1、第十六章不定積分知識結構圖： 教學目的要求：1理解原函數與不定積分的概念，理解兩者的關系，理解不定積分與導數的關系；掌握不定積分的幾何意義與基本性質。2理解與掌握積分的基本公式，掌握不定積分的基本運算，會熟練地用直接積分法、第一類換元積分法、第二換元積分法（代數換元）、分部積分法求不定積分。3了解不定積分在經濟問題中的應用。教學重點：1原函數與不定積分的概念2不定積分的性質與基本積分公式3直接積分法4換元積分法5分部積分法教學難點：1不定積分的幾何意義2湊微分法、分部積分法求不定積分第一節不定積分的概念與基本公式【教學內容】原函數與不定積分的概念、不定積分的幾何意義、不定積分的基本性質、不定積

2、分的基本公式。直接積分法求函數的不定積分。【教學目的】理解原函數與不定積分的概念，理解不定積分的幾何意義；理解并掌握不定積分的基本性質；熟練掌握用直接積分法計算一些簡單函數的不定積分。【教學重點】1原函的概念；2.不定積分的概念；3.不定積分的幾何意義；4.不定積分的基本性質；5.不定積分的基本公式；6.直接積分法計算不定積分。【教學難點】1理解不定積分的幾何意義；2記憶不定積分公式。【教學時數】2學時【教學進程】一、原函數與不定積分的概念(一)原函數的概念前面我們所學的知識是：已知一個函數，求這個函數的導數；在現實生活中往往有：已知一個函數的導數，求原來這個函數的問題，如：已知曲線上任意一點

3、p(x,y)處的切線斜率為,求此曲線的方程。 已知某產品的邊際成本，要求該產品總成本的變化規律原函數定義定義41 設是定義在區間內的已知函數如果存在可導函數，使對于任意的，都有或 則稱函數是函數的一個原函數。例1 指出下列函數的原函數: 教師將舉例分析：如，則是在R上的一個原函數。，則 是的一個原函數。教師再問：（1）是否所有的函數都有原函數？什么樣的函數才有原函數存在呢？在此，我們不作討論我們只給出一個重要的結論結論：如果函數在某區間上連續，則其原函數一定存在（2）是不是在R上的一個原函數呢？學生回答：是 （3）提出一個函數若存在原函數，則有幾個呢？引入2.原函數個數定理41如果函數是的一個

4、原函數，則也是的原函數，且的所有原函數都具有的形式（為任意常數）(二)不定積分的概念教師指出：在以上的分析中我們看到一個函數有原函數存在，則有無數多個，它們都可以表示為的形式，我們把它叫做的不定積分。不定積分定義定義42 如果函數是的一個原函數，則稱的全體原函數（為任意常數）為的不定積分，記作其中稱為積分號，稱為被積函數，稱為積分表達式，稱為積分變量，稱為積分常數例2 求下列函數的不定積分: 2不定積分幾何意義提問：不定積分是否像導數那樣具有某種幾何意義呢？觀察圖4-1，根據不定積分的定義，具有這樣的性質：結論：表示的是一族曲線，其中任意一條曲線都可以由曲線沿軸上、下平移得到這積分曲線上橫坐標

5、相同的點處所作曲線的切線都是互相平行的（如圖4-1所示）。例3 已知某曲線上一點（1，2），且過曲線上任意一點的切線斜率等于該點橫坐標的兩倍，求此曲線的方程課堂練習(一)：求下列函數的一個原函數與不定積分: 3不定積分的性質提問：若對于任意的,，那么， 性質1（積分運算與微分運算互為逆運算） 或 或 性質2 （不定積分的運算法則）兩個函數代數和的不定積分，等于這兩個函數不定積分的代數和，即推廣：有限個函數的代數和的積分等于各個函數積分的代數和，即性質3 （不定積分的運算法則）被積函數中不為零的常數因子可以提到積分號外面來，即 ()4不定積分的基本公式設想：導數運算與積分運算是互為逆運算，那么我

6、們是否可以通過導數基本公式得到相應的不定積分公式？結論是肯定的，師生配合，根據導數基本公式，以及例1、2和課堂練習（一）得如下不定積分公式：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 利用基本積分表和不定積分的性質，可以直接計算一些簡單的不定積分,或將被積函數經過適當的恒等變形，再利用積分的基本性質和基本積分公式求出結果，這樣的積分方法，叫做直接積分法例4求 解 例5 求 解 例6 求解 例7 求解 例8 求解 例9 求解 例10 求解課堂練習（二）：求下列不定積分 本堂課小結：主要內容：原函數、不定積分的概念；不定積分的性質與運算法則；直接積分法。重點：不定

7、積分性質與基本公式，直接積分法。難點：經恒等變形后使用直接積分法計算不定積分。第二節換元積分法【教學內容】第一類換元積分法、第二類換元積分法求函數的不定積分。【教學目的】理解第一類換元、第二類換元積分法的思想方法，熟練掌握第一換元積分法（湊微分法），知道常用第二換元積分計算不定積分的被積函數類型，掌握第二換元積分法步驟。【教學重點】1.第一類換元積分法；2.第二類換元積分法。【教學難點】1.積分方法的合理選取；2.湊微分法【教學時數】3學時【教學進程】導入新課：1. 不定積分與導數運算是互逆運算；2. 不定積分基本公式及其性質只能解決一些較簡單函數的不定積分；3. 復習復合函數的導數法則，引入

8、新課。一、第一類換元積分法教師舉例分析不定積分： 的計算過程，導入第一類換元積分法。（一）第一類換元積分公式如果都是連續函數，并且容易求得的一個原函數，則有如下公式：利用復合函數的求導法則，可以驗證上式的正確性用這種方法的計算程序是先“湊”微分式，再作變量置換，因此我們將這類求不定積分的方法稱為第一類換元積分法，也稱湊微分法例1 求下列不定積分（第一小題寫出中間變量，以后逐步脫離中間變量的設置）（1） （2）（3）（4）常見類型一：通常形如：令進行換元積分。課堂練習（一）求；除了用上述方法以外還可以怎樣做呢？若, 求 。例2 求下列不定積分 （1） （2）（3）教師小結：1. 例2所出現的常見

9、類型小結常見類型（二）通常形如：令進行換元積分；一般，則令進行換元積分；2.積分方法的選取應該根據什么？應該根據經過換元后便于利用積分公式；課堂練習（二） 例3 求下列不定積分教學方法：指出這三個題分別是屬于常見類型，為常見湊微分類型小結作準備 （1） （2）（3）（二）常用湊微分法公式的被積函數類型1. （） 特別2. 3. 4. 5. 6. 7. 或8. 或9. 或10. 或例4 求下列不定積分 通常形如：例5求下列不定積分指出被積函數為三角函數時方法的選取（1）解題后，指出其相關類型積分方法的選取；（2）解題后，指出相關類型積分方法的選取；（3）指出此題的多種解法課堂練習（三）小結第一換

10、元積分法，提出新的一種被積函數的類型含有根號如：如何計算呢？如何計算？給出其求解的一般方法（第二換元積分法）。二、第二類換元積分法（一）第二換元積分公式當某些函數的積分不易被積出，則我們可以通過設（單調且可導，），其反函數為，且，則便可求出的原函數表達式這種換元的積分方法被稱為第二類換元積分法.例6計算注重解題方法分析、解題步驟書寫（答案：）例7計算分析此題與上題的共同點與不同點，然后導出方法（答案：）（二）三角代換類型小結1. 被積函數中含有一般令（或），則2. 被積函數中含有一般令（或），則3. 被積函數中含有一般令（或），則 例8計算分析此題與上兩題的共同點與不同點，然后導出方法例9計算

11、分析、解題三、不定積分基本公式補充本節例題中出現的幾種積分的類型是經常會遇到的，它們通常也被當作公式使用我們將其也列于基本積分公式表中，具體總結添加如下：本堂課小結：主要內容：第一類、第二類換元積分法重點：第一、第二換元積分法的思想方法與解題步驟難點：積分方法的正確選取、湊微分作業1.習題4教材P982單號題；3雙號題2. 補充題：（1）已知是的一個原函數，求（2）已知，求第三節分部積分法【教學內容】分部積分法。【教學目的】理解分部積分法的思想方法，能針對兩種不同類型函數之積的被積函數，正確選取，熟練掌握分部積分法步驟。【教學重點】分部積分法【教學難點】的正確選取【教學時數】1學時【教學進程】

12、導入新課：1. 復習第一換元積分、第二換元積分法，并指出其適合于哪一類被積函數；2. 提出當被積函數的形式為兩類不同類型函數（如：；等）之積的情形，如何求其不定積分問題，導入新課一、分部積分法教師舉例分析不定積分： 的計算過程，導入分部積分公式與分部積分法。（一）分部積分公式設函數具有連續的導數，則由乘積的微分運算法則可得兩邊積分，得這個公式叫做分部積分公式，它的作用在于：把比較難求的（或）化為比較容易求的來計算，化難為易根據分部積分公式，分析引例計算中關于的選取原則，得出：(1) 要容易求得(通常要用湊微分法求得)，且由求時，一般不加積分常數；(2)要比容易積出（二）分部積分公式應用例1求

13、. (答案：)常見類型一：或；通常是將（或）湊成（或）（）（其中）常見類型二： ；通常是將湊成（）。課堂練習（一）例2 求下列不定積分 （1） （答案：）（2）（答案：）常見類型三：或或；通常是將冪函數湊入微分號內。課堂練習（二） 例3 求 （答案：）此題注意事項：（1）需分部積分兩次，通過解積分方程來完成；（2）的選取不影響積分的難易程度，但是兩次分部積分中關于的選取應相同。常見類型四：或。二、不定積分法綜合我們已經學習了直接套用積分公式的直接積分法、換元積分法、分部積分法，這些基本的積分方法應靈活運用，切忌死套公式有些問題往往需要同時運用換元法與分部積分法才能求得最終結果例4 求（答案：）

14、此題解法比較靈活，可以先湊成后直接使用分部積分法；或者先令，然后求出代入。再一次說明做題方法的靈活性，不能死套公式。本堂課小結：主要內容：分部積分公式及其應用重點：分部積分法難點：分部積分公式中的的合理選取作業第四節不定積分在經濟問題中的應用舉例【教學內容】不定積分的經濟應用。【教學目的】理解不定積分在經濟問題中的應用，知道已知某經濟函數的邊際函數，求原經濟函數的方法求不定積分，并能在初始條件下，確定積分常數值。【教學重點】不定積分經濟應用【教學難點】變化率模型的經濟涵義【教學時數】1學時【教學進程】導入新課：1. 求導數求函數的瞬時變化率2. 邊際成本、邊際收入、邊際利潤函數的經濟意義及其求

15、法；3. 若已知某邊際函數，如何去求原來那個經濟函數？這類問題的求解思路：1.對邊際函數求不定積分；2.由給出的初始條件，確定積分常數C；3.寫出這個滿足初始條件的經濟函數。例1 已知某廠生產某產品總產量的變化率是時間的函數，當時，求該產品的總產量函數分析：（1）總產量的變化率即總產量的導數；（2）時，即初始條件（答案：）例2 某工廠生產某種產品，已知每月生產的產品的邊際成本是，且固定成本是5000元，求總成本與月產量的函數關系分析：（1）邊際成本即總成本的導數；（2）固定成本是5000元即初始條件：產量0時的成本為5000元（答案：）例3已知某產品生產個單位時總收入的變化率（邊際收入）為（）

16、求生產了50個單位產品時的總收入分析：（1）總收入R的變化率即總收入的導數；（2）時，即初始條件，此條件為默認。（答案：）例4已知某種商品的最大需求量為（即價格為0時的需求量），有關部門給出這種商品的需求量的變化率模型為（也稱邊際需求），其中表示商品的價格，求這種商品的需求函數,分析：（1）需求量的變化率即需求函數的導數；（2）最大需求量為（即價格為0時的需求量）。（答案：）例5 已知某種商品的需求函數，其中為需求量(單位：件)，為單價（單位：元/件）.又已知此種商品的邊際成本為，且C(0)=10，試確定當銷售單價為多少時，總利潤為最大，并求出最大總利潤分析：（1）邊際成本即成本函數的導數；（

17、2）C(0)=10初始條件；（3）需求量產量是一種模型簡化條件；（4）需求函數需求與價格p的關系。（答案：銷售單價元時（此時銷售量件），總利潤為最大，最大利潤為240元）本堂課小結：主要內容：不定積分在經濟問題中的應用重點：不定積分難點：函數的變化率、邊際函數的意義。第四章不定積分習題課【教學內容】不定積分的計算及其應用。【教學目的】綜合理解并掌握不定積分的計算方法，掌握不定積分在經濟問題中的應用。【教學重點】計算不定積分【教學難點】原函數與不定積分的區別與聯系【教學時數】1學時【教學進程】一、基本概念基本性質1.基本概念原函數、不定積分2.不定積分基本性質性質4.1不定積分與導數運算的互逆性質；性質4.2,4.3不定積分的線性運算性質二、基本公式與方法1. 基本積分公式P82（1）（12）補充：，類似方法推出：，（a>0），根據練習，我們還可推出：2基本積分方法直接積分法被積函數經過恒等變形后利用基本積分公式、運算性質進行積分第一換元積分法（湊微分法）被積函數為兩部分的積，其中一部分是復合函數，另一部分則是中間變量的導數要熟悉常見湊微分的形式！第二換無積分法被積函數往往是含有根式，不易被“積出”時要熟悉根式的幾種不同形式下的代換函數！分部積分被積函數通常是兩種不同類型函數的積要熟記幾種常見被