1、第十七屆華羅庚金杯少年數學邀請賽決賽筆試試題A（小學高年級組）（時間: 2012年4月21日10:0011:30）一、填空題（每小題 10分, 共80分）1. 算式 的值為 .2. 箱子里已有若干個紅球和黑球, 放入一些黑球后, 紅球占全部球數的四分之一；再放入一些紅球后, 紅球的數量是黑球的三分之二. 若放入的黑球和紅球數量相同, 則原來箱子里的紅球與黑球數量之比為 .3. 有兩個體積之比為5:8的圓柱, 它們的側面的展開圖為相同的長方形, 如果把該長方形的長和寬同時增加6, 其面積增加了114. 那么這個長方形的面積為 .4. 甲、乙兩個糧庫原來各存有整袋的糧食, 如果從甲糧庫調90袋到乙

2、糧庫, 則乙糧庫存糧的袋數是甲糧庫的2倍如果從乙糧庫調若干袋到甲糧庫, 則甲糧庫存糧的袋數是乙糧庫的6倍那么甲糧庫原來最少存有 袋的糧食.5. 現有211名同學和四種不同的巧克力, 每種巧克力的數量都超過633顆. 規定每名同學最多拿三顆巧克力, 也可以不拿. 若按照所拿巧克力的種類和數量都是否相同分組, 則人數最多的一組至少有 名同學.6. 張兵1953年出生，在今年之前的某一年, 他的年齡是9的倍數并且是這一年的各位數字之和，那么這一年他 歲.7. 右圖是一個五棱柱的平面展開圖, 圖中的正方形邊長都為2. 按圖所示數據, 這個五棱柱的體積等于 . 8. 在乘法算式中, 漢字代表非零數字,

3、不同漢字代表不同的數字, 那么所代表的四位數最小是 .二、解答下列各題（每題10分, 共40分, 要求寫出簡要過程）9. 如右圖, ABCD 是平行四邊形, E為AB延長線上一點, K為AD延長線上一點.連接BK, DE相交于一點O. 問: 四邊形ABOD與四邊形ECKO的面積是否相等? 請說明理由.10. 能否用500個右圖所示的的小長方形拼成一個的大長方形, 使得的長方形的每一行、每一列都有偶數個星? 請說明理由. 11. 將一個2n位數的前位數和后位數各當成一個位數, 如果這兩個位數之和的平方正好等于這個2n位數, 則稱這個2n位數為卡布列克 (Kabulek) 怪數，例如，, 所以30

4、25是一個卡布列克怪數. 請問在四位數中有哪些卡布列克怪數?12. 已知98個互不相同的質數, 記 , 問: N被3除的余數是多少？三、解答下列各題（每小題 15分，共30分，要求寫出詳細過程）13. 小李和小張在一個圓形跑道上勻速跑步, 兩人同時同地出發, 小李順時針跑,每72秒跑一圈; 小張逆時針跑, 每80秒跑一圈. 在跑道上劃定以起點為中心的圓弧區間, 那么兩人同時在劃定的區間內所持續的時間為多少秒?14. 把一個棱長均為整數的長方體的表面都涂上紅色, 然后切割成棱長為1的小立方塊, 其中, 兩面有紅色的小立方塊有40塊, 一面有紅色的小立方塊有66塊, 那么這個長方體的體積是多少?第

5、十七屆華羅庚金杯少年數學邀請賽決賽筆試試題A參考答案（小學高年級組）一、填空（每題 10 分, 共80分）題號12345678答案9.31:24015371874396二、解答下列各題（每題 10 分, 共40分, 要求寫出簡要過程） 9. 答案：是. 解答. 連接AC. 則所以 .因此 即四邊形ABOD的面積=四邊形ECKO的面積.10. 答案：能解答. 首先構造的長方形如下:然后用50個的即可拼成的長方形. 11. 答案：2025, 3025, 9801. 解答. 設一個四位卡布列克怪數為 , 其中. 則由題意知 , 兩邊模99得, 因此 , 故與中有一個能被9整除, 也有一個能被11整除

6、（可能是同一個數）, 且有，即. （*）若能被99整除，由（*）知只能是99，滿足條件的四位數是9801；若1能被99整除，由（*）, 顯然沒有滿足條件的四位數；此外，可設9m，111n，則有9m-11n=1, 由（*）, m和n均為小于12的正整數，故得到m5，n4， 只能是45，滿足條件的四位數是2025；反之，可設19m，11n，滿足條件的四位數是3025.故四位數中有三個卡布列克怪數, 它們分別為2025, 3025和9801.12. 答案：1或2解答. 對于質數3, 被3整除. 其余的質數, 要么是型的數, 要么是型的數. 由于被3除余1, 且, 被3除也余1. 因此有（1）若這98

7、個質數包含3時, N被3除的余數等于97被3除的余數, 等于1.（2）若這98個質數不包含3時, N被3除的余數等于98被3除的余數, 等于2.三、解答下列各題（每題 15 分, 共30分, 要求寫出詳細過程） 13. 答案：解答. 設起跑時間為0秒時刻, 則小李和小張在劃定區間跑的時間段分別為, , ,和, , .其中 a, b 表示第a秒時刻至第b秒時刻. 顯然 即前9秒里兩類時間段的公共部分. 此外, 考慮和的公共區間, 為正整數, 分兩種情況:1) , 即小李和小張分別跑了圈和圈同時回到起點, 他們二人同時在劃定區域跑了18秒.2) , 例如 .兩人同時在劃定區域內跑了. 由知, . 于是兩人同時在劃定區域內跑持續時間為11秒或3秒. 其它情況類似可得同樣結果.綜上, 答案為.14. 答案: 150解答. 設立方體的長, 寬, 高分別為, 其中, 且為整數. 注意, 兩面有紅色的小立方塊只能在長方體的棱上出現.如果, 則沒有兩面為紅色的立方塊, 不符合題意. 如果, 則沒有只有一面為紅色的立方塊, 不符合題意. 因此. 此時兩面出現紅色的方塊只能與長方體的棱共棱. 一面出現紅色的方塊只與立方體的面共面. 有下面的式子成立, （1）. （2）由（1）得到, （3）由（2）得到. （4）由（3）和（4）可得，這樣 . 由（4）得到. （5）若,