試題PAGE1試題2024北京首都師大附中初二（下）期中數學一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）下列函數中是一次函數關系的是（）A． B．y＝x2﹣1 C． D．y＝2x﹣12．（3分）下列計算正確的是（）A． B． C． D．3．（3分）在△ABC中，三邊長分別為3，4，5，那么△ABC的面積為（）A．12 B．6 C． D．4．（3分）如圖，在?ABCD中，∠B=42°，DE平分∠ADC，則∠DEC的度數為（）A．14° B．18° C．21° D．22°5．（3分）已知一次函數y＝﹣x+b的圖象經過點A（2，m），B（4，n），則m與n的大小關系為（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．無法判斷6．（3分）已知矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AB=3，∠ACB=30°，延長DC至點E，使得CE=DC，連接OE交BC于點F，則CF的長度為（）

A．1 B． C．2 D．7．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點P（，a），在直線y=2x+2與直線y=2x+4之間，則a的取值范圍是（）

A．2＜a＜4 B．1＜a＜3 C．1＜a＜2 D．0＜a＜28．（3分）如圖，E，F，G，H分別是邊長為4的正方形ABCD四條邊上的點（不與頂點重合），且滿足AE=DH=CG=BF，記AF=x,則下列四個變量中，不存在最小值的是（）A．BF B．FE C．FH D．S四邊形EFGH二、填空題（本題共8小題，每小題2分，共16分）9．（2分）函數，自變量x的取值范圍是．10．（2分）直線y＝﹣3x向上平移2個單位長度，則所得新直線的函數表達式為．11．（2分）已知菱形ABCD中對角線AC、BD相交于點O，添加條件可使菱形ABCD成為正方形．12．（2分）如圖，在矩形ABCD，BE平分∠ABC，交AD于點E，F是BE的中點，G是BC的中點，連接EC，若AB=8，BC=14，則FG的長為．13．（2分）對于一次函數y＝kx+b，下表中給出3組自變量和相應的函數值．x﹣1a1y40k則a+k的值為．14．（2分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A，B，C的坐標分別為（0，3），，（4，0），BD∥x軸，則點D的坐標為．15．（2分）直線y＝kx+b與y＝mx在平面直角坐標系中的位置如圖所示，則不等式組﹣1＜kx+b＜mx的解集為．16．（2分）2024年3月14日森林學校舉行了以π為主題的數學節，小兔和小龜進行了新型的“龜兔賽跑”比賽，它們在校園的π型跑道（圖1）進行賽跑，小兔以A為起點，沿著A-E-D的線路到達終點D，小龜以B為起點，沿著B-E-C的線路到達終點C．小龜提前出發，小兔和小龜在經過線路中的大樹E時都休息了2分鐘，再以原速度繼續比賽，最終小兔和小龜同時到達各自的終點．設小兔所跑的時間為x分鐘（0≤x≤14），小龜所跑的路程S1與小兔所跑的路程S2差為y米，y＝S1﹣S2，圖2是y與x的函數關系圖象，則下列說法正確的是（填寫正確的序號）．①小龜跑了500米后小兔出發；②當x＝8時，小龜到達大樹E開始休息；③小兔的速度為100米/分鐘，大樹E距離小兔的起點A800米．三、解答題（本題共10小題，共60分，第17題10分，18-23每題5分，第24題6分，第25、26題每題7分）17．（10分）計算：（1）；（2）．18．（5分）如圖，?ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，且BE=DF．求證：AF=EC．

19．（5分）已知x＝﹣1，求代數式x2+2x﹣3的值．20．（5分）在平面直角坐標系xOy中，已知一次函數y＝﹣2x+2．（1）完成下列表格：x0y0（2）在給定的平面直角坐標系中畫出該函數的圖象；（3）根據圖象回答：當y＞0時，x的取值范圍是．21．（5分）已知：在△AOD中，∠AOD=90°．

求作：菱形ABCD．

作法：

①延長AO，以點O為圓心，OA長為半徑作弧，與AO的延長線交于點C；

②延長DO，以點O為圓心，OD長為半徑作弧，與DO的延長線交于點B；

③連接AB，BC，CD．

所以四邊形ABCD即為所求作的菱形．

（1）使用直尺和圓規作圖（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵AO＝，DO＝，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵∠AOD＝90°，∴AC⊥BD．∴平行四邊形ABCD是菱形．（）（填推理的依據）．22．（5分）在平面直角坐標系xOy中，已知點M（4，3），N（-3，2），P（-2，-2）．

（1）若一次函數y=2x+b的圖象經過已知三個點中的某一點，求b的最大值；

（2）當時，在圖中用陰影表示直線y=kx+1運動的區域，并判斷在點M，N，P中直線y=kx+1不可能經過的點是．23．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB的中點，連接CD，過點B作BE∥CD，過點C作CE∥AB，BE、CE相交于點E．

（1）求證：四邊形CEBD是菱形；

（2）過點D作DF⊥CE于點F，交CB于點G，若AB=10，CF=3，求DG的長．

24．（6分）如圖是一個“函數求值機”的示意圖，其中y是x的函數．下面表格中，是通過該“函數求值機”得到的幾組x與y的對應值．輸入x…﹣202…8…輸出y…﹣2﹣10…﹣1…根據以上信息，解答下列問題：（1）當輸入的x的值為6時，此時輸出的y的值為；（2）當輸出的y的值滿足-2≤y＜-1時，求輸入的x的值的取值范圍；

（3）若輸入x的值分別為m,m+3，對應輸出y的值分別為y1，y2，是否存在實數m,使得y1＞y2恒成立？若存在，請直接寫出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．?25．（7分）已知正方形ABCD中，點E是射線BC上一點，連接AE，作AE的垂直平分線交直線CD于點M，交直線AB于點N，交AE于點F．

（1）如圖1，當點E在正方形的邊BC上時，

①依題意補全圖形；

②求證：MN=AE；

（2）如圖2，當點E在BC的延長線上時，連接BD并延長交NM的延長線于點P，連接PE．

①直接寫出∠PEA的度數為；②用等式表示線段PF，PM，FN之間的數量關系26．（7分）在平面直角坐標系xOy中，對于線段MN，若在坐標系中存在一點P使得四邊形OMPN為菱形，則稱線段MN為點O的“關聯線段”．

（1）已知點M（1，3），則下列點N中，可以使得MN成為點O的“關聯線段”的是；①（﹣3，1）②（2，2）③（2）已知點O的“關聯線段”MN過點（1，1），且OM=2，求出線段OP的最大值；

（3）已知點M（-3，0），若存在點O的“關聯線段”MN與直線y=kx-6k有交點，直接寫出k的取值范圍為．

參考答案一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分）1．【答案】D【解答】解：A．函數y＝﹣，不是一次函數；B．函數y＝x2﹣7是二次函數，不是一次函數；C．函數y＝，故本選項不符合題意；D．函數y＝2x﹣1是一次函數．故選：D．2．【答案】A【解答】解：A：，故此選項符合題意；B：，故此選項不符合題意；C：，故此選項不符合題意；D：，不能進行計算．故選：A．3．【答案】B【解答】解：在△ABC中，三邊長分別為3，4，5，∵32+22＝57，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面積＝×3×4＝6．故選：B．4．【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ADC＝∠B＝42°，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝ADC＝，∴∠DEC＝21°，故選：C．5．【答案】A【解答】解：∵k＝﹣1＜0，∴y隨x的增大而減小．又∵4＜4，∴m＞n．故選：A．6．【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OD＝AC，∴OD＝OC，∵∠ACB＝30°，∴∠OCD＝60°，∴△CDO是等邊三角形，∴OC＝CD＝CE＝AB＝3，∵∠OCE＝∠OCF+∠ECF＝120°，∴∠COE＝∠E＝30°，∵∠BOC＝180°﹣∠DOC＝120°，∴∠BOF＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠ACB＝30°，∴OF＝BF，∵∠COF＝∠OCF，∴OF＝CF＝BF，∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝6，∴BC＝＝3，∴CF＝＝，故選：B．7．【答案】B【解答】解：當P在直線y＝2x+2上時，a＝7×（﹣，當P在直線y＝8x+4上時，a＝2×（﹣，則1＜a＜4，故選：B．8．【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵AE＝DH＝CG＝BF，∴DE＝AF＝BG＝CH，∴△AEF≌△BFG（SAS），同理可得：△BFG≌△CGH（SAS），△CGH≌△DHE（SAS），∴EF＝FG＝GH＝EH，∠AFE＝∠FGB，∴四邊形EFGH是菱形，∵∠BFG+∠BGF＝90°，∴∠AFE+∠BFG＝90°，∴∠EFG＝90°，∴四邊形EFGH是正方形，∴FH＝EF，S四邊形EFGH＝EF2，∵EF4＝AE2+AF2＝AE2+（4﹣AE）2＝7（AE﹣2）2+4，∴當x＝2時，EF有最小值，S四邊形EFGH有最小值，∴HF有最小值，故選：A．二、填空題（本題共8小題，每小題2分，共16分）9．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵x﹣3≥0，∴x≥8．故答案為：x≥3．10．【答案】y＝﹣3x+2．【解答】解：直線y＝﹣3x向上平移2個單位長度，則所得新直線的函數表達式為：y＝﹣2x+2．故答案為：y＝﹣3x+5．11．【答案】見試題解答內容【解答】解：根據對角線相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；根據有一個角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；故添加的條件為：AC＝BD或AB⊥BC．12．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，BC＝AD＝14，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE，∴DE＝AD﹣AE＝AD﹣AB＝14﹣8＝6，∴CE＝＝＝10，∵F是BE的中點，G是BC的中點，∴FG是△BCE的中位線，∴FG＝CE＝，故答案為：5．13．【答案】﹣4．【解答】解：把x＝1，y＝k代入得，k＝k+b解得b＝0，∴y＝kx，把x＝﹣8，y＝4代入得y＝kx，4＝﹣k，∴k＝﹣3，把x＝a，y＝0代入得y＝kx，∴0＝ak，∴a＝3，∴a+k＝﹣4，故答案為：﹣4．14．【答案】（4.5，1.5）．【解答】解：作DE⊥x軸于E，由矩形ABCD的頂點A，B，C的坐標分別為（0，，（3，BD∥x軸，得△ABF≌△DCE（AAS），得CE＝FB＝0.5，DE＝AF＝2﹣1.5＝3.5，得D（4+2.5，0+8.5），1.3）．故答案為：（4.5，5.5）．15．【答案】0＜x＜2．【解答】解：從圖象可知：兩函數的交點坐標是（2，1），﹣5），所以不等式組﹣1＜kx+b＜mx的解集是0＜x＜7．故答案為：0＜x＜2．16．【答案】①③．【解答】解：①當x＝0時，y＝500．∵小龜所跑的路程S1與小兔所跑的路程S3差為y米，y＝S1﹣S2，∴小龜跑了500米后小兔出發．故①正確；②點M的坐標為（3，﹣60），烏龜與兔子的路程差為﹣80．但是第10分鐘時，那么在點M處．故②錯誤；③第8分到第10分鐘，只有烏龜在比賽；第10分鐘時．兔子也到了大樹下，那么第10到第12分鐘，并且在點N（12．∴兔子的速度＝＝100（米/分）．∴兔子的總路程＝100×（12﹣2）＝1000（米）．∴大樹E距離小兔的起點A800米．故③正確．故答案為：①③．三、解答題（本題共10小題，共60分，第17題10分，18-23每題5分，第24題6分，第25、26題每題7分）17．【答案】（1）；（2）0．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝5+1﹣3＝8．18．【答案】證明見解答．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB＝CD，AB∥CD∵BE＝DF∴AE＝CF∵AB∥CD∴四邊形CEAF是平行四邊形∴AF＝EC．19．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵x＝﹣1，∴x4+2x﹣3＝（x﹣5）（x+3）＝（﹣5﹣1）（＝（﹣2）（＝2﹣4＝1．20．【答案】（1）見解答；（2）見解答；（3）x＜1．【解答】解：（1）∵y＝﹣2x+2，∴當x＝3時，y＝2，x＝1；x81y27（2）由（1）中的表格，可以畫出該函數的圖象；（3）由圖象可得，當y＞0時，x的取值范圍是x＜1，故答案為：x＜7．21．【答案】（1）作圖見解析部分；（2）OC，OB，對角線垂直的平行四邊形是菱形．【解答】（1）解：如圖，菱形ABCD即為所求；（2）證明：∵AO＝OC，DO＝OB，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵∠AOD＝90°，∴AC⊥BD．∴平行四邊形ABCD是菱形（對角線垂直的平行四邊形是菱形）．故答案為：OC，OB．22．【答案】（1）b的最大值為8；（2）N．【解答】解：（1）∵一次函數的比例系數為2，2＞6，∴一次函數一定經過第一、三象限．∵求b的最大值，∴圖象還應該經過第二象限的點N（﹣3，2）．∴3×（﹣3）+b＝2．b＝3．答：b的最大值為8；（2）當k＝時，圖象經過（﹣4∵圖象必過點（0，5），∴直線y＝kx+6運動的區域為過點（﹣4，0），6）的直線l與y軸之間的區域（不包括直線l和y軸）．∴直線y＝kx+1不可能經過的點是N．故答案為：N．23．【答案】（1）見解析；（2）DG的長為．【解答】（1）證明：∵BE∥CD，CE∥AB，∴四邊形CEBD是平行四邊形，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴CD＝BD＝，∴四邊形CEBD是菱形；（2）解：∵AB＝10，∴CD＝，∵DF⊥CE，∴∠DFC＝90°，∵CF＝2，∴DF＝＝7，∵四邊形CEBD是菱形，∴CE＝CD＝5，∠DCG＝∠ECG，∴EF＝CE﹣CF＝2，在△DCG與△ECG中，，∴△DCG≌△ECG（SAS），∴DG＝GE，∵FG4+EF2＝EG2，∴（4﹣DG）2+23＝DG2，∴DG＝，故DG的長為．24．【答案】（1）0；（2）﹣2≤x＜0；（3）當m＞時，y1＞y2恒成立．【解答】解：（1）x＝6＞4，將x＝7代入y＝﹣x+7，得，y＝﹣，故答案為：7；（2）觀察表格得，當輸出的y的值滿足﹣2≤y＜﹣1時；（3）x＝﹣4＜4，x＝0＜5，將x＝﹣2、y＝﹣2、y＝﹣7代入y＝kx+b，得，，解得：k＝，b＝﹣3，∴y＝x﹣2，y＝x﹣7（x＜4）x+3（x≥4）圖象如圖所示，，∵y6＞y2恒成立，∴當m≥4時，y＝﹣，y1＞y8恒成立，當m＜4，m+3≥3時，y1＞y2恒成立，即m﹣1＞﹣，解得：m＞，綜上，當m＞時，y5＞y2恒成立．25．【答案】（1）①補全圖形見解答過程；②證明見解答過程；（2）①45°；②FN＝PF+PM，證明見解答過程．【解答】（1）①解：補全圖形如下：②證明：過N作NH⊥CD于H，∴∠NHM＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC，∴∠CHN＝∠B＝∠C＝90°，∴四邊形BCHN是矩形，∴NH＝BC，∠ANH＝BNH＝90°，∴NH＝AB，∵NM⊥AE，∴∠AFN＝90°，∴∠BAE+∠ANF＝∠ANF+∠HNM＝90°，∴∠BAE＝∠HNM，在△ABE和△NHM中，，∴△ABE≌△NHM（ASA），∴AE＝MN；（2）解：①過P作PT⊥AB交BA延長線于T，過E作EK⊥PT于K，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，∴△BPT是等腰直角三角形，∴BT＝PT，∵∠TBE＝∠BTK＝∠TKE＝90°，∴四邊形BEKT是矩形，∴BT＝EK，∠K＝90°，∴PT＝EK，∵PF是AE的垂直平分線，∴AP＝EP，∴Rt△APT≌Rt△PEK（HL），∴∠APT＝∠PEK，∵∠PEK+∠EPK＝90°，∴∠APT+∠EPK＝90°，∴∠APE＝90°，∴△APE是等腰直角三角形，∴∠AEP