1、材料力學(xué)（土）筆記第三章 扭 轉(zhuǎn)1概 述等直桿承受作用在垂直于桿軸線的平面內(nèi)的力偶時(shí)，桿將發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形若構(gòu)件的變形時(shí)以扭轉(zhuǎn)為主，其他變形為次而可忽略不計(jì)的，則可按扭轉(zhuǎn)變形對(duì)其進(jìn)行強(qiáng)度和剛度計(jì)算等直桿發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的受力特征是桿受其作用面垂直于桿件軸線的外力偶系作用其變形特征是桿的相鄰橫截面將繞桿軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，桿表面的縱向線將變成螺旋線當(dāng)發(fā)生扭轉(zhuǎn)的桿是等直圓桿時(shí)，由于桿的物性和橫截面幾何形狀的極對(duì)稱性，就可用材料力學(xué)的方法求解對(duì)于非圓截面桿，由于橫截面不存在極對(duì)稱性，其變形和橫截面上的應(yīng)力都比較復(fù)雜，就不能用材料力學(xué)的方法來(lái)求解2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)設(shè)一薄壁圓筒的壁厚遠(yuǎn)小于其平均半徑（），其兩端承受

2、產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的外力偶矩，由截面法可知，圓筒任一橫截面n-n上的內(nèi)力將是作用在該截面上的力偶該內(nèi)力偶矩稱為扭矩，并用表示由橫截面上的應(yīng)力與微面積之乘積的合成等于截面上的扭矩可知，橫截面上的應(yīng)力只能是切應(yīng)力考察沿橫截面圓周上各點(diǎn)處切應(yīng)力的變化規(guī)律，預(yù)先在圓筒表面上畫(huà)上等間距的圓周線和縱向線，從而形成一系列的正方格子在圓筒兩端施加外力偶矩后，發(fā)現(xiàn)圓周線保持不變，縱向線發(fā)生傾斜，在小變形時(shí)仍保持直線薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)變形后，橫截面保持為形狀、大小均無(wú)改變的平面，知識(shí)相互間繞圓筒軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，因此橫截面上各點(diǎn)處切應(yīng)力的方向必與圓周相切。相對(duì)扭轉(zhuǎn)角：圓筒兩端截面之間相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移，用來(lái)表示圓筒表面上每個(gè)格

3、子的指教都改變了相同的角度，這種直角的該變量稱為切應(yīng)變這個(gè)切應(yīng)變和橫截面上沿沿圓周切線方向的切應(yīng)力是相對(duì)應(yīng)的由于圓筒的極對(duì)稱性，因此沿圓周各點(diǎn)處切應(yīng)力的數(shù)值相等由于壁厚遠(yuǎn)小于其平均半徑，故可近似地認(rèn)為沿壁厚方向各點(diǎn)處切應(yīng)力的數(shù)值無(wú)變化薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上任意一點(diǎn)處的切應(yīng)力值均相等，其方向與圓周相切由橫截面上內(nèi)力與應(yīng)力間的靜力學(xué)關(guān)系，從而得由于為常量，且對(duì)于薄壁圓筒，可以用其平均半徑代替，積分為圓筒橫截面面積，引進(jìn)，從而得到由幾何關(guān)系，可得薄壁圓筒表面上的切應(yīng)變和相距為的兩端面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系式，式子中為薄壁圓筒的外半徑當(dāng)外力偶矩在某一范圍內(nèi)時(shí)，相對(duì)扭轉(zhuǎn)角與外力偶矩（在數(shù)值上等于）之間

4、成正比可得和間的線性關(guān)系為上式稱為材料的剪切胡克定律，式子中的比例常數(shù)稱為材料的切變模量，其量綱和單位與彈性模量相同，鋼材的切邊模量的約值為剪切胡克定律只有在切應(yīng)力不超過(guò)某材料的某極限值時(shí)才適用該極限稱為材料的剪切比例極限，適用于切應(yīng)力不超過(guò)材料剪切比例極限的線彈性范圍3傳動(dòng)軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖3.1 傳動(dòng)軸的外力偶矩設(shè)一傳動(dòng)軸，其轉(zhuǎn)速為n（r/min），軸傳遞的功率由主動(dòng)輪輸入，然后通過(guò)從動(dòng)輪分配出去設(shè)通過(guò)某一輪所傳遞的功率為，常用單位為kW1 kW=1000 W；1 W=1 J/s ; 1 J=1 N·m當(dāng)軸在穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，外力偶在t秒內(nèi)所做的功等于其矩與輪在t秒內(nèi)

5、的轉(zhuǎn)角之乘積因此，外力偶每秒鐘所作的功即功率為 即得到作用在該輪上的外力偶矩為外力偶的轉(zhuǎn)向，主動(dòng)輪上的外力偶的轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同，從動(dòng)輪上的外力偶的轉(zhuǎn)向則與軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反3.2 扭矩及扭矩圖可用截面法計(jì)算軸橫截面上的扭矩為使從兩段桿所求得的同一橫截面上扭矩的正負(fù)號(hào)一致按桿的變化情況，規(guī)定桿因扭轉(zhuǎn)而使其縱向線在某段內(nèi)有變成右手螺旋線的趨勢(shì)時(shí)則該段桿橫截面上的扭矩為正，反之為負(fù)若將扭矩按右手螺旋法則用力偶矢表示，則當(dāng)力偶矢的指向離開(kāi)截面時(shí)扭矩為正，反之為負(fù)為了表明沿桿軸線各橫截面上扭矩的變化情況，從而確定最大扭矩及其所在橫截面的位置可仿照軸力圖的作法繪制扭矩圖4等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力·

6、;強(qiáng)度條件4.1 橫截面上的應(yīng)力與薄壁圓筒相仿，在小變形下，等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上也只有切應(yīng)力幾何方面為研究橫截面上任意一點(diǎn)處切應(yīng)變隨點(diǎn)的位置而變化的規(guī)律在等直圓桿的表面上作出任意兩個(gè)相鄰的圓周線和縱向線當(dāng)桿的兩端施加一對(duì)其矩為的外力偶后，可以發(fā)現(xiàn)：兩圓周線繞桿軸線相對(duì)旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，圓周線的大小和形狀均為改變?cè)谧冃挝⑿〉那闆r下，圓周線的間距也未變化縱向線則傾斜了一個(gè)角度假設(shè)橫截面如同剛性平面般繞桿的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，即平面假設(shè)上述假設(shè)只適用于圓桿為確定橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)變隨點(diǎn)的位置而變化的規(guī)律假想地截取長(zhǎng)為的桿段進(jìn)行分析由平面假設(shè)可知，截面b-b相對(duì)于截面a-a繞桿軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)微小的角度因此其

7、上的任意半徑也轉(zhuǎn)動(dòng)了同一角度由于截面轉(zhuǎn)動(dòng)，桿表面上的縱向線傾斜了一個(gè)角度縱向線的傾斜角就是橫截面周邊上任一點(diǎn)A處的切應(yīng)變同時(shí)經(jīng)過(guò)半徑上任意一點(diǎn)的縱向線在桿變形后也傾斜了一個(gè)角度為圓心到半徑上點(diǎn)的距離即為橫截面半徑上任意一點(diǎn)處的且應(yīng)變由幾何關(guān)系可得即上式表示等直接圓桿橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)變隨該點(diǎn)在橫截面上的位置而變化的規(guī)律式子中的表示相對(duì)扭轉(zhuǎn)角沿桿長(zhǎng)度的變化率，對(duì)于給定的橫截面是個(gè)常量在同一半徑的圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)變都相同，且與成正比物理方面由剪切胡可定律可知，在線彈性范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比令相應(yīng)點(diǎn)處的切應(yīng)力為，即得橫截面上切應(yīng)力變化規(guī)律表達(dá)式由上式可知，在同一半徑的圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)力

8、 值均相等，其值與成正比因?yàn)榇怪庇诎霃狡矫鎯?nèi)的切應(yīng)變，故的方向垂直于半徑靜力學(xué)方面由于在橫截面任一直徑上距圓心等遠(yuǎn)的兩點(diǎn)處的內(nèi)力元素等值且反向則整個(gè)截面上的內(nèi)力元素的合力必等于零，并組成一個(gè)力偶，即為橫截面上的扭矩因?yàn)榈姆较虼怪庇诎霃剑蕛?nèi)力元素對(duì)圓心的力矩為由靜力學(xué)中的合力矩原理可得經(jīng)整理后得上式中的積分僅與橫截面的幾何量有關(guān)，稱為極慣性矩，用表示其單位為，整理得可得上式即等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處切應(yīng)力的計(jì)算公式當(dāng)?shù)扔跈M截面的半徑時(shí)，即在橫截面周邊上的各點(diǎn)處，切應(yīng)力將達(dá)到其最大值在上式中若用代表，則有式中，稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，單位為推導(dǎo)切應(yīng)力計(jì)算公式的主要依據(jù)為平面假設(shè)，且材料符合胡克

9、定律因此公式僅適用于在線彈性范圍內(nèi)的等直圓桿為計(jì)算極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)在圓截面上距圓心為處取厚度為的環(huán)形面積作為面積因素可得圓截面的極慣性矩為圓截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)為由于平面假設(shè)同樣適用于空心截面桿件，上述切應(yīng)力公式也適用于空心圓截面桿設(shè)空心圓截面桿的內(nèi)、外直徑分別為和，其比值則可得空心圓截面的極慣性矩為所以扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)為4.2 斜截面上的應(yīng)力在圓桿的表面處用橫截面、徑向截面及與表面相切的面截取一單元體在其左右兩側(cè)（即桿的橫截面）上只有切應(yīng)力，其方向與y軸平行在其前后兩平面（即與桿表面相切的面）上無(wú)任何應(yīng)力由于單元體處于平衡狀態(tài)，故由平衡方程可知單元體在左右兩側(cè)面上的內(nèi)力元素應(yīng)是大小相等，指向

10、相反的一對(duì)力并組成一個(gè)力偶，其矩為為滿足令兩個(gè)平衡方程， 和在單元體上、下兩個(gè)平面上將有大小相等、指向相反的一對(duì)內(nèi)力元素并組成其矩為的力偶該力偶與前一力偶矩?cái)?shù)值相等而轉(zhuǎn)向相反，從而可得上式表明，兩相互垂直平面上的切應(yīng)力和數(shù)值相等，且均指向（或背離）該兩平面的交線，稱為切應(yīng)力互等定理該定理具有普遍意義純剪切應(yīng)力狀態(tài)：?jiǎn)卧w在其兩對(duì)互相垂直的平面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力的狀態(tài)等直圓桿和薄壁圓筒在發(fā)生扭轉(zhuǎn)時(shí)，其中的單元體均處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)現(xiàn)分析在單元體內(nèi)垂直于前、后量平面的任意斜截面上的應(yīng)力斜截面外法線n與x軸的夾角為規(guī)定從x軸至截面外法向逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，反之為負(fù)應(yīng)用截面法，研究其左邊部分的平衡設(shè)

11、斜截面的面積為，則面和面的面積分別為和選擇參考軸和分別于斜截面平行和垂直由平衡方程和即利用切應(yīng)力互等定理公式，整理后即得任意一斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力的計(jì)算公式單元體的四個(gè)側(cè)面（和）上的切應(yīng)力絕對(duì)值最大，均等于和兩截面上正應(yīng)力分別為即該兩截面上的正應(yīng)力分別為中的最大值和最小值，即一為拉應(yīng)力，另一為壓應(yīng)力其絕對(duì)值均等于，且最大、最小正應(yīng)力的作用面與最大切應(yīng)力的作用面之間互成45°這些結(jié)論是純剪切應(yīng)力狀態(tài)的特點(diǎn)，不限于等直圓桿在圓桿的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)中，對(duì)于剪切強(qiáng)度低于拉伸強(qiáng)度的材料（如低碳鋼），破壞是由橫截面上的最大切應(yīng)力引起，并從桿的最外層沿與桿軸線約成45°傾角的螺旋形曲面發(fā)生拉

12、斷而產(chǎn)生的在最大切應(yīng)力相等的情況下，空心圓軸的自重較實(shí)心圓軸為輕，比較節(jié)省材料4.3 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件是最大工作切應(yīng)力不超過(guò)材料的許用切應(yīng)力，即等直圓桿的最大工作應(yīng)力存在于最大扭矩所在橫截面即危險(xiǎn)截面的周邊上任一點(diǎn)，即危險(xiǎn)點(diǎn)上述強(qiáng)度條件可寫(xiě)為5等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形·剛度條件5.1 扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形等直桿的扭轉(zhuǎn)變形是用兩橫截面繞桿軸相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的相對(duì)角位移，即相對(duì)扭轉(zhuǎn)角來(lái)度量的為相距的兩橫截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 因此，長(zhǎng)為的一段桿兩端面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角長(zhǎng)為的一段桿兩端間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為當(dāng)?shù)戎眻A桿僅在兩端受一對(duì)外力偶作用時(shí)，則所有橫截面上的扭矩均相同且等于桿端的外力偶矩對(duì)于由同一材料制成的等直圓桿，及亦

13、為常量，則可得或的單位為，其正負(fù)號(hào)隨扭矩而定由上式可見(jiàn)，相對(duì)扭轉(zhuǎn)角與成反比，稱為等直圓桿的扭轉(zhuǎn)剛度由于桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)各橫截面上的扭矩可能并不相同，且桿的長(zhǎng)度也各不相同因此在工程中，對(duì)于扭轉(zhuǎn)桿的剛度通常用相對(duì)扭轉(zhuǎn)角沿桿長(zhǎng)度的變化率來(lái)度量，稱為單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，并用表示公式只適用于材料在線彈性范圍內(nèi)的等直圓桿例題3-5截面C相對(duì)于截面B的扭轉(zhuǎn)角，應(yīng)等于截面A相對(duì)于B的扭轉(zhuǎn)角與截面C相對(duì)于A的扭轉(zhuǎn)角之和5.2 剛度條件等直桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，除需滿足強(qiáng)度條件外，有時(shí)還需滿足剛度條件剛度要求通常是限制器單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角中最大值不超過(guò)某一規(guī)定的允許值，即上式即為等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件式中，稱為許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，其常

14、用單位是需要將單位換算，于是可得許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角是根據(jù)作用在軸上的荷載性質(zhì)以及軸的工作條件等因素決定的6等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能當(dāng)圓桿扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，桿內(nèi)將積蓄應(yīng)變能計(jì)算桿內(nèi)應(yīng)變能，需先計(jì)算桿內(nèi)任一點(diǎn)處的應(yīng)變能密度，再計(jì)算全桿內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能受扭圓桿的任一點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)設(shè)其左側(cè)面固定，則單元體在變形后右側(cè)面將向下移動(dòng)當(dāng)材料處于線彈性范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，且切應(yīng)變值很小因此在變形過(guò)程中，上、下兩面上的外力將不作功只有右側(cè)面上的外力對(duì)相應(yīng)的位移做功，其值為單元體內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能數(shù)值上等于于是可得單位體積內(nèi)的應(yīng)變能即應(yīng)變能密度為根據(jù)剪切胡克定律，上式可改寫(xiě)為或求得受扭圓桿任一點(diǎn)處的應(yīng)變能密

15、度后，全桿的應(yīng)變能可由積分計(jì)算為桿的體積，為桿的橫截面積，為桿長(zhǎng)若等直桿僅在兩端受外力偶矩作用，則任一橫截面的扭矩和極慣性矩均相同可得桿內(nèi)得應(yīng)變能為以上應(yīng)變能表達(dá)式也可利用外力功與應(yīng)變能數(shù)值上相等的關(guān)系，直接從作用在桿端的外力偶矩在桿發(fā)生扭轉(zhuǎn)過(guò)程中所做的功算得7等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形對(duì)于非等直圓桿，在桿扭轉(zhuǎn)后橫截面不在保持為平面取一矩形截面桿，事先在其表面繪出橫截面的周線，則在桿扭轉(zhuǎn)后，這些周線變成了曲線從而可以推知，其橫截面在桿變形后將發(fā)生翹曲而不再保持平面對(duì)于此類問(wèn)題，只能用彈性的理論方法求解等直非圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面發(fā)生翹曲，但當(dāng)?shù)戎睏U在兩端受外力偶作用，且端面可以自由翹曲時(shí)，稱

16、為純扭轉(zhuǎn)或自由扭轉(zhuǎn)這時(shí)，桿相鄰兩橫截面的翹曲程度完全相同，橫截面上仍然是只有切應(yīng)力沒(méi)有正應(yīng)力若桿的兩端受到約束而不能自由翹曲，稱為約束扭轉(zhuǎn)，則其相鄰兩橫截面的翹曲程度不同，將在橫截面上引起附加的正應(yīng)力8開(kāi)口和閉口薄壁截面桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形8.1 開(kāi)口薄壁截面桿薄壁截面的壁厚中線是一條不封閉的折線或曲線，責(zé)成開(kāi)口薄壁截面如各種軋制型鋼（工字鋼、槽鋼、角鋼等）或工字形、槽形、T字型截面等8.2 閉口薄壁截面桿薄壁截面的壁厚中線是一條封閉的折線或曲線，這類截面稱為閉口薄壁截面討論這類桿件在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算設(shè)一橫截面為任意形狀、變厚度的閉口薄壁截面等直桿在兩自由端承受一對(duì)扭轉(zhuǎn)外力偶作用

17、桿橫截面上的內(nèi)力為扭矩，因此其橫街滿上將只有切應(yīng)力假設(shè)切應(yīng)力沿壁厚無(wú)變化，且其方向與壁厚的中線相切在桿的壁厚遠(yuǎn)小于其橫截面尺寸時(shí)，又假設(shè)引起的誤差在工程計(jì)算中是允許的取的桿段，用兩個(gè)與壁厚中線正交的縱截面從桿壁中取出小塊ABCD設(shè)橫截面上C和D兩點(diǎn)處的切應(yīng)力分別為和，而壁厚分別為和根據(jù)切應(yīng)力互等定理，在上、下兩縱截面上應(yīng)分別有切應(yīng)力和由平衡方程，可得由于所取的兩縱截面是任意的，上式表明橫截面沿其周邊任一點(diǎn)處的切應(yīng)力與該點(diǎn)處的壁厚乘積為一常數(shù)沿壁厚中線取出長(zhǎng)為的一段，在該段上的內(nèi)力元素為其方向與壁厚中線相切，其對(duì)橫截面內(nèi)任意一點(diǎn)O的矩為是從矩心O到內(nèi)力元素作用線的垂直距離由力矩合成原理可知，截面上扭矩應(yīng)為沿壁厚中線全長(zhǎng)的積分，即得為圖中陰影三角形面積2倍故其沿