1、直線與方程全章復習與鞏固【學習目標】1.在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素；2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；3.能根據斜率判定兩條直線平行或垂直；4.根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式：點斜式、兩點式及一般式，體會斜截式與一次函數的關系；5.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標；6.探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離【知識網絡】【要點梳理】要點一：直線的傾斜角與斜率（1）由斜率的定義可知，當在范圍內時，直線的斜率大于零；當在范圍內時，直線的

2、斜率小于零；當時，直線的斜率為零；當時，直線的斜率不存在直線的斜率與直線的傾斜角(除外)為一一對應關系，且在和范圍內分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然因此若需在或范圍內比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然（2）斜率公式已知點、，且與軸不垂直，過兩點、的直線的斜率公式.要點二：直線方程的幾種形式 （1）直線方程的幾種表示形式中，除一般式外都有其適用范圍，任何一種表示形式都有其優越性，需要根據條件靈活選用 （2）在求解與直線方程有關的問題中，忽視對斜率不存在時的直線方程的討論是常見的錯誤，應特別警惕（3）確定直線方程需要且只需兩個獨立條件，利用待定系數法求直線

3、方程是常用方法常用的直線方程有： ； ； ； (為參數)直線方程的五種形式的比較如下表：名稱方程的形式常數的幾何意義適用范圍點斜式yy1=k(xx1)（x1，y1）是直線上一定點，k是斜率不垂直于x軸斜截式y=kx+bk是斜率，b是直線在y軸上的截距不垂直于x軸兩點式（x1，y1），（x2，y2）是直線上兩定點不垂直于x軸和y軸截距式a是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的非零截距不垂直于x軸和y軸，且不過原點一般式Ax+By+C=0（A2+B20）A、B、C為系數任何位置的直線要點詮釋：在直線方程的各種形式中，點斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線存在斜

4、率，兩點式是點斜式的特例，其限制條件更多（x1x2，y1y2），應用時若采用(y2y1)(xx1)(x2x1)(yy1)=0的形式，即可消除局限性截距式是兩點式的特例，在使用截距式時，首先要判斷是否滿足“直線在兩坐標軸上的截距存在且不為零”這一條件直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式一般式常化為斜截式與截距式若一般式化為點斜式，兩點式，由于取點不同，得到的方程也不同要點三：兩條直線的位置關系1特殊情況下的兩直線平行與垂直 (1)當兩條直線的斜率都不存在時，兩直線的傾斜角都為，互相平行；(2)當一條直線的斜率不存在（傾斜角為），另一條直線的傾斜角為時，兩直線互相垂直。2斜率都存在時兩直線的

5、平行：（1）已知直線和，則=且（2）已知直線：和：，則 。要點詮釋：對于一般式方程表示的直線的位置的判定，可以先將方程轉化為斜截式形式，再作判定。3斜率都存在時兩直線的垂直：（1）已知直線和，則 ；（2）已知直線：和：，則要點四：點到直線的距離公式1點到直線距離公式：點到直線的距離為：2兩平行線間的距離公式 已知兩條平行直線和的一般式方程為：，：，則與的距離為。要點詮釋：一般在其中一條直線上隨意地取一點M，再求出點M到另一條直線的距離即可要點五：對稱問題1點關于點成中心對稱點關于點成中心對稱的對稱中心恰是這兩點為端點的線段的中點，因此中心對稱的問題是線段中點坐標公式的應用問題。設，對稱中心為，

6、則P關于A的對稱點為。2點關于直線成軸對稱由軸對稱定義知，對稱軸即為兩對稱點連線的“垂直平分線”。利用“垂直”“平分”這兩個條件建立方程組，就可求出對稱點的坐標，一般情形如下：設點關于直線的對稱點為，則有，求出、。特殊地，點關于直線的對稱點為；點關于直線的對稱點為。3兩點關于點對稱、兩點關于直線對稱的常見結論：（1）點關于x軸的對稱點為；（2）點關于y軸的對稱點為；（3）點關于原點的對稱點為；（4）點關于直線的對稱點為；（5）點關于直線的對稱點為。 【典型例題】類型一：直線的傾斜角與斜率例1已知兩點A（1，2），B（m，3）（1）求直線AB的方程；（2）已知實數，求直線AB的傾斜角的取值范圍【

7、思路點撥】（1）當m=1時，直線AB的方程為x=1，當m1時，利用點斜式即可得出；（2）當m=1時，；當m1時，可得，即可得出【答案】（1）x=1或；（2）【解析】（1）當m=1時，直線AB的方程為x=1，當m1時，直線AB的方程為（2）當m=1時，；當m1時，綜合知，直線AB的傾斜角【總結升華】本題要求正確理解直線傾斜角的概念以及傾斜角與斜率的關系【舉一反三】【變式】已知直線l：ay=(3a1)x1（1）求證：無論a為何值，直線l總過第三象限；（2）a取何值時，直線l不過第二象限？【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）證明：由直線l：ay=(3a1)x1，得a(3xy)+(x1)=0，由

8、，得，所以直線l過定點（1，3），因此直線總過第三象限（2）直線l不過第二象限，應有斜率滿足： 時直線l不過第二象限類型二：兩直線的位置關系例2四邊形的頂點為，試判斷四邊形的形狀【思路點撥】證明一個四邊形為矩形，我們往往先證明這個四邊形為平行四邊形，然后再證明平行四邊形的一個角為直角【解析】邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率，即四邊形為平行四邊形又，即四邊形為矩形【總結升華】證明不重和的的兩直線平行，只需要他們的斜率相等，證明垂直，只需要他們斜率的乘積為1【舉一反三】【變式1】已知兩直線l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my1=0，（1）若l1與l2交于

9、點P（m，1），求m，n的值；（2）若l1l2，試確定m，n需要滿足的條件；（3）若l1l2，試確定m，n需要滿足的條件【答案】（1）m=1，n=7；（2）m=4，n2；或m=4，n2；（3）m=0，nR【解析】（1）將點P（m，1）代入兩直線方程得：m28+n=0和2mm1=0，解得m=1，n=7（2）由l1l2得：，或，所以當m=4，n2；或m=4，n2時，l1l2（3）當m=0時直線和，此時l1l2，當m0時此時兩直線的斜率之積等于，顯然l1與l2不符，所以當m=0，nR時直線l1和l2垂直類型三：直線的方程例3過點P(2，1)作直線與x軸、y軸正半軸交于A、B兩點，求AOB面積的最小值

10、及此時直線的方程【思路點撥】因直線已經過定點P(2，1)，只缺斜率，可先設出直線的點斜式方程，且易知k0，再用k表示A、B點坐標，結合函數及不等式知識求解【解析】解法一：設直線的方程為：y1=k(x2)，令y=0，得：；令x=0，得y=12k，與x軸、y軸的交點均在正半軸上，>0且12k0故k0，AOB的面積當且僅當，即時，S取最小值4，故所求方程為，即：x+2y4=0解法二：設直線方程為，A(a，0)，B(0，b)，且a0，b0，點P(2，1)在直線上，故，由均值不等式:1=得ab8，當且僅當，即a=4，b=2時取等號，且，此時方程為即：x+2y4=0解法三：如圖，過P(2，1)作x軸

11、與y軸的垂線PM、PN，垂足分別為M、N，設=PAM=BPN，則AOB面積S=S矩形OMPN+SPAM+SBPN，當且僅當，即時，SAOB有最小值4，故此時直線的方程為，即：x+2y4=0【總結升華】解法一與解法二選取了直線方程的不同形式，解法三考慮到圖形的直觀性，利用了形數結合的思想，體現了解題的“靈活性” 已知直線過一點時，常設其點斜式方程，但需注意斜率不存在的直線不能用點斜式表示，從而使用點斜式或斜截式方程時，要考慮斜率不存在的情況，以免丟解 而直線在坐標軸上的截距，可正、可負，也可以為零，不能與距離混為一談，注意如何由直線方程求其在坐標軸上的截距【舉一反三】【變式1】已知點P（2，1）

12、（1）直線m經過點P，且在兩坐標軸上的截距相等求直線m的方程；（2）直線n經過點P，且坐標原點到該直線的距離為2，求直線n的方程【思路點撥】（1）當橫截距a=0時，縱截距b=0，此時直線過點（0，0），P（2，1）；當橫截距a0時，縱截距b=a，此時直線方程設為x+y=a，把P（2，1）代入，得a=1由此能求出過點P（2，1）且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程（2）分類討論，利用點到直線的距離公式，即可求直線n的方程【答案】（1）或x+y1=0；（2）x=2或3x4y10=0【解析】（1）當橫截距a=0時，縱截距b=0，此時直線過點（0，0），P（2，1），直線方程為；當橫截距a0時，縱截距b

13、=a，此時直線方程設為x+y=a，把P（2，1）代入，得a=1，所求的直線方程為：x+y1=0綜上：過點P（2，1）且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為或x+y1=0（2）直線n的方程為x=2時，滿足題意；直線的斜率存在時，設直線方程為y+1=k(x2)，即kxy2k1=0，坐標原點到該直線的距離為，方程為3x4y10=0，綜上，直線n的方程為x=2或3x4y10=0類型三：對稱問題例4已知直線l經過直線3x+4y2=0與直線2x+y+2=0的交點P，且垂直于直線x2y1=0（1）求直線l的方程；（2）求直線l關于原點O對稱的直線方程【思路點撥】（1）聯立方程，求出點P的坐標，利用所求直線l與

14、x2y1=0垂直，可設直線l的方程為2x+y+C=0，代入P的坐標，可求直線l的方程； （2）求出直線l的方程2x+y+2=0在x軸、y軸上的截距，可得直線l關于原點對稱的直線在x軸、y軸上的截距，從而可求直線l關于原點O對稱的直線方程【答案】（1）2x+y+2=0；（2）2x+y2=0【解析】（1）由，解得，點P的坐標是（2，2），所求直線l與x2y1=0垂直，可設直線l的方程為2x+y+C=0把點P的坐標代入得2×(2)+2+C=0，即C=2所求直線l的方程為2x+y+2=0（2）又直線l的方程2x+y+2=0在x軸、y軸上的截距分別是1與2則直線l關于原點對稱的直線在x軸、y軸

15、上的截距分別是1與2，所求直線方程為2x+y2=0【總結升華】1對稱問題是高考的熱點之一，一般包括點關于點對稱，直線關于點對稱，點關于直線對稱，直線關于直線對稱，要掌握通解通法和記憶一些常用結論2 求一條直線關于已知直線的對稱直線，基本方法之一在直線上任取兩點求其對稱點，方法之二是利用相關點伴隨曲線方法解決，其中方法2還可以推廣，如改變直線為二次曲線C，仍可用此方法解決【舉一反三】【變式】已知平面內兩點A（8，6），B（2，2）（1）求AB的中垂線方程；（2）求過P（2，3）點且與直線AB平行的直線l的方程；（3）一束光線從B點射向（2）中的直線l，若反射光線過點A，求反射光線所在的直線方程【

16、答案】（1）3x4y23=0；（2）4x+3y+1=0；（3）11x+27y+74=0【解析】（1），AB的中點坐標為（5，2），AB的中垂線斜率為由點斜式可得AB的中垂線方程為3x4y23=0（2）由點斜式直線l的方程4x+3y+1=0（3）設B（2，2），關于直線l的對稱點B（m，n），解得，由點斜式可得，整理得11x+27y+74=0反射光線所在的直線方程為11x+27y+74=0類型五：綜合應用例5已知直線（1）若直線的斜率小于2，求實數m的取值范圍；（2）若直線分別與x軸、y軸的正半軸交于A、B兩點，O是坐標原點，求AOB面積的最大值及此時直線的方程【思路點撥】（1）利用斜率計算公式即可得出；（2）求出與坐標軸的交點坐標，利用三角形的面積計算公式和二次函數的單調性即可得出【答案】（1）m0或m4且m4；（2）S有最大值2，直線l的方程為x+y2=0【解析】（1）直線l過點（m，0），（0，4m），則，解得m0或m4且m4實數m的取值范圍是m0或m4且m4；（2）由m0，4m0得0m4，則，則m=2