1、四、定積分的求法定積分的性質分部積分法式中變量替換法 設函數在區間上有連續的導數，同時函數在區間上連續，并且從單調地變到，則利用函數奇偶性求積法若為偶函數，則若為奇函數，則利用積分對參數求導法設f(x,t)在有界區域上連續，并且存在連續偏導數，則當時，有例計算積分解設則.因所以.定積分表定 積 分定 積 分 值定 積 分定 積 分 值表中定 積 分定 積 分 值為正整數,a>0)定 積 分定 積 分 值 (n為正整數) (歐拉常數，下同)定 積 分定 積 分 值五、廣義積分. 廣義積分的概念無窮限廣義積分設函數f(x)在a,b上可積，u>a,<b,u>,當下列各式右邊的

2、極限存在時，這時稱無窮限廣義積分收斂，否則稱為發散.無界函數的廣義積分 設函數f(x)在給定區間a,b上只有一個瑕點x=c,即函數f(x)在x=c點的鄰域內無界，而在a,c-及c+',b上可積，'為任意小的正數，當和'獨立地趨于零，極限 (1)存在時，則用上式定義無界函數f(x)從a到b的瑕積分，記作柯西主值 有時極限（1）不存在，但如果設'=0，這個極限（1）存在，就稱它為瑕積分的主值，記作這時稱無界函數廣義積分在主值意義下收斂，否則稱為發散.絕對收斂與條件收斂 如果f(x)的廣義積分與|f(x)|的廣義積分同時收斂，那末稱f(x)的廣義積分是絕對收斂, f(

3、x)稱為絕對可積；如果僅前者收斂，后者不收斂，那末稱f(x)的廣義積分是條件收斂.2. 廣義積分收斂判別法1°收斂的充分必要條件是：對任意給定的>0,都存在N=N()>0,只要,就有|<.2°設f(x)是非負的，則收斂的充分必要條件是：F(u)=是有界函數.3°設當x時，f(x)=.若p>1,則收斂；若p1,則發散.4°若收斂，g(x)單調有界(xa),則收斂.5°設f(x)0,g(x)0,且f(x)cg(x)(xa,c是一個大于零的常數）.若收斂，則也收斂；若發散，則也發散.6°無窮級數與廣義積分的關系：設f

4、(x)是定義在區間a,)上的一個正的非增連續函數，則級數f(a)+f(a+1)+··+f(a+k)+··與積分同時收斂或同時發散.7°廣義積分（以a為瑕點）收斂的充分必要條件是：對任意給定的>0,都存在(a<<b),使當a<u'<u''<時|<.8°設g(x）有連續的導數，并是恒正的、單調下降的函數，且.若有常數M,使對一切u>a,都有|<M,則廣義積分收斂.六、含參數積分1. 含參數常義積分連續性 若二元函數f(x,y)在有界區域R(axA,byB)上有定

5、義且連續，則是閉區間b,B上的連續函數.積分號下的微分法 若f(x,y)在有界區域R(axA,byB)上連續，并且存在連續偏導數(x,y)，則當b<y<B時，一般情況下，當積分限為參數y的可微函數和, 且當byB， aA,aA時， (1)積分的求導運算 以下公式為(1)的特殊情況.積分號下的積分法若函數在有界區域axA,byB上連續，則2 . 含參數廣義積分一致收斂性 設函數f(x,y)是定義在區域R(ax<, y1<y<y2)上的連續函數，若對任意給定的>0，都存在只與有關的正數B=B(),使得當bB時，對區間(y1，y2)內一切y不等式都成立，則稱廣義積

6、分在區間(y1，y2)內一致收斂，并且在該區間內是參數y的連續函數.一致收斂判別法1°柯西判別積分在區間(y1，y2)內一致收斂的充分必要條件是：對任意>0，都存在正數B=B(),使得當b'>B,b''>B時，對區間(y1，y2)內的一切y,都有2°外爾斯特拉斯判別法 設函數f(x,y)(x的函數)在任一有限區間a,A上可積，若存在與參數y無關的函數F(x)，它在區間a,)上可積，并且對于區間(y1，y2)內的一切y |f(x,y)|F(x)(xa)則積分在區間(y1，y2)內一致收斂.對參數的微分法 若(i)函數f(x,y)在區域

7、R(ax<, y1<y<y2)內連續，并對參數y可微，(ii)積分收斂，(iii)積分在區間(y1，y2)內一致收斂,則當y1<y<y2時，對參數的積分法 若函數f(x,y)在區域R(ax<, y1<y<y2)內連續，并且在區間(y1，y2)內一致收斂，則七、斯蒂爾吉斯積分定義 設在區間a,b上給定兩個有界函數f(x)和g(x).用任意方法把區間a,b分成若干部分，其分點為a=x0<x1<x2<< xi<xi+1<<xn=b并設是xi=xi+1-xi(t=0,1,n1)中最大的.在每個小區間上任取一點,作

8、和=當0時，如果極限存在，那末這個極限稱為函數f(x)對函數g(x)的斯蒂爾吉斯積分，記作特別是，當函數g(x)在區間上連續可微時，函數f(x)對g(x)的斯蒂爾吉斯積分就是通常的黎曼積分可積性1°若函數f(x)連續，函數g(x)有有界變差，則積分（1）存在.2°若函數f(x)在區間a,b上黎曼可積，函數g(x)滿足李普希茨條件：|g(x')-g(x'')|L(x'x'')(L為常數，ax''<x'b)則積分(1)存在.3°若函數f(x)在區間a,b上黎曼可積，函數g(x)可表示成g(x

9、)=C+式中C為常數，函數在區間a,b上絕對可積，則積分(1)存在.積分法則與不等式1°積分法則(k,l為常數)(a<c<b,三個積分都存在，當上式右邊兩個積分存在時，一 般不能推出積分存在）(分部積分公式)2°若g(x)在區間a,b上為一非減函數，則3°若g(x)在區間a,b上為一非減函數，則f(x)F(x),則八、積分的近似計算1.內插求積公式等距內插求積一般公式（柯斯特公式）(ba)式中為等距節點：=a+khk=0,1,2,n為柯特斯系數（見下表）.柯特斯系數表kn01234567891012345678910當區間a,b愈小，柯特斯公式所給出的

10、結果愈精確.因此，當區間a,b較大時，為了避免采用n值較大的柯特斯公式，常把a,bN等分，對其中各個等份應用n值較小的柯特斯公式求積，然后再把各個等份的積分值相加，即得到區間a,b上的積分值，如下述的梯形公式(n=1)和辛卜生公式(n=2).梯形公式=a+kh, k=1,2,N1 若M2,則截斷誤差為辛卜生公式=a+k, 若,則截斷誤差為龍貝公式 設 =則一般地，可適當選取m,使之固定，再增大k,使近似截斷誤差在允許誤差范圍內即可，這時具體計算過程可按下表自左而右，自上而下進行（表中箭頭方向表示計算順序）.k區間等分數01122438416532664例用龍貝公式計算積分誤差不超過0.0000

11、001.解這里,a=0,b=1.可按五步進行計算，結果如下：(1) (2) (3)(4)(5) 可以繼續算出3.140941614 3.1415926553.141592665 3.141592643因為 |-|=|3.1415926433.141592665|<0.0000001所以3.14159264而準確值為在等距內插求積公式中，以辛卜生公式和龍貝公式為好，計算簡單，便于在電子計算機上實現(都有標準程序)，精確度也相當高.特別龍貝公式是采用區間逐次分半的方法,前一次分割得到的函數值在區間分半后仍可利用，具有計算有規律，不需存儲柯特斯系數和節點等優點.但等距內插求積公式不能計算廣義積

12、分.廣義積分只能用下面的高斯型求積公式來計算.不等距內插求積公式（高斯型求積公式）高斯型求積公式為n=1,2,式中(a,b)區間可以是有限或無限，w(x)為(a,b)區間內的非負權函數.a<<<<b為求積節點（相應的正交多項式的根），(k=1,2,n)為求積系數.f(x)為不超過2n1次的多項式時，上述求積公式(1)成為等式.下面列出幾種特例.1°(1<<1)式中為勒讓德多項式(見第十二章，§2，一）的根.2°(1<<1)式中為第一類契貝謝夫多項式(見第十二章，§2，二）的根.它也可表為3°(1&

13、lt;<1)式中為第二類契貝謝夫多項式(見第十二章，§2，三）的根.4°(1<<1)5°2.高斯型求積公式的求積節點和求積系數表高斯求積公式式中為勒讓德多項式的根.n求積節點求積系數20.57735 026921300.77459666920.88888888890.555555555640.33998104360.86113631160.65214515490.3478548451500.53846931010.90617984590.56888888890.47862867050.236926885160.23861918610.661209

14、38650.93246951420.46791393460.36076157310.1713244924700.40584515140.74153118560.94910791230.41795918370.38183005050.27970539150.12948496628052553240990.79666647740.96028985650.36268378340.31370664590.22238103450.1012285363n求積節點求積系數900.32425342340.61337143270.83603110730.96816023950.3302

15、3935500.31234707700.26061069640081274388410043339539410.67940956830.86506336670.97390652850.29552422470.26926671930.219086362500666713443勒貝陶求積公式式中為的根.n求積節點求積系數3100.33333 3331.33333 333410.44721 3600.166666670.83333333510.6546536700.100000000.544444440.711111116

16、10.765055320.285231520.066666670.378474960.55485838710.830223900.4688487900.047619040.276826040.431745380.48761904810.871740150.591700180.209299220.035714280.21070 4220.34112 2700.41245 880910.871740150.67718627950.363117463800.02777777780.16549536160.27453871260.34642851100.37151927441010.919533908

17、20.73877386510.47792494980.16527895770.0222222222022488934200.29204268360.3275397612拉蓋爾求積公式式中為拉蓋爾多項式（見第十二章，§2，四）的根.n求積節點求積系數20.58578643763.4142135624(-1)8.5355339059*(-1)1.46446609411.53332603314.450957335130.41577455682.29428036036.2899450829(-1)7.1109300993(-1)2.7851773357(-1)1.0

18、3892565021.07769285932.76214296195.601094625440.32254768961.74576110124.53662029699.3950709123(-1)6.0315410434(-1)3.5741869244(-2)3.8887908515(-4)5.39294705560.83273912382.04810243853.63114630586.487145084450.26356031971.41340305913.59642 577107.085810005912.6408008443(-1)5.2175561058(-1)3.986668110

19、8(-2)7.5942449582(-3)3.6117586799(-5)2.33699723860.67909404221.63848787362.76944324244.31565690097.219186354460.2228466042199273632615.77514356919.837467418415.9828739806(-1) 4.5896467395(-1)4.1700083077(-1)1.1337338207(-2)1.0399197453(-4)2.6101720282(-7)8.98547906430.57353550741.369252

20、59072.26068459343.35052458244.88682680027.849015945670.19304367661.02666489532.56787674504.90035308458.182153444612.734180291819.3957278623(-1)4.0931895170(-1)4.2183127786(-1)1.4712634866(-2)2.0633514469(-3)1.0740101433(-5)1.5865464349(-8)34964775975191824978172.77184863623

21、.84124912255.38067820798.40543248688090370177682.25108662994.26670017037.045605402410.758516010215.740678641322.8631317369(-1)3.6918858934(-1)4.1878678081(-1)1.7579498664(-2)3.3343492261(-3)2.7945362352(-5)9.0765087734(-7)8.4857467163(-9)1.04800117490.43772341051.03386934771.66970976572

22、.37692470183.20854091344.26857551085.81808336878.90622621539080722002272.00513515563.78347397336.20495677799.372985251713.466236911118.833597789026.3740718909(-1)3.3612642180(-1)4.1121398042(-1)1.9928752537(-2)4.7460562766(-3)5.5996266108(-4)3.0524976709(-6)6.5921230261(-8)4.1107693304(

23、-11)3.29087403040.39143112430.92180502851.48012790992.08677080762.77292138973.59162606814.64876600216.21227541989.3632182377*表示數，其他類同，.埃爾米特求積公式式中為埃爾米特多項式（見第十二章，§2，五）的根.n求積節點求積系數20.70710 67812(-1)8.8622692545*1.46114118273 01.22474 48714(0)1.1816359006(-1)2.95408975151323931175240.52464762331.6506801239(-1)8.0491409001(-2)805996448291.2402258177500.95857246462.0201828705(-1)9.4530872048(-1)3.9361932315(-2)1.99532420590.94530 872050.98658 099681.18148 8625560.43607741191.33584907402.3506049737(-1)7