 因?yàn)閍bc=1，所以a0，b0，c0例4 化簡分式：互消掉的一對相反數(shù)，這種化簡的方法叫“拆項(xiàng)相消”法，它是分式化簡中常用的技巧例5 化簡計(jì)算(式中a，b，c兩兩不相等)：似的，對于這個(gè)分式，顯然分母可以分解因式為(a-b)(a-c)，而分子又恰好湊成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法解說明 本例也是采取“拆項(xiàng)相消”法，所不同的是利用例6 已知：x+y+z=3a(a0，且x，y，z不全相等)，求分析 本題字母多，分式復(fù)雜若把條件寫成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么題目只與x-a，y-a，z-a有關(guān)，為簡化計(jì)算，可用換元法求解解 令x-a=u，y-a=v，z-a=w，則分式變?yōu)閡2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全為零，所以u2+v2+w20，從而有說明 從本例中可以看出，換元法可以減少字母個(gè)數(shù)，使運(yùn)算過程簡化(x-4)2=3，即x2-8x+130原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，所以原式=5 說明 本例