1、典型試題分析1、 證明題：1、試由畢奧沙伐爾定律證明證明：由式：又知：，因此 由 所以原式得證。2、試由電磁場方程證明一般情況下電場的表示式證：在一般的變化情況中，電場E的特性與靜電場不同。電場E一方面受到電荷的激發(fā)，另一方面也受到變化磁場的激發(fā)，后者所激發(fā)的電場是有旋的。因此在一般情況下，電場是有源和有旋的場，它不可能單獨用一個標(biāo)勢來描述。在變化情況下電場與磁場發(fā)生直接聯(lián)系，因而電場的表示式必然包含矢勢A在內(nèi)。得：，該式表示矢量是無旋場，因此它可以用標(biāo)勢描述，。因此，在一般情況下電場的表示式為：。即得證。3、試由洛侖茲變換公式證明長度收縮公式。答：用洛倫茲變換式求運動物體長度與該物體靜止長度

2、的關(guān)系。如圖所示，設(shè)物體沿x軸方向運動，以固定于物體上的參考系為。若物體后端經(jīng)過點（第一事件）與前端經(jīng)過點（第二事件）相對于同時，則定義為上測得的物體長度。物體兩端在上的坐標(biāo)設(shè)為。在上點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，兩端分別經(jīng)過和的時刻為。對這兩事件分別應(yīng)用洛倫茲變換式得 ，兩式相減，計及，有 式中為上測得的物體長度（因為坐標(biāo)是在上同時測得的），為上測得的物體靜止長度。由于物體對靜止，所以對測量時刻沒有任何限制。由式得。 4、 試由麥克斯韋方程組證明靜電場與電勢的關(guān)系答：由于靜電場的無旋性，得： 設(shè)為由的兩條不同路徑。合成閉合回路，因此 即 因此，電荷由而只和兩端點有關(guān)。把單位正電荷由電場E對它所作的

3、功為： 這功定義為的電勢差。若電場對電荷作了正功，則電勢下降。由此，由這定義，只有兩點的電勢差才有物理意義，一點上的電勢的絕對數(shù)值是沒有物理意義的。 相距為的兩點的電勢差為 由于 因此，電場強度E等于電勢的負(fù)梯度 5、 試由恒定磁場方程證明矢勢A的微分方程。 答：已知恒定磁場方程（在均勻線性介質(zhì)內(nèi)），把得矢勢A的微分方程 由矢量分析公式 若取A滿足規(guī)范條件 ，得矢勢A的微分方程 6、試由電場的邊值關(guān)系證明勢的邊值關(guān)系證：電場的邊值關(guān)系為：，式可寫為 式中為由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法線。利用,可用標(biāo)勢將表為： 勢的邊值關(guān)系即得證。7、 試由靜電場方程證明泊松方程。 答：已知靜電場方程為：并知道 在均

4、勻各向同性線性介質(zhì)中，將（3）式代入（2）得 ，為自由電荷密度。于是得到靜電勢滿足的基本微分方程，即泊松方程。8、試由麥克斯韋方程證明電磁場波動方程。答：麥克斯韋方程組 表明，變化的磁場可以激發(fā)電場，而變化的電場又可以激發(fā)磁場，因此，自然可以推論電磁場可以互相激發(fā)，形成電磁波。這個推論可以直接從麥克斯韋方程得到，在真空的無源區(qū)域，電荷密度和電流密度均為零，在這樣的情形下，對麥克斯韋方程的第二個方程取旋度并利用第一個方程，得到 ，再把第四個方程對時間求導(dǎo)，得到 ，從上面兩個方程消去，得到 。這就是標(biāo)準(zhǔn)的波動方程。對應(yīng)的波的速度是9、 試由麥克斯韋方程組證明電磁場的邊界條件解：對于磁場B，把應(yīng)用到

5、邊界上無限小的扁平圓柱高斯面上，重復(fù)以上推導(dǎo)可得： 作跨過介質(zhì)分界面的無限小狹長的矩形積分回路，矩形回路所在平面與界面垂直，矩形長邊邊長為，短邊邊長為。因為，作沿狹長矩形的E的路徑積分。由于比小得多，當(dāng)時，E沿積分為二級小量，忽略沿的路徑積分，沿界面切線方向積分為： 即： 。可以用矢量形式表示為： 式中t為沿著矩形長邊的界面切線方向單位矢量。 令矩形面法線方向單位矢量為，它與界面相切，顯然有 將，則 ，利用混合積公式，改寫式為：此式對任意都成立，因此 ，此式表示電場在分界面切線方向分量是連續(xù)的。10、試由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出亥姆霍茲方程答：從時諧情形下的麥?zhǔn)戏匠探M推導(dǎo)亥姆霍茲方程。在一定的頻率

6、下，有，把時諧電磁波的電場和磁場方程：代入麥?zhǔn)戏匠探M 消去共同因子后得 在此注意一點。在的時諧電磁波情形下這組方程不是獨立的。取第一式的散度，由于，因而，即得第四式。同樣，由第二式可導(dǎo)出第三式。在此，在一定頻率下，只有第一、二式是獨立的，其他兩式可由以上兩式導(dǎo)出。 取第一式旋度并用第二式得 由，上式變?yōu)?此為亥姆霍茲方程。11、 試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電的情況下，導(dǎo)體外的電場線總是垂直于導(dǎo)體表面；在恒定電流的情況下，導(dǎo)體內(nèi)的電場線總是平行于導(dǎo)體表面。證明：（1）導(dǎo)體在靜電條件下達(dá)到靜電平衡，所以導(dǎo)體內(nèi)，而：（2）導(dǎo)體中通過恒定的電流時，導(dǎo)體表面。而：，。導(dǎo)體內(nèi)電場方

7、向和法線垂直，即平行于導(dǎo)體表面。12、 設(shè)是滿足洛倫茲規(guī)范的矢勢和標(biāo)勢，現(xiàn)引入一矢量函數(shù)（赫茲矢量），若令證明：滿足洛倫茲規(guī)范，故有 2、 計算題：1、真空中有一半徑為接地導(dǎo)體球，距球心為 處有一點電荷Q，求空間各點的電勢。解：假設(shè)可以用球內(nèi)一個假想點電荷來代替球面上感應(yīng)電荷對空間電場的作用。由對稱性，應(yīng)在連線上。關(guān)鍵是能否選擇的大小和位置使得球面上的條件使得滿足？ 考慮到球面上任一點P。邊界條件要求 式中r為Q到P的距離，因此對球面上任一點，應(yīng)有 由圖可看出，只要選的位置使 設(shè)距球心為b，兩三角形相似的條件為由（1）和（2）式求出 （3）和（4）式確定假想電荷的位置和大小。 由和鏡象電荷激發(fā)

8、的總電場能夠滿足在導(dǎo)體面上的邊界條件，因此是空間中電場的正確解答。球外任一點p的電勢是： 式中r為由到P點的距離，為由到P點的距離，R為由球心O到P點的距離，2、兩金屬小球分別帶電荷和，它們之間的距離為，求小球的電荷（數(shù)值和符號）同步地作周期變化，這就是赫茲振子，試求赫茲振子的輻射能流，并討論其特點。解：可知赫茲振子激發(fā)的電磁場：（取球坐標(biāo)原點在電荷分布區(qū)內(nèi)，并以P方向為極軸，則可知B沿緯線上振蕩，E沿徑線上振蕩。）。赫茲振子輻射的平均能流密度為：因子表示赫茲振子輻射的角分布，即輻射的方向性。在的平面上輻射最強，而沿電偶極矩軸線方向沒有輻射。3、已知海水的 試計算頻率 為50、和Hz的三種電磁

9、波在海水中的透入深度。解：取電磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度 4、電荷Q均勻分布于半徑為a 的球體內(nèi)，求各點的電場強度，并由此直接計算電場的散度。 解：作半徑為r的球（與電荷球體同心）。由對稱性，在球面上各點的電場強度有相同的數(shù)值E，并沿徑向。當(dāng)球面所圍的總電荷為Q，由高斯定理得 因而 寫成矢量式得 若則球面所圍電荷為： 應(yīng)用高斯定理得：由此得 現(xiàn)在計算電場的散度。當(dāng)E應(yīng)取式，在這區(qū)域，由直接計算可得 因而 當(dāng)E應(yīng)取式，由直接計算得 5、 一半徑為R的均勻帶電球體，電荷體密度為，球內(nèi)有一不帶電的球形空腔，其半徑為，偏心距離為 a，（）求腔內(nèi)的電場。解：這個帶電系統(tǒng)可視為帶正電的R球與

10、帶負(fù)電的的球的迭加而成。因此利用場的迭加原理得球形空腔的一點M之電場強度為： 6、無窮大的平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，極板上面電荷密度為 求電場和束縛電荷分布。解：由對稱性可知電場沿垂直于平板的方向，把應(yīng)用于下板與介質(zhì)1界面上，因?qū)w內(nèi)場強為零，故得 同樣把式應(yīng)用到上板與介質(zhì)2界面上得 由這兩式得 束縛電荷分布于介質(zhì)表面上。在兩介質(zhì)界面處，由得 在介質(zhì)1與下板分界處，由得 在介質(zhì)2與上板分界處， 容易驗證，介質(zhì)整體是電中性的。7、截面為S ，長為的細(xì)介質(zhì)棍，沿X軸放置，近端到原點的距離為b ，若極化強度為 ，沿X軸 。求：（1） 求每端的束縛電荷面密度；（2）求棒內(nèi)的束縛電荷體密度。（3）總束縛

11、電荷。解：（1）求在棍端 （2） 求 由 （3） 求 8、兩塊接地的導(dǎo)體板間的夾角為，當(dāng)板間放一點電荷q時，試用鏡像法就的情形分別求其電勢。解：設(shè)點電荷q處于兩導(dǎo)體面間一點，兩導(dǎo)體面間夾角為，各象電荷處在以R為半徑的圓周上，它們的位置可用旋轉(zhuǎn)矢量表示，設(shè)q及其各個象電荷的位置矢為則有 ，1）象電荷只有3個，各象電荷所處在的直角坐標(biāo)為：空間任意一點的電勢 2) 象電荷只有5個。各象電荷所在處的直角坐標(biāo)為：各個r由相應(yīng)的象電荷坐標(biāo)確定。9、在一平行板電容器的兩板上加 的電壓，若平板為圓形，半徑為a，板間距離為d，試求（1）、兩板間的位移電流；（2）、電容器內(nèi)離軸r處的磁場強度；（3）、電容器內(nèi)的能

12、流密度。解：（1） （2）（3）10、靜止長度為的車廂，以速度相對于地面S運行，車廂的后壁以速度為向前推出一個小球，求地面觀察者看到小球從后壁到前壁的運動時間。解：S系的觀察者看到長度為的車廂以運動，又看到小球以追趕車廂。小球從后壁到前壁所需的時間為：11、求無限長理想的螺線管的矢勢 （設(shè)螺線管的半徑為a，線圈匝數(shù)為n，通電電流為I）解：分析：。（1）當(dāng)時，可得：（2）當(dāng)時，同理可得：12、在大氣中沿Z軸方向傳播的線偏振平面波，其磁場強度的瞬時值表達(dá)式 （1） 求 。（2）寫出的瞬時值表達(dá)式解： ； 13、內(nèi)外半徑分別為a和b的球形電容器，加上的電壓，且不大，故電場分布和靜態(tài)情形相同，計算介質(zhì)

13、中位移電流密度及穿過半徑R的球面的總位移電流。解：位移電流密度為：穿過半徑R的球面的總位移電流為：14、證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度總是等于體自由電荷密度的倍。證：即證明了均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度總是等于體自由電荷密度。15、一根長為的細(xì)金屬棒，鉛直地豎立在桌上，設(shè)所在地點地磁場強度為H ，方向為南北，若金屬棒自靜止?fàn)顟B(tài)向東自由倒下，試求兩端同時接觸桌面的瞬間棒內(nèi)的感生電動勢，此時棒兩端的電勢哪端高？解：金屬棒倒下接觸桌面時的角速度w由下式給出 式中為棒的質(zhì)量，I為棒繞端點的轉(zhuǎn)動慣量（），g為重力加速度，代入得 ， 棒接觸桌面時的感生電動勢為： 此時棒的A點電動勢高。16、點電荷q放在

14、無限大的導(dǎo)體板前，相距為a，若q所在的半空間充滿均勻的電介質(zhì)，介質(zhì)常數(shù)為，求介質(zhì)中的電勢、電場和導(dǎo)體面上的感生面電荷密度。解：設(shè)象電荷位于嘗試解為： 1） 求設(shè)在導(dǎo)體板上，此式對任何y、z都成立，故等式兩邊y、z的對應(yīng)項系數(shù)應(yīng)相等， （2）求E （3）求 17、設(shè)有兩根互相平行的尺，在各自靜止的參考系中的長度為，它們以相同速率相對于某一參考系運動，但運動方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺上測量另一根尺的長度。解：系觀察到的速度 測得的尺子長度是 運動尺的收縮，只與相對運動的速度的絕對值有關(guān)，測得的尺子長度也是 。18、兩束電子作迎面相對運動，每束電子相對于實驗室的速度，試求：（1）實驗室中觀

15、察者觀察到的兩束電子之間的相對速度；（2） 相對于一束電子靜止的觀察者觀察的另一束電子的速度。解：（1）實驗室系統(tǒng)中，電子束相對速度為 0.9c+0.9c=1.8c,(2) 相對于一束電子靜止的系統(tǒng)中，相對速度代入 得： 19、設(shè)有一隨時間變化的電場，試求它在電導(dǎo)率為，介電常數(shù)為的導(dǎo)體中，引起的傳導(dǎo)電流和位移電流振幅之比，從而討論在什么情況下，傳導(dǎo)電流起主要作用，什么情況下位移電流其主要作用。解：可知傳導(dǎo)電流為：，位移電流為：。當(dāng)時，傳導(dǎo)電流起主要作用；當(dāng)時，位移電流起主要作用。20、已知矢勢 ，求 ，若 ， 是否對應(yīng)同一電磁場。解：21、電荷固定在球坐標(biāo)的原點，另一電荷Z軸上運動，其方程，其中a、b均為常數(shù)，試求：（1） 此電荷系統(tǒng)的電矩；（2） 輻射場強；（3） 輻射平均功率解：（1）（2）（3）輻