1、第3課時復數代數形式的乘除運算1.理解復數的代數形式的四則運算,并能用運算律進行復數的四則運算.2.能根據所給運算的形式選擇恰當的方法進行復數的四則運算.重點:正確進行復數的四則混合運算.難點:采用適當的方法提高運算速度與準確度.兩個多項式可以進行乘除法運算,例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd;對于兩個復數a+bi,c+di(a,b,c,dR),能像多項式一樣進行乘除法運算嗎?問題1:結合多項式乘法運算的特點,說明復數乘法運算有哪些特點?(1)復數的乘法與多項式的乘法類似,只是在運算過程中把i2換成-1,然后實部、虛部分別合并; (2)兩個復數的積仍是一個復數;(3)復

2、數的乘法與實數的乘法一樣,滿足交換律、結合律及分配律;(4)在復數范圍內,實數范圍內正整數指數冪的運算律仍然成立.問題2:什么是共軛復數?一般地,當兩個復數的實部相等,虛部互為相反數時,這兩個復數叫作互為共軛復數. 問題3:怎樣進行復數除法運算?復數的除法首先是寫成分數的形式,再利用兩個互為共軛復數的積是一個實數,將分母化為實數,從而化成一個具體的復數.問題4:復數的四種基本運算法則(1)加法:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; (2)減法:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; (3)乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-b

3、d)+(ad+bc)i; (4)除法:(a+bi)÷(c+di)= +i(c+di0). 高斯在1831年,用實數組(a,b)代表復數a+bi,并建立了復數的某些運算,使得復數的某些運算也像實數一樣地“代數化”.他又在1832年第一次提出了“復數”這個名詞,還將表示平面上同一點的兩種不同方法直角坐標法和極坐標法加以綜合,統一于表示同一復數的代數式和三角式兩種形式中,并把“數軸上的點與實數一一對應”擴展為“平面上的點與復數一一對應”.高斯不僅把復數看作平面上的點,還看作是一種向量,并利用復數與向量之間一一對應的關系,闡述了復數的幾何加法與乘法.至此,復數理

4、論才比較完整和系統地建立起來了.1.i是虛數單位,復數z=的虛部是().A.0B.-1C.1D.2【解析】z=-i,虛部為-1,故選B.【答案】B2.復數z1=3+i,z2=1-i,則z=z1·z2在復平面內的對應點位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】z=z1·z2=(3+i)(1-i)=4-2i.【答案】D3.已知復數z與(z+2)2-8i均是純虛數,則z=. 【解析】設z=bi(bR),則(z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i,依題意得解得b=-2.所以z=-2i.【答案】-2i4.設復數z滿足i(z+

5、1)=-3+2i(i為虛數單位),試求z的實部.【解析】(法一)i(z+1)=-3+2i,z=-1=-(-3i-2)-1=1+3i,故z的實部是1.(法二)令z=a+bi(a、bR),由i(z+1)=-3+2i,得i(a+1)+bi=-3+2i,-b+(a+1)i=-3+2i,a+1=2,a=1.故z的實部是1.復數代數形式的乘法運算計算:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i);(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)(4)(1-i)3.【方法指導】利用復數代數形式的加減法和乘法的運算法則進行計算,注意i的性質.【解析】(

6、1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i.(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(-2+11i+5)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i.(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=(24-8i-6i+2i2)+(28-21i-4i+3i2)=47-39i.(4)(1-i)3=13-3×12×i+3×1×i2-i3=1

7、-3i-3-(-i)=-2-2i.【小結】三個或三個以上的復數相乘可按從左到右的順序運算或利用結合律運算,混合運算與實數的運算順序一樣,對于能夠使用乘法公式計算的兩個復數的乘法,用乘法公式更簡捷,如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等.復數代數形式的除法運算計算:(1)(1+2i)÷(3-4i);(2);(3)(+i)4+.【方法指導】(1)寫成分式的形式,再分母實數化.(2)分子、分母按復數的乘法先分別展開化簡,或分解因式,再做除法.(3)先展開,后化簡.【解析】(1)(1+2i)÷(3-4i)=-+i.(2)(法一)原式=1.(法二)原式=1.(3)原式=(+i)22

8、+=(-+i)2-=-i+i-=(-)+(-)i.【小結】進行復數的運算,除了應用四則運算法則之外,對于一些簡單算式要知道其結果,這樣可方便計算,簡化運算過程,比如=-i,(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=i,=-i,a+bi=i(b-ai),=i,等等.運算方法要靈活,有時要巧妙運用相應實數系中的乘法公式,比如第(2)題中的解法一.復數四則運算的綜合應用已知|z|2+(z+)i= (i為虛數單位),試求滿足條件的z.【方法指導】本題可設z=x+yi(x,yR),然后代入給定的方程,利用復數相等的充要條件列方程組解x,y,從而得出復數方程的解z.【解析】原方程化簡為|z|2+(z+)

9、i=1-i,設z=x+yi(x,yR),代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,原方程的解為z=-±i.【小結】對于此類復數方程我們一般是設出復數的代數形式z=x+yi(x,yR),然后將其代入給定方程,利用復數四則運算將其整理,然后利用復數相等的充要條件來求解.計算:(1)(1-i)2;(2)(-+i)(+i)(1+i).【解析】(1)(1-i)2=1-2i+i2=-2i.(2)(-+i)(+i)(1+i)=(-)+(-)i(1+i)=(-+i)(1+i)=(-)+(-)i=-+i.計算:(1);(2)+.【解析】(1)=1-i.(2)+=+=i-i=0.若關于x 的方程x2+(

10、t2+3t+tx)i=0有純虛數根,求實數t的值和該方程的根.【解析】設x=ai(aR且a0)是方程x2+(t2+3t+tx)i=0的一個純虛根,將其代入方程可得(ai)2+(t2+3t+t·ai)i=0,-a2-at+(t2+3t)i=0,由復數相等的充要條件可得故t=-3,方程的兩個根為0或3i.1.復數z=(i為虛數單位),則|z|等于().A.25B.C.5D.【解析】z=-4-3i,所以|z|=5.【答案】C2.i是虛數單位,則復數+(1+2i)2等于().A.-2-5iB.5-2iC.5+2iD.-2+5i【解析】+(1+2i)2=+4i-3=5i-2.【答案】D3.若復

11、數z滿足z(1+i)=2,則復數z=. 【解析】z=1-i.【答案】1-i4.計算:+()2022.【解析】原式=+(-i)2022=-i-1.(2022年·山東卷)已知a,bR,i是虛數單位.若a-i與2+bi互為共軛復數,則(a+bi)2=().A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i【解析】先由共軛復數的條件求出a,b的值,再求(a+bi)2的值.由題意知a-i=2-bi,a=2,b=1,(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.【答案】D    1.設z=+i,則|z|=().A.B.C.D.2【解析】先化簡,再求|z|

12、.z=+i=+i=+i,|z|=.【答案】B2.復數z=i(-2-i)(i為虛數單位)在復平面內所對應的點在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】z=-2i-i2=1-2i,對應復平面內的點為(1,-2),在第四象限.【答案】D3.復數=. 【解析】=.【答案】4.規定運算=ad-bc,若=1-2i,i為虛數單位,求復數z.【解析】=2z-1=1-2iz=1-i.5.復數=a+bi(i是虛數單位,a、bR),則().A.a=1,b=1B.a=-1,b=-1C.a=-1,b=1D.a=1,b=-1【解析】=-1+i,則a=-1,b=1.【答案】C6.已知復數z=,則+等于().A.0B.1C.-1D.2【解析】z=-1,所以+=1-1=0.【答案】A7.復數=. 【解析】=-1=-1=-1+i.【答案】-1+i8.設x、y為實數,且+=,求x-y的值.【解析】由+=知(1+i) +(1+2i)=(1+3i),即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i),即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0<故解得x-y=