1、 第3章 電路分析的一般方法 學習指導與題解一、 基 本 要 求1 明確電路一般分析方法的含義。了解KCL和KVL獨立方程的個數。 2掌握去支路電流法。包括支路電流法的變量和所列寫的電路方程，以及支路電流和支路電壓的求解。3明確網孔和網孔電流，網孔電流是一組完備的獨立電流變量。熟練掌握網孔分析法，包括用網孔分析法分析含受控源的平面網絡。要熟悉網孔分析法分析電路的基本步驟，能正確列出網孔方程，特別是會正確處理在列網孔方程中網孔電流方向與列回路KVL方程繞行方向的關系。解出網孔電流后，會計算電路中的支路電流和支路電壓。4明確網絡的獨立節點和獨立節點電壓，獨立節點電壓是一組完備的獨立電壓變量。熟悉掌

2、握節點分析法，包括用節點分析法分析含受控源的網絡。要熟悉運用節點分析法分析電路的基本步驟，能正確列出節點方程，特別要正確運用電流和電壓的參考方向。解出網絡的獨立節點電壓之后，會計算出電路中的支路電壓和支路電流。 二、 學 習 指 導電路分析的一般方法，是電路分析的基本方法。本課程的重要內容。本章的教學內容，可以分為如下三部分：1KCL和KVL獨立方程和支路電流法；2網孔分析法；3節點分析法。著重討論網孔分析法和節點分析法以及支路電流法。對2b法僅作一般介紹，以建立電路一般分析法的概念。現就教學內容中的幾個問題分述如下。（一） KCL和KVL獨立方程所謂電路分析的一般方法，是指求解任意電路，特別

3、是復雜電路中各支路電流和電壓普遍方法。一個n個節點b條支路的電路，就有b個支路電壓和b個支路電流需要求解，即共有2b個待求變量。這就需要列出以b個支路電流和b個支路電壓為變量的2b個獨立的電路方程。以支路電流為變量，應用KCL對n個節點可以列(n-1)個獨立的節點電流方程，而且是任意的(n-1)個節點電流方程。所謂獨立節點方程，就是任一方程都不能為其它方程所線性表示，即對節點依次列出KCL電流方程時，必須使新方程中都至少包含有一個新的支路電流。然而，(n-1)獨立的節點電流方程不能求解出b個支路電流。所以，這(n-1)個獨立的節點電流方程是不完備的。再以b個支路電壓為變量，應用KVL對電路中的

4、閉合回路列出b-(n-1)個獨立的KVL電壓方程。這些電壓方程，每一個都至少包含有一個新的支路電壓，保證了方程的獨立性。然而，b-(n-1)個獨立的電壓方程，不能求解出b個支路電壓變量。所以，b-(n-1)個獨立電壓方程是不完備的。上述以支路電流和支路電壓為變量列出獨立方程，共有(n-1)+b-(n-1)=b即共有b個獨立電路方程，不能解出2b個電路變量。為了求解2b個獨立變量，對于給定電路結構和元件參數的電路，可再以支路電流和支路電壓為變量，列出b個支路與支路電流關系的支路VAR方程，這b個支路VAR方程是獨立的電路方程。因此，(n-1)個獨立節點電流方程、b-(n-1)個獨立回路電壓方程和

5、b個支路伏安關系方程，共有2b個獨立的電路方程。由這2b個獨立的電路方程，便可以解出2b個待求支路電流和支路電壓變量。這種分析方法，稱為2b法。(二)關于支路電流法在上述方法中，對b-(n-1)個回路電壓方程中的支路電壓，以支路電流為變量表示的VAR式代入，便可得出的b個支路電流表示的b-(n-1)個獨立回路電壓方程。于是，(n-1)個獨立節點電流方程和b-(n-1)個獨立回路電壓方程，共有b個以支路電流為變量的獨立電路方程。由b個獨立電路方程，便可以解出b個支路電流變量，再根據支路的伏安關系，便可得出b個支路電壓。這種分析方法，稱為支路電流法。支路電流法對于節點和支路數較多的網絡，變量和電路

6、方程數仍然較多，分析計算的工作量仍然較大。能否進一步減少網絡的獨立變量數和獨立方程方程數，又能求解出2b個待求變量呢？這就需要找出數目少于b的網絡獨立電流變量或獨立電壓變量。這類網絡變量應滿足如下幾個條件：（1）網絡變量必須是獨立的。即網絡變量之間彼此獨立無關，任一個變量都不能為其它變量所線性表示，它們之間也不能受KVL和KCL相約束。（2）網絡變量必須是完備的。即網絡變量與按KVL和KCL列出的獨立電路方程數相等。（3）網絡變量必須是支路電流或支路電壓的線性函數。即一旦網絡方程得解，求出全部網絡變量，便可以解出b個支路電流和b個支路電壓。（4）網絡獨立變量數應少于支路數b。電路理論中，滿足上

7、述條件的網絡獨立變量，主要有網孔電流和獨立節點電壓。(三)關于網孔分析法1網孔電流與網孔分析法一個n個節點b條支路的網絡，有b-(n-1)個網孔回路。沿每一個網孔回路流經的假想電流，稱為網孔電流。以b-(n-1)個網孔電流為變量，對每一個網孔列出一個KVL方程，稱為網孔方程。因此，共有b-(n-1)個網孔方程，聯立求解網孔方程組，得出b-(n-1)個網孔電流。通過網孔電流可以直接求出b個支路電流，根據支路的VAR便可求出b個支路電壓。這種列定和求解網孔方程的分析法，稱為網孔分析法。由于網孔電流變量數b-(n-1)少于支路電流的個數b。因此，應用網孔分析法，列寫和求解電路方程數少于支路電流法，可

8、以減少計算的工作量。網孔分析法適用于平面網絡。所謂平面網絡，就是電路中所有閉合回路都是網孔的電路。2網孔電流是一組完備的獨立電流變量（1）由于網孔電流是沿每一網孔回路的假想電流。因此，網孔電流之間彼此獨立無關，在一網孔電流都不能為其它網孔電流所線性表示，它們之間也不能用KCL方程相約束。所以，網孔電流是一組獨立的電流變量。（2）以網孔電流為變量，依次對b-(n-1)個網孔回路列出KVL方程，即網孔方程，在新的方程中至少包含一個新支路電壓。因此，b-(n-1)網孔方程是獨立的回路電壓方程。顯然，b-(n-1)個獨立的網孔方程，便可以解出b-(n-1)個網孔電流變量。所以，網孔電流是一組完備的獨立

9、電流變量。而且，所有支路電流都可以用網孔電流表示。只要求出網孔電流，b個支路電流就易于求出。3正確列出網孔方程掌握網孔分析法的關鍵，在于正確列出網孔方程。（1）網孔方程是以網孔電流為變量的網孔回路的KVL方程。在列出網孔方程時，首先要假定每一網孔電流的參考方向，同時還要先定列回路KVL方程的繞行方向。繞行方向可以選為順時針方向，也可以選為逆時針方向。列寫網孔方程時必須正確處理網孔電流參考方向與繞行方向的關系。一般選與繞行方向與該網孔電流參考方向一致。則在網孔方程中，本網孔回路自電阻壓降項為正值；相鄰網孔公共電阻的互電阻壓降項，若兩網孔電流方向相同時為正值，相反時為負值。網孔回路中已知電壓源電壓

10、列于方程等號的另一邊，其值是該網孔回路所有電壓源電壓升代數和。電壓升為正值，電壓降為負值。若兩網絡中含“有伴電壓源”支路，即電流源模型支路時，應等效變換為“有伴電壓源”，支路，即電壓源模型支路。（2）若外網孔回路含有“無伴電流源”支路，即純電流源支路，這時該網孔電流與已知電流源電流的數值相同，則該網孔的網孔方程可以不必列出，減少了網孔方程數，從而簡化了計算。（3）若網絡中含有兩網孔子的公共支路是“無伴電流源”支路時，因電流源兩端的電壓為未知量。所以，在列網孔回路的KVL方程時，應假定電流源兩端的電壓為U，于是，網孔方程式中多了一個未知變量。為了使網孔方程數與方程變量數相同，應根據這一“無伴電流

11、源”電流與相鄰網孔電流的關系，再列出一個輔助方程。 這種公共支路是“無伴電流源”支路的相鄰兩網孔回路，構成一個“超網孔回路”。所謂超網孔回路，就是將公共支路電流源電流置零，即開始，原有兩網孔便于工作構成一個新網孔回路。這一超網孔回路，應用KVL只能列出一個獨立網孔方程。列超網孔的網孔議程時，各支路的電流應是原有的網孔電流為變量。正確列出含有“超網孔回路”的網絡的網孔方程，是學習的一個難點。（4）含有受控源電路列網孔方程時，受控源按獨立電源處理。但是，控制量應以網孔電流表示。（四）關于節點分析法1獨立節點五節點分析法一個N個節點的網絡，選擇一個節點為參考節點，則其余的(n-1)個節點，稱為獨立節

12、點。獨立節點與參考點之間的電壓，稱為獨立節點電壓，簡稱節點電壓。以(n-1)個節點電壓為變量，對每一個獨立節點列出一個KCL方程，稱為節點方程。因此，共有(n-1)個節點方程，這(n-1)個節點方程，是獨立的節點方程。聯立求解節點方程組，便可求出(n-1)個節點電壓。通過節點電壓便可以直接求出所有支路電壓，根據各支路的VAR，便可求出所有支路電流，從而2b個變量求解。這種分析計算方法，稱為節點分析法。由于(n-1)個獨立節點少于B個支路數。因此，應用節點分析法，列寫和求解的電路方程數少于支路電流法，從而可使計算工作簡化。節點分析法，適用于任意結構的網絡。2 獨立節點電壓是一組完備的獨立電壓變量

13、(1)各獨立節點電壓之間，彼此獨立無關。因為，任一獨立節點電壓不能為其它節點電壓所線性表示，各獨立節點之間不構成回路。所以，它們之間不受KVL方程相約束，獨立節點電壓是一組獨立的電壓變量(2)以(n-1)個獨立節點電壓為變量，列出的(n-1)個節點的KCL方程是獨立的節點方程。因為，依次對(n-1)個獨立節點列出電流方程時，在新的方程中至少包含有一個新的支路電流，因此，(n-1)個節點方程是獨立的電流方程。顯然，(n-1)個獨立節點的節點方程，便可以解出一個(n-1)個獨立節點。所以，節點電壓是一組完備的獨立電壓變量。而且，所有支路電壓和支路電流，都可以用獨立節點電壓表示，只要(n-1)個節點

14、電壓求出，2b個支路電壓和電流便易于得出。3 正確列出節點方程掌握節點分析法的關鍵，在于正確列出節點方程。（1） 節點方程是按KVL列出的節點方程。列節點方程時，必須正確運用電流電壓參考方向的概念。首先，我們假定參考節點的電位最低，各獨立節點的電位均高于參考節點電位。因此，流出節點的支路電流為正，流入節點的支路電流為負。所以，在節點方程中，本節點的自由導（與該節點聯接各支路電導之各）為正值，互電導（相鄰節點之間各支路電導之和）為負值；已知與節點聯接各支路電流源電流為正值，流出為負值。對于與節點含“有伴電流源”支路時，應將其等效變換為“有伴電流源”支路來處理。 （2）若電流源支路串聯有電阻元件時

15、，列節點方程時，電流源支路中的串聯電阻置零。即節點方程中該電導為零值。因此，該電阻元件稱為虛元件，這種串聯有電阻元件的電流源支路，則稱為虛元件支路。含有虛元件支路的網絡，在列節點方程時，應將虛元件置零。（3）若網絡中，已知電壓源的一端接于參考節點時，則電壓源另一端聯接的獨立節點電壓為已知。因此，該節點的節點方程不必列出，節點方程數可以減少，簡化了計算。（4）若網絡中兩獨立節點之間是一“無伴電壓源”支路時，該支路電流為未知量。因此，在列節點方程時可以假設通過該無伴電壓源的電流為I。于是，節點方程中多了一個未知變量，為了使變量數與節點方程數相等，應該根據已知電壓源電壓與相鄰兩獨立節點電壓的關系，再

16、列出一個輔助方程。這種公共支路是無伴電壓源的兩獨立節點，構成了一個“超節點”。所謂“超節點”，是將該兩節點之間的電壓源電壓置零，用假想的短路線代替，而構成的一個新節點。超節點應用KCL只能列出一個獨立節點方程。列超節點方程，是由原有獨立節點電壓為變量來列出。正確列出含“超節點”網絡的節點方程，是本章學習的又一個難點。（5）對于含受控源的網絡，應用KCL列節點方程時，受控源按獨立電源處理。但是，控制量應以獨立節點電壓表示。本章學習的重點是，明確網絡獨立變量的概念，掌握節點分析法和網孔分析法。三、解 題 指 導 （一）例題分析 例3-1 支路電流法分析計算。如圖3-1所示電路。試用支路電流法各支路

17、電流。 解： 解題思路 本例電路有4個節點6條支路，待求量是6個支路電流。圖3-1中標出各支路電流的參考方向。由于，則，可以列出3個獨立的節點電流方程；，可以列出3個獨立的回路電壓方程。共有6個以支路電流為變量獨立的電路方程，便可以解出6個支路電流。解題方法 按支路電流法解題，步驟如下：（1） 在電路中標任意假定各支路電流的參考方向。節點編號為1，2，3，4.(2) 列節點的KCL方程：以流出節點支路電流為正，流入節點為負。節點1： 節點2： 節點3： （3） 列回路KVL方程。繞行方向選為順時針方向。回路1321： 回路1241： 回路2342： （4）聯立求解上六個方程組式，得出待求支路電

18、流。 ， ， ， ， ， .例3-2 應用網孔分析法求含受控源平面網絡。如圖3-2所示電路，試用網孔分析法求各支路電流。解： 解題思路 本題是應用網孔分析法求解含受控源平面網絡。節點數，支路數，故網孔數為。以3個網孔電流為變量，按KVL可以列出3個網孔方程。含受控電壓源網孔方程中，受控制電壓源的控制量，應以網孔電流表示。解出網孔電流后，根據支路電流與網孔電流的關系，算出各支路電流。解題方法 應用網孔分析法解題步驟如下：（1）設網孔回路編號為，網孔電流為和及它們的參考方向標示于圖中。（2）列網孔方程。繞行方向選為順時針方向。網孔： 網孔： 網孔： 移項后得出 （3）解網孔方程組。應用克拉姆法則得

19、出 （4）計算各支路電流 例3-3 應用網孔分析法分析計算含無伴電流源支路的平面網絡。如圖3-3所示網絡，試用網孔分析法求各支路電流。解： 解題思路 本題電路的節點數，支路數，網孔數為.由于2A電流源為無伴電流源支路，且在外網孔支路，與網孔電流相等，故該網孔電流為已知，網孔方程可以不必列出。又由于另兩網孔的公共支路是3A無伴電流源，該兩網孔回路構成一個超網孔回路，只列出一個獨立的網孔方程。故需根據3A電流源電流與該兩網孔電流的關系，列出一個輔助網孔方程。得出有兩個網孔電流變量的兩個獨立的網孔方程。解網孔方程組，得出網孔電流。利用網孔電流便可直接計算出各支路電流。解題方法 應用網孔分析方法解題的

20、步驟如下：（1）設網孔編號為，網孔電流和及它們的參考方向標示于圖3-3中。（2）列網孔方程。繞行方向選為順時針方向。網孔： 網孔： 設3A電流源兩端電壓為U，參考方向如圖3-3所示。則網孔的網孔方程為 網孔的網孔方程為 將代入上式得出 輔助方程： 根據3A電流源電流與網孔電流和的關系列出 （3）解網孔方程組式，得出網孔電流為 ， （4）計算各支路電流 例3-4 應用節點分析法計算含受控源網絡。如圖3-4所示電路，試用節點分析法求各支路電流。解： 解題思路 本題電路中，節點數，支路數。獨立節點數，應用KCL可以列出3個獨立節點方程。列節點方程時，4A電流源支路為虛元件支路，在該節點方程中，虛元件

21、3電阻應置零；對2U受控電壓源模型支路（即有伴受控電壓源），應得出節點電壓，支路電流便可直接計算得出。解題方法 應用節點分析法解題的步驟如下：（1）設節點4為參考節點。獨立節點1，2，3，獨立節點電壓為和，標示于圖3-4中。（2）列節點方程。假定獨立節點電位均高于參考節點電位。則節點方程中，流出節點支路電流為正值，流入節點為負值。則節點1： 節點2： 節點3： （3）解聯立節點方程組式。應用克拉姆法則有 故獨立節點電壓分別為 （4）計算各支路電流 受控電壓源為 例3-5 應用節點分析計算含無伴電壓源支路網絡。如圖3-5所示電路。試用節點分析法求各支路電流。解： 解題思路 本題電路中，節點數，支

22、路數，有3個獨立節點，可以列出3個獨立節點方程。但是，由于1 V電壓源為無伴電壓源支路，且其一端接參考節點，另一端接于一獨立節點，故該獨立節點電壓為已知，節點方程不必列出。因此，只列兩個節點方程即可。又由于2.2 V電壓源是無伴電壓源支路,電壓源相聯兩獨立節點,構成一個超節點,只能列出一個獨立的節點方程。為使節點方程數與節點變量數相等，需根據2.2 V電壓源電壓與兩端獨立節點電壓的關系，再列出一個輔助節點方程。解節點方程組，得出節點電壓，各支路電流便可利用節點電壓直接計算得出。 解題方法 應用節點分析法解題的步驟如下：（1）選定節點4為參考節點，獨立節點編號為1，2，3；獨立節點電壓為和.標示

23、如圖3-5中。（2）列出節點方程。仍假定參考節點的電位最低；流出節點電流為正值，流入節點為負值，則節點1： 節點23：由于節點23構成超節點，只能列出一個獨立節點方程。假定通過2.2 V電壓源的電流為，參考方向如圖3-5中所示。則節點2的節點方程為 再列節點3的節點方程為 將上兩節點方程相加，得出超節點的節點方程為 輔助方程： （3）解節點方程組式，得出節點電壓為 （4）計算各支路電流 （二）部分練習題解答1 用支路電流法求圖3-4中的.解： 假定各支路電流的參考方向如圖3-6所示。 列節點電流方程節點a： 節點b： 列回路電壓方程回路aa: 回路aa: 將式-式得 將式代入上式得出 將式代入

24、式得 將式+式得出 故 2 在圖3.7所示電路中，己知R1 = R2 = 2，R3 = 4，R4= R5=3，US1=6.4V，試用支路電流法求各支路電流。 圖3.7解： 設I1、I2、I3為3個求解變量。電路中有2 個節點，可列一個獨立電流方程；電路中有兩個網孔，可列兩個獨立電壓方程。選定支路電流方向和網孔繞行方向如圖3.3所示。對節點a列寫節點電流方程 I1I2I3 = 0對兩個網孔列寫網孔電壓方程 (R1R2)I1 R3I2US1 = 0 R3I2(R4 R5)I3 = 0 代入元件參數得：4I1 4I26.4 = 04I26I3 = 0上述二個方程加上節點電流方程，聯立方程組解得： I

25、1 = 1A， I2 = 0.6A， I3 = 0.4A，3 在圖3.8a所示電路, US1=12V，US2=6V，R1=R2=R3=2，用疊加原理求各支路電流I1、I2和I3 ；求R3 消耗的功率。 圖3.8解： （1）將復雜電路分解成幾個簡單電路，有幾個電壓源就分解為幾個具有單一電壓源的簡單電路，并標出電流參考方向，如圖3.8b 、c所示。（2）對簡單電路分析、計算，求出單一電壓源作用時的各支路電流， 在圖3.8b中，US1單獨作用產生的電流： 應用分流公式求出 =在圖3.8c中，US2單獨作用時 應用分流公式求出 （3） 應用疊加原理求US1、US2共同作用時各支路電流 (4) R3 消

26、耗的功率為4 電路如圖3.9所示，試用觀察直接列出網孔電流方程。解： 用觀察直接列出網孔電流方程如下： 圖3.9 圖3.105 電路如圖3.10所示，己和IS = 12A，US = 30V，R1 = 20，R2 = 20，R3 = 7，R4 = 13。試用網孔電流法求各支路電流。解： 用網孔法求各支路電流的步驟是：(1) 首先假設各網孔電流的繞行方向(見圖3.10)；(2) 用KVL列出網孔方程本例電路左邊網孔電流就是獨立電流源的值，即Ia = IS = 12A，因此這個網孔方程就不要列寫了。對電路列出網孔方程如下：(3) 求解方程；代入元件參數并整理得： 聯立上面三式求解得網孔電流：Ia =

27、 12A，Ib = 7.5A，Ic = 4.5A。(4) 求各支路電流；I1 = Ia Ib = 127.5 = 4.5A，I2 = Ib Ic = 7.54.5 = 3A，I3 = Ic = 4.5A。(5) 驗算為了檢驗計算結果的正確性，需要進行驗算。其方法是列寫一個未列寫過的KVL方程，如果方程成立，說明計算正確。否則要重新計算。例如本例對R1 、R3 、R4回路列寫KVL方程：代入數據得：，說明計算結果正確。6 電路如圖3.11所示，用網孔法求電壓U 。 圖3.11解： 本例電路中電流源是兩個網孔的公共支路，由于網孔方程是KVL方程，因此在電流源兩端設一個電壓變量U，VCVS當獨立電壓

28、源看待。列寫網孔方程如下： (3.8) 上式中多了一個變量U，因此還得補充一個方程： (3.9)聯立式(3.8) 和式(3.9) 解得： 所以 。7. 電路如圖題3.12所示，求.解： 應用節點分析法解題。選定12 V電壓源“-”極為參考節點，各獨立節點電壓分別為和，如圖3.12所示。列節點方程為節點1： 節點2： 節點3： 節點4： 聯立求解節點方程組式，得出 故所求電流為 8.電路如圖3.13所示。求和.解： 應用節點分析法解題。列節點方程為節點1： 節點3： 節點2： 26.試繪出最簡單的電路。若節點方程為 解：繪出最簡單的電路，如圖3.14所示：9 電路如圖3.15所示，己知電流源IS

29、1 = 3A，IS2 = 7A。試用節點法求電路中的各支路電流。 解：(1) 選定參考節點參考節點可任意選定。注意，在分析電路時一經選定，就不得隨意變動。本例取節點0為參考節點，節點電位V1 、V2為變量，(2) 列出節點電位方程，應注意自電導總是正的，互電導總是負的。聯接本節點的電流源，當其電流指向該節點時，前面取正號，反之取負號。節點電位方程為 （）V1V2 = 3 V1（）V2 = 7(3) 求解聯立方程得到各節點電位聯立求解上面兩個方程，得 V1 = 6V ， V2 = 12V(4) 求各支路電流 I1 = = 6A I2 = = 3A I3 = = 4A(5) 驗算為了檢驗計算結果的正確性，需要進行驗算。其方法是列寫一個KVL方程，如果方程成立，說明計算正確。否則要重新計算。例如本例對三個電阻回路列寫KVL方程：說明上述計算結果是正確的。 圖3.15 圖3.1610 電路如圖3.16所示，電路中各元件參數為己知量，