1、第第6章章 開放式光腔開放式光腔6.2 諧振腔衍射理論諧振腔衍射理論一、理想開腔模型一、理想開腔模型-孔闌傳輸線孔闌傳輸線 理想開腔模型：理想開腔模型：兩塊反射鏡片（平面或曲面）沉浸兩塊反射鏡片（平面或曲面）沉浸在均勻、無限、各向同性的介質(zhì)中。在均勻、無限、各向同性的介質(zhì)中。u為反射鏡上的場分布qq 1uuu不考慮幾何偏折損耗情況下（穩(wěn)定），由于反射鏡的有限大不考慮幾何偏折損耗情況下（穩(wěn)定），由于反射鏡的有限大小導(dǎo)致的小導(dǎo)致的衍射損耗將決定開腔中激光振蕩能量的空間分布。衍射損耗將決定開腔中激光振蕩能量的空間分布。第第6章章 開放式光腔開放式光腔6.2 諧振腔衍射理論諧振腔衍射理論孔闌傳輸線孔闌

2、傳輸線幅度、相位及空幅度、相位及空間相干性的衍化間相干性的衍化第第6章章 開放式光腔開放式光腔6.2 諧振腔衍射理論諧振腔衍射理論 由于反射鏡邊緣處衍射發(fā)生損耗，改變由于反射鏡邊緣處衍射發(fā)生損耗，改變uq+1的的分布分布, ,經(jīng)過足夠多次經(jīng)過足夠多次渡越渡越，形成這樣一種場分布，形成這樣一種場分布，渡越時(shí)分布情況不再受衍射影響，只有整體按同樣渡越時(shí)分布情況不再受衍射影響，只有整體按同樣比例衰減。比例衰減。開腔的自再現(xiàn)模開腔的自再現(xiàn)模 或或 橫模橫模注意注意a.a.初始入射波的形狀不影響自再現(xiàn)模的形成；初始入射波的形狀不影響自再現(xiàn)模的形成；b.b.不同初始入射波可能導(dǎo)致不同自再現(xiàn)模不同初始入射波

3、可能導(dǎo)致不同自再現(xiàn)模- -橫模的形成。橫模的形成。第第6章章 開放式光腔開放式光腔6.2 諧振腔衍射理論諧振腔衍射理論、特點(diǎn)、特點(diǎn)(1)(1)鏡面上各點(diǎn)的場振幅按相同比例衰減；鏡面上各點(diǎn)的場振幅按相同比例衰減；(2)(2)鏡面上各點(diǎn)的場相位發(fā)生相同的滯后。鏡面上各點(diǎn)的場相位發(fā)生相同的滯后。二、自再現(xiàn)模二、自再現(xiàn)模、概念、概念 光在腔內(nèi)往返傳播后，可以再現(xiàn)的一種穩(wěn)定光在腔內(nèi)往返傳播后，可以再現(xiàn)的一種穩(wěn)定橫向光場分布。橫向光場分布。第第6章章 開放式光腔開放式光腔6.2 諧振腔衍射理論諧振腔衍射理論三、菲涅耳三、菲涅耳-基爾霍夫衍射積分基爾霍夫衍射積分sdeyxuikyxuikscos1,4,S

4、S曲面上光場分布函數(shù)曲面上光場分布函數(shù)各子波源發(fā)各子波源發(fā)出的球面波出的球面波 u(x,y) 可看作可看作S S曲面上各子波源發(fā)出的非均勻球面波的疊加曲面上各子波源發(fā)出的非均勻球面波的疊加sdeyxuikyxuiksjjcos1,4,1右圖右圖左圖左圖傾斜因子傾斜因子第第6章章 開放式光腔開放式光腔6.2 諧振腔衍射理論諧振腔衍射理論6四、自再現(xiàn)模所應(yīng)滿足的積分方程四、自再現(xiàn)模所應(yīng)滿足的積分方程12111jjjjuuuu 為與坐標(biāo)無關(guān)的復(fù)常數(shù)，表示為與坐標(biāo)無關(guān)的復(fù)常數(shù)，表示自再現(xiàn)模自再現(xiàn)模在渡越一次時(shí)的幅度衰減和相位滯后。在渡越一次時(shí)的幅度衰減和相位滯后?？紤]考慮對稱開腔對稱開腔的情況的情況1

5、1,1cos4,1cos4ikjjsikjjsikeux yux ydsikeux yux yds當(dāng)當(dāng)j足夠大時(shí)足夠大時(shí)模式模式“再現(xiàn)再現(xiàn)”sdeyxuikyxuiksjjcos1,4,1第第6章章 開放式光腔開放式光腔6.2 諧振腔衍射理論諧振腔衍射理論上式上式為自再現(xiàn)模場為自再現(xiàn)模場 (x,y) 應(yīng)滿足的積分方程式，應(yīng)滿足的積分方程式，K(x,y,x,y) 稱為積分方程的核。稱為積分方程的核。 | (x,y)| 描述鏡面上場振幅的分布，描述鏡面上場振幅的分布， 輻角輻角arg (x,y)描述鏡面上的相位分布。描述鏡面上的相位分布。設(shè)設(shè) 表示開腔中不受衍射影響的穩(wěn)態(tài)場分布函數(shù)表示開腔中不受衍

6、射影響的穩(wěn)態(tài)場分布函數(shù)),(yx, ,(1cos)4,ikx y xyx yKx y xyxydsikeKx y xyx y xy 第第6章章 開放式光腔開放式光腔6.2 諧振腔衍射理論諧振腔衍射理論yxyxikeLiyxyxK,x yKx y xyxyds其中其中 適用任何對稱光學(xué)開腔（平行平面，共焦，一般球面鏡腔）適用任何對稱光學(xué)開腔（平行平面，共焦，一般球面鏡腔）本征函數(shù)本征函數(shù)本征值本征值LLyxL2cos11cos,ikx y xyix yxyedsL簡化得到簡化得到思考：為什么指數(shù)上的思考：為什么指數(shù)上的 不能做這樣的簡化？不能做這樣的簡化？, ,x y x y第第6章章 開放式光

7、腔開放式光腔6.2 諧振腔衍射理論諧振腔衍射理論1. 本征函數(shù)形式本征函數(shù)形式,mnix ymnmnx yAx y ey , xAmn鏡面上鏡面上振幅分布振幅分布y, xmn鏡面上鏡面上場的相位分布場的相位分布,mnx y鏡面上鏡面上場分布函數(shù)場分布函數(shù) (本征函數(shù)本征函數(shù) 橫模橫模)五、自再現(xiàn)模積分方程的解的物理意義五、自再現(xiàn)模積分方程的解的物理意義 對應(yīng)于本征值對應(yīng)于本征值 mnmn第第6章章 開放式光腔開放式光腔6.2 諧振腔衍射理論諧振腔衍射理論2. 本征值本征值 mn 復(fù)常數(shù)復(fù)常數(shù) d dd光場在腔中渡越一次的相對功率損耗光場在腔中渡越一次的相對功率損耗單程損耗單程損耗ie設(shè)設(shè)11j

8、juu單程模振幅的衰減單程模振幅的衰減相移相移2222222212111deueuuuuujjjjjjd 量度自再現(xiàn)模的單程損耗量度自再現(xiàn)模的單程損耗, 不同橫模有不同的不同橫模有不同的 和和d dd ， 模的單程損耗模的單程損耗 1ijjueue第第6章章 開放式光腔開放式光腔6.2 諧振腔衍射理論諧振腔衍射理論3. 單程相移單程相移 d d mn 自再現(xiàn)模在腔內(nèi)渡越一次的總相移自再現(xiàn)模在腔內(nèi)渡越一次的總相移1argargarg1argarg1argargarg1jjjjjjuuuuuu11ijjeuu開腔自再現(xiàn)模的諧振條件開腔自再現(xiàn)模的諧振條件q 幾何相移幾何相移LkL2附加相移，與模式有

9、關(guān)附加相移，與模式有關(guān)當(dāng)當(dāng) mn得知得知, 可求得模的諧振頻率可求得模的諧振頻率 第第6章章 開放式光腔開放式光腔6.2 諧振腔衍射理論諧振腔衍射理論 六、自再現(xiàn)模積分方程的求解六、自再現(xiàn)模積分方程的求解分離變量法分離變量法,La b, ,xyx y x yx xy yyxyxikeLiyxyxK,yyKxxKyxyxKyx,如果能得到形式如果能得到形式 則則 yxyxikeLiyxyxK,當(dāng)當(dāng),x yKx y xyxy ds第第6章章 開放式光腔開放式光腔6.2 諧振腔衍射理論諧振腔衍射理論, ,xyx y x yx xy y？yxyxikeLiyxyxK,yyKxxKyxyxKyx,即要求

10、：即要求： 如果能有：如果能有： ,axxabyybxKx xxdxx yxyyKy yydyxyxyzY Y方向和方向和X X方向無限長的窄帶鏡的自洽積分方程方向無限長的窄帶鏡的自洽積分方程第第6章章 開放式光腔開放式光腔6.2 諧振腔衍射理論諧振腔衍射理論以矩形平面鏡腔為例用分離變以矩形平面鏡腔為例用分離變量法求解自再現(xiàn)模量法求解自再現(xiàn)模22442222222418181212111LyyLxxLyyLxxLyyLxxLLyyLxxLLyyxx224222aLL aakLkLbLL byxyxikeLiyxyxK,簡化條件：簡化條件：第第6章章 開放式光腔開放式光腔6.2 諧振腔衍射理論諧振腔衍射理論LyyikikLLxxikikLyxyxikeeLieeLieLiyxyxK22,22,2211122x xy yLLL則則 ,axxabyybxKx xx dxyKy yy dy2222, ,x x