1、正余弦定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用正、余弦定理在測(cè)量、航海、物理、幾何、天體運(yùn)行等方面的應(yīng)用十分廣泛，解這類應(yīng)用題需要我們吃透題意，對(duì)專業(yè)名詞、術(shù)語要能正確理解，能將實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題.求解此類問題的大概步驟為：（1）準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，準(zhǔn)確理解應(yīng)用題中的有關(guān)名稱、術(shù)語，如仰角、俯角、視角、象限角、方位角等；（2）根據(jù)題意畫出圖形；（3）將要求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，然后正確求解，演算過程要簡(jiǎn)練，計(jì)算要準(zhǔn)確，最后作答.1.測(cè)量中正、余弦定理的應(yīng)用例1某觀測(cè)站在目標(biāo)南偏西方向，從出發(fā)有一條南偏東走向的公路，在處測(cè)得公路上與相

2、距31千米的處有一人正沿此公路向走去，走20千米到達(dá)，此時(shí)測(cè)得距離為千米，求此人所在處距還有多少千米？分析：根據(jù)已知作出示意圖，分析已知及所求，解，求角.再解，求出，再求出，從而求出（即為所求）.東北解：由圖知，.，.在中，.由余弦定理，得.即.整理，得，解得或（舍）.故（千米）.答：此人所在處距還有15千米.評(píng)注：正、余弦定理的應(yīng)用中，示意圖起著關(guān)鍵的作用，“形”可為“數(shù)”指引方向，因此，只有正確作出示意圖，方能合理應(yīng)用正、余弦定理.2.航海中正、余弦定理的應(yīng)用例2在海岸處，發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距為海里的處有一艘走私船，在處北偏西方向，距為2海里的處的緝私船奉命以海里/小時(shí)的速度追截走私船.此時(shí)

3、走私船正以海里/小時(shí)的速度從處向北偏東方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的時(shí)間？分析：注意到最快追上走私船，且兩船所用時(shí)間相等，可畫出示意圖，需求的方位角及由到所需的航行時(shí)間.解：設(shè)緝私船追上走私船所需時(shí)間為小時(shí)，則有，.在中，根據(jù)余弦定理可得.根據(jù)正弦定理可得.，易知方向與正北方向垂直，從而.在中，根據(jù)正弦定理可得：，則有，小時(shí)分鐘.所以緝私船沿北偏東方向，需分鐘才能追上走私船.評(píng)注：認(rèn)真分析問題的構(gòu)成，三角形中邊角關(guān)系的分析，可為解題的方向提供依據(jù).明確方位角是應(yīng)用的前提，此題邊角關(guān)系較復(fù)雜要注意正余弦定理的聯(lián)用.3.航測(cè)中正、余弦定理的應(yīng)用例3飛機(jī)的航線和山頂在同

4、一個(gè)鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔m，速度為km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫椋?jīng)過秒后又看到山頂?shù)母┙菫椋笊巾數(shù)暮０胃叨龋ň_到m）.分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，如圖，這樣可在和中解出山頂?shù)胶骄€的距離，然后再根據(jù)航線的海拔高度求得山頂?shù)暮０胃叨?解：設(shè)飛行員的兩次觀測(cè)點(diǎn)依次為和，山頂為，山頂?shù)街本€的距離為.如圖，在中，由已知，得，.又（km）,根據(jù)正弦定理，可得，進(jìn)而求得，（m）,可得山頂?shù)暮０胃叨葹椋╩）.評(píng)注：解題中要認(rèn)真分析與問題有關(guān)的三角形，正確運(yùn)用正、余弦定理有序地解相關(guān)的三角形，從而得到問題的答案.4.炮兵觀測(cè)中正、余弦定理的應(yīng)用例4我炮兵陣地位于地面處，兩觀察所分別位于地面

5、點(diǎn)和處，已知米，目標(biāo)出現(xiàn)于地面點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得，（如圖），求炮兵陣地到目標(biāo)的距離（結(jié)果保留根號(hào)）.分析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖，題中的四點(diǎn)、可構(gòu)成四個(gè)三角形.要求的長(zhǎng)，由于，只需知道和的長(zhǎng)，這樣可選擇在和中應(yīng)用定理求解.解：在中，根據(jù)正弦定理有，同理，在中，根據(jù)正弦定理有.又在中，根據(jù)勾股定理有：.所以炮兵陣地到目標(biāo)的距離為米.評(píng)注：應(yīng)用正、余弦定理求解問題時(shí)，要將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，而此類問題又可歸結(jié)為解斜三角形問題，因此，解題的關(guān)鍵是正確尋求邊、角關(guān)系，方能正確求解.5.下料中正余弦定理的應(yīng)用例5已知扇形鐵板的半徑為，圓心角為，要從中截取一個(gè)面積最大的矩形，應(yīng)怎樣劃線？分析：要使截取矩形面積最大，必須使矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在扇形的邊界上，即為扇形的內(nèi)接矩形，如圖所示.（1）（2）解：在圖（1）中,在上取一點(diǎn)，過作于，過作交于，再過作于.設(shè)，.在中，由正弦定理，得.于是.當(dāng)即時(shí)，取得最大值.在圖（2）中，取中點(diǎn)，連結(jié)，在上取一點(diǎn)，過作交于，過作交于，過作交于，連結(jié)得矩形，設(shè)，則.在中，由正弦定理得：，.（當(dāng)時(shí)取“”）.當(dāng)時(shí)，取得最大值.，作，按圖（1）劃線所截得的矩形面積最大.評(píng)注：此題屬于探索性問題，需要我們自己尋求參數(shù)，建立目標(biāo)函數(shù)，這需要有扎實(shí)的基本功，在平時(shí)學(xué)習(xí)中要有意識(shí)訓(xùn)練這方面的能力.綜上，通過對(duì)以上