1、一問(wèn)題重述核反應(yīng)堆屏蔽層是用一定厚度的鉛把反應(yīng)堆四周包圍起來(lái)，用以阻檔或減弱反應(yīng)堆發(fā)出的各種射線(xiàn)。在各種射線(xiàn)中，中子對(duì)人體傷害極大，因此，屏蔽設(shè)計(jì)，主要是了解中子穿透屏蔽的百分比(或概率)，這對(duì)反應(yīng)堆的安全運(yùn)行是至關(guān)重要的。首先考慮一個(gè)中子進(jìn)入屏蔽層后運(yùn)動(dòng)的物理過(guò)程：中子以初速度v0和方向角射入屏蔽層內(nèi)，運(yùn)動(dòng)一段距離后，在x0處與鉛核碰撞之后，中子獲得新的速度及方向(v1,1)，再運(yùn)動(dòng)一段距離后，與鉛核第二次碰撞，并獲得新的狀態(tài)(v2,2)等等，經(jīng)若干次碰撞后，發(fā)生以下情況之一則終止運(yùn)動(dòng)過(guò)程：(1)彈回反應(yīng)堆；(2)穿誘屏蔽層；(3)第i次碰撞后，中子被屏蔽層吸收。要求用數(shù)學(xué)建模方法解決中子穿

2、透屏蔽層百分比問(wèn)題，并對(duì)如何防護(hù)穿透屏蔽層的中子提出自己的建議。本文需解決的問(wèn)題有：1 .假設(shè)屏蔽層D=3d,在大數(shù)定理的意義下，中子穿透屏蔽層的百分比多少2 .在實(shí)際應(yīng)用中，要求中子穿誘屏蔽層的概率極小，數(shù)量級(jí)為1061010，即穿入屏蔽層的中子若為幾百萬(wàn)個(gè)，也只能有幾個(gè)中子穿過(guò)屏蔽層。問(wèn)題是多厚的屏蔽層才能使它被穿的概率小于1063 .根據(jù)上述估計(jì)，并查閱相關(guān)文獻(xiàn)，嘗試為日本福島核泄漏事件的核危機(jī)善后工作提出約2000字的建議。二問(wèn)題分析此題研究的是中子穿透核反應(yīng)堆屏蔽層的問(wèn)題。一般情況下核反應(yīng)堆是一個(gè)圓柱型建筑，屏蔽層里面充滿(mǎn)介質(zhì)，以防護(hù)放射性物質(zhì)泄漏。在本題中我們認(rèn)為防護(hù)層里面均勻分布

3、著的介質(zhì)只有一種物質(zhì)，也就是鉛層。而且把問(wèn)題簡(jiǎn)化為中子穿透的是理想的鉛制平板。中子在屏蔽層的運(yùn)動(dòng)到有明顯的隨機(jī)性，所以種子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。中子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是根據(jù)大量中子的運(yùn)動(dòng)狀況總結(jié)出來(lái)的，是一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。蒙特卡羅模擬，實(shí)際上就是模擬相當(dāng)數(shù)量的粒子在介質(zhì)中的運(yùn)動(dòng)狀況，是粒子的統(tǒng)計(jì)規(guī)律得以重現(xiàn)。不過(guò)，這種模擬是利用隨機(jī)數(shù)實(shí)現(xiàn)的。對(duì)于問(wèn)題一：為了求得在大數(shù)定理意義下，中子穿透屏蔽層的百分比，在這里我們采用蒙特卡洛方法來(lái)解決此問(wèn)題，在模擬的過(guò)程中，主要是分析中子在任意兩相鄰碰撞時(shí)刻的位置旋轉(zhuǎn)角度及能量的變化，首先確定中子的初始狀態(tài)，及分析中子下一次碰撞點(diǎn)的位置服從指數(shù)分布，其平均值為d,這樣

4、可以根據(jù)位移與屏蔽層D的大小關(guān)系判斷中子是被彈回吸收和繼續(xù)發(fā)生碰撞；然后確定碰撞類(lèi)型，若為彈性碰撞且碰撞次數(shù)沒(méi)有超過(guò)10次則繼續(xù)下一次的碰撞，超過(guò)10次則直接被吸收，最后確定碰撞后的能量與運(yùn)動(dòng)方向，從而可得到一個(gè)中子的隨機(jī)游動(dòng)的序列參數(shù)。在借助計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行仿真模擬之前我們還可對(duì)中子的透射率進(jìn)行估計(jì)。對(duì)于問(wèn)題二：為了求得多厚的屏蔽層才能使它被穿的概率小于106，要求們考慮到實(shí)際情況在穿透率已知的情況下求解屏蔽層的厚度。我們可以考慮在問(wèn)題一的基礎(chǔ)上來(lái)解決此問(wèn)題。我們考慮到實(shí)際情況，要求透率小于106時(shí)，求解鉛屏蔽墻的厚度。由于每次碰撞中子的速度都會(huì)將低，從而引起能量的減小，從問(wèn)題一中我們可得在大

5、數(shù)定理下通過(guò)大量模擬實(shí)驗(yàn)，中子的對(duì)屏蔽層D的穿透量趨向一穩(wěn)定的值，即為我們所要求的概率值，在這里我們可將中子穿過(guò)厚度為D的屏蔽層看做一次獨(dú)立事件，假設(shè)所要求的屏蔽墻的厚度記為mD,通過(guò)計(jì)算多個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率便可以求出m的值，進(jìn)而可求出屏蔽層的厚度。三模型假設(shè)1 .假設(shè)中子在兩次碰撞之間按直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)而且粒子之間無(wú)相互作用。2 .假設(shè)屏蔽層是理想均勻的平板。3 .假設(shè)離子間的碰撞是彈性的。4 .假設(shè)中子在屏蔽層內(nèi)相繼兩次碰撞之間游動(dòng)的距離服從指數(shù)分布，d為兩次碰撞之間中子的平均游動(dòng)距離。5 .假設(shè)在第10次碰撞后，中子速度下降到某一很小的數(shù)值而終止運(yùn)動(dòng)（被吸收）。四參數(shù)設(shè)置及說(shuō)明符號(hào)符號(hào)說(shuō)明

6、mEm中子被第m個(gè)鉛原子的反彈截面mEam中子被第m個(gè)鉛原子的吸收截面m單位體積鉛原子的數(shù)量xm中子的第m次碰撞Em中子第m次碰撞后的能量sm中子第m次碰撞后的位置m中子第m次碰撞散射角A是鉛原子核質(zhì)量與中子質(zhì)量之比c質(zhì)心系散射角p中子穿透鉛層的概率方位角五模型建立及求解5.1 在大數(shù)定理的意義下，中子穿透屏蔽層的百分比用蒙特卡洛法模擬中子在鉛層的運(yùn)動(dòng)情況蒙特卡洛法是基于粒子輸運(yùn)過(guò)程的隨機(jī)統(tǒng)計(jì)特性的考慮，我們認(rèn)為物理上的可觀測(cè)量就是大量粒子的行為共同貢獻(xiàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。因此，該方法就是考慮一個(gè)一個(gè)粒子的傳輸，模擬它們?cè)谖镔|(zhì)中隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的歷史，記錄其在運(yùn)動(dòng)中對(duì)感興趣的物理模擬量的貢獻(xiàn)。在對(duì)單個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)

7、歷史進(jìn)行大量的重復(fù)模擬之后,我們就可以對(duì)物理模擬量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，得到所需要的物理結(jié)果。中子與鉛層作用后，一部分會(huì)被吸收，另一部分經(jīng)過(guò)多次反彈后會(huì)穿透鉛層彈射出去。中子與鉛層作用后可能會(huì)產(chǎn)生次級(jí)粒子，我們不考慮這些次級(jí)粒子的遷移。如果中子和鉛層中第m個(gè)鉛原子作用的全截面為mE.mEmEtm=smammEm和mEm分別表示中子被第m個(gè)鉛原子的反彈和吸收截面。如果單位體積鉛原子的數(shù)量記為m,則中子作用在單位體積內(nèi)第m個(gè)鉛原子上的總截面為mEtmEtmtm假如材料中有多種元素，該中子與材料作用的總截面為：m在本文中，鉛是屏蔽層中的唯一元素，假定中子與某一個(gè)鉛原子反彈后的角分布表示為dE/d，當(dāng)散射角分

8、布對(duì)方位角是各向同性時(shí)，方位角可被積掉，得到微分反彈截面dE/dcos。無(wú)論微分截面dE/d或者dE/dcos，我們都可以得到相應(yīng)的理論公式。設(shè)在o點(diǎn)有一個(gè)能量為E0的中子垂直入射到鉛層中。我們記錄這時(shí)該中子的狀態(tài)位形為s0x00,E0,cos01，經(jīng)過(guò)第一次碰撞后反彈到位置s1x1,E1,cos1，再經(jīng)過(guò)第二次碰撞后反彈到位置s2x2,E2,cos2，如此我們依次記下該中子在鉛層中運(yùn)動(dòng)歷史上的位置的軌跡：s0s1s2sm或者用x0x1xmE0E1Emcos0cos1cosm來(lái)表示。直到在Sm狀態(tài)，該中子被鉛層吸收，射出或彈回，或者在Sm處該中子的能量Em低于某一閾值，則程序就停止跟蹤。我們假

9、設(shè)在第10次碰撞后，中子速度下降到某一很小的數(shù)值而終止運(yùn)動(dòng)（被吸收），因此中子在鉛層中至多碰撞十次。我們用程序具體模擬跟蹤中子的運(yùn)動(dòng)歷程初始位置已經(jīng)給出，假定為S0x00,E0,coS01。現(xiàn)在要由位置Sm1xm1,Em1,coSm1確定下一個(gè)狀態(tài)位形Smxm,Em,coSm。我們采用下面的步驟來(lái)確定狀態(tài)Si的各個(gè)參數(shù)：首先確定坐標(biāo)參數(shù)xm。中子到達(dá)Sm狀態(tài)點(diǎn)以前，經(jīng)歷過(guò)第m1次碰撞后做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。其自由程y滿(mǎn)足分布密度函數(shù)fymEm1expytEm1我們可以采用直接抽樣法得到自由程的抽樣值Jn t Em1則x由下式給出xm xm 1ycosxm 1ln j t Em1確定碰撞的性質(zhì)是吸收還

10、是反彈。中子與鉛原子發(fā)生放射的幾率為/ m 1 mEm 1 pm,s st Emi同樣可以采用離散型隨機(jī)變量的直接法抽取。若抽樣結(jié)果為吸收，則停止跟蹤回到So狀態(tài)，開(kāi)始對(duì)下一個(gè)中子進(jìn)行跟蹤；若抽樣結(jié)果為反彈，則進(jìn)入下確定中子散射角m和能量Emo由于理論上一般給出的是質(zhì)心系中的分截面公式dEm1/dcosm1,因此我們需要首先按照質(zhì)心系的微分截面抽取反彈角余弦cosm,cosm滿(mǎn)足的分布密度函數(shù)為,dEm1,1dEm1“fcosc/dcosmdcosc1dcosmc理論上，反彈后的中子能量Em由下式計(jì)算得到L1L/Em二Em11r1rcosm22A1_._其中rU,A是鉛原子核質(zhì)量與中子質(zhì)量之比

11、。質(zhì)心系散射角A1以用下面公式換算為對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)室系的放射角cosl1Acosc/.1A22Acosc再根據(jù)下面的球面三角公式，通過(guò)實(shí)驗(yàn)室系散射角l來(lái)確定cosicosi1coslsini1sinlcos其中為方位角。由于我們考慮的中子散射過(guò)程是各向同性的，方位角通過(guò)抽樣2確定抽樣值。用計(jì)算機(jī)模擬中子在鉛層里的運(yùn)動(dòng)情況按照上面的計(jì)算步驟，我們就完成了從si 1到si狀態(tài)的跟蹤。重復(fù)上述中子跟蹤計(jì)算過(guò)程，直到中子在鉛層中運(yùn)動(dòng)歷程的終點(diǎn)我們分別模擬了10000個(gè)中子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，并用matlab軟件進(jìn)行編程模擬10000個(gè)中子在鉛層的運(yùn)動(dòng)情況，為求得穩(wěn)定數(shù)據(jù)我們重復(fù)了十次實(shí)驗(yàn)，得出數(shù)據(jù)如下表碰撞次數(shù)中

12、子被屏蔽層彈回白分比（）中子被屏蔽層吸收百分比（）中子穿透屏蔽層百分比（%）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次第八次第九次第十次平均其中第十次的穿透率與其他值相比偏差太大，我們把它舍去。求得中子穿透鉛層百分比的平均值為p111.71119f1x91其方差為2S119 f1X 9 12P1為了使我們求得的數(shù)據(jù)更加接近實(shí)際情況，我們?cè)賹?duì)20000個(gè)中子進(jìn)行同樣方法的模擬，得到下面數(shù)據(jù)碰撞次數(shù)中子被屏蔽層彈回白分比（）中子被屏蔽層吸收百分比（）中子穿透屏蔽層百分比（）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次第八次第九次第十次平均其平均值為P210f2 x其方差為一 2P211021S2f2

13、X101通過(guò)對(duì)兩次模擬得出的數(shù)據(jù)，我們也如下計(jì)算公式得出更加接近實(shí)際情況的的百分比122P二P1P2GS22通過(guò)對(duì)大量中子運(yùn)動(dòng)過(guò)程的跟蹤，我們也很容易求出透射中子的能量和角分布。只要將能量E和極角分成若干個(gè)小區(qū)間，如：E0E1E2Emin0012M/2將透射中子的能量E和極角記入圖中對(duì)應(yīng)區(qū)間，統(tǒng)計(jì)落入各個(gè)能量區(qū)間或角度區(qū)間的中子數(shù)，并畫(huà)出直方圖。這樣我們就得到相應(yīng)的反射中子的能量分布或角分布圖形。求傳透率小于106時(shí)，屏蔽墻的厚度問(wèn)題二要求我們考慮到實(shí)際情況，要求透率小于106時(shí)，求解鉛屏蔽墻的厚度。由于每次碰撞中子的速度都會(huì)將低，從而引起能量的減小，從問(wèn)題一中我們可得在大數(shù)定理下通過(guò)大量模擬實(shí)驗(yàn)，中子的對(duì)屏蔽層D的穿透量趨向一穩(wěn)定的值，即為我們所要求的概率值，在這里我們可將中子穿過(guò)厚度為D的屏蔽層看做一次獨(dú)立事件，假設(shè)所要求的屏蔽墻的