1、第九章歐氏空間習題一、填空題1設是一個歐氏空間，若對任意，都有，則。2在維歐氏空間中，向量在標準正交基下的坐標是，那么，。3若是一個正交矩陣，則方程組的解為 。4.已知三維歐式空間中有一組基，其度量矩陣為，則向量的長度為。5.設中的內積為，則在此內積之下的度量矩陣為 。6設，若與正交，則 。7若歐氏空間在某組基下的度量矩陣為，某向量在此組基下的坐標為,則它的長度為 ，在此基下向量與向量的夾角為 。8在歐氏空間中，若線性相關，且，則 。9是度量陣，則必須滿足條件_。10線性空間在不同基下的過渡陣、線性變換在某組基下的矩陣、歐氏空間的度量陣這三類矩陣中，可以為退化陣的是 。11. 在歐氏空間中，向

2、量，那么=_，=_。12. 兩個有限維歐氏空間同構的充要條件是_。13. 已知是一個正交矩陣，那么=_，_。14. 已知為階正交陣，且，則= 。 15. 實對稱矩陣的屬于不同特征根的特征向量是彼此 的。16.設，則與的夾角 。17.在維歐氏空間中，級矩陣是某個基的度量矩陣的充要條件是 。二、判斷題1在實線性空間中，對向量，定義，那么構成歐氏空間 （ ）2在實線性空間中，對于向量，定義，則構成歐氏空間。 （ ）3是歐氏空間的一組基，對于中任意向量，均有，（，分別是在此基下的坐標），則此基必為標準正交基。 （ ）4歐氏空間中的線性變換可以將橢圓映射成圓。 （ ）5V與W均歐氏空間且同構，則它們作為

3、線性空間也必同構。 ( )6設是一個歐氏空間，則與正交。（）7設是一個歐氏空間，,并且，則線性無關。（ ）8若都是歐氏空間的對稱變換，則也是對稱變換。 （ ）9歐氏空間中，為對稱變換。 （ ）10是歐氏空間的線性變換，中向量的夾角為，而的夾角為，則不是的正交變換。 （ ）11.是維歐氏空間的一組基，矩陣，其中，則A是正定矩陣。( )12. 歐氏空間中任意一個正交向量組都能擴充成一組正交基 （ ）13. 若是正交變換，則保持向量的內積不變 （ ）14. 正交矩陣的行列式等于1 （ ）15. 歐氏空間上的線性變換是對稱變換的充要條件為關于標準正交基的矩陣為實對稱矩陣。 （ ）16. 設與都是階正交

4、矩陣，則也是正交矩陣。（ ）17. 在歐氏空間中，若向量與自身正交，則。( )18. 設是維歐氏空間的正交變換，則在任意基下的矩陣是正交矩陣。( )19. 設是維歐氏空間的兩個正交子空間且，則。( )20. 實對稱矩陣的任意兩個特征向量都正交。( )三選擇題1關于歐幾里得空間，下列說法正確的是 （ ）(A)任一線性空間都能適當定義內積成為歐幾里得空間；(B)歐幾里得空間未必是線性空間；(C)歐幾里得空間必為實數域上的線性空間；(D)歐幾里得空間可以為有理數域上的線性空間。2 設是相互正交的維實向量，則下列各式中錯誤的是 （ ）（A） （B） (C) （D）3 對于階實對稱矩陣，以下結論正確的是

5、 （ ）（A）一定有個不同的特征根；（B）存在正交矩陣，使成對角形；（C）它的特征根一定是整數；（D）屬于不同特征根的特征向量必線性無關，但不一定正交4設是維歐氏空間的對稱變換，則 （ ）（A）只有一組個兩兩正交的特征向量； （B）的特征向量彼此正交；（C）有個兩兩正交的特征向量； （D）有個兩兩正交的特征向量有個不同的特征根。5，定義：，則滿足下列何中情況可使作成歐氏空間 （ ）（A）； （B）是全不為零的實數；（C）都是大于零的實數； （D）全是不小于零的實數6，為三階實方陣，定義，下列可使定義作為的內積的矩陣是 （ ）（A）； （B）；（C）； （D）.7若歐氏空間的線性變換關于的一個標

6、準正交基矩陣為，則下列正確的是 （ ） （A）是對稱變換； （B）是對稱變換且是正交變換；（C）不是對稱變換； （D）是正交變換。8若是維歐氏空間的一個對稱變換，則下列成立的選項是 （ ）（A）關于的僅一個標準正交基的矩陣是對稱矩陣；（B）關于的任意基的矩陣都是對稱矩陣；（C）關于的任意標準正交基的矩陣都是對稱矩陣；（D）關于的非標準正交基的矩陣一定不是對稱矩陣。9若是維歐氏空間的對稱變換，則有 （ ）（A）一定有個兩兩不等的特征根； （B）一定有個特征根（重根按重數算）；（C）的特征根的個數； （D）無特征根。10，如下定義實數中做成內積的是（） （A）； （B）；（C）； （D）.11.

7、若線性變換與是（ ），則的象與核都是的不變子空間。互逆的 可交換的 不等的 D. 不可換的12. 設是維歐氏空間，那么中的元素具有如下性質（ ）若； 若；若； D.若。13. 歐氏空間中的標準正交基是（ ）； ； D. ；。14. 設是歐氏空間的線性變換，那么是正交變換的必要非充分條件是（ ）保持非零向量的夾角； 保持內積； 保持向量的長度； D. 把標準正交基映射為標準正交基。15. 為階正交方陣，則為可逆矩陣 B. 秩 C. D.16. 下列說法正確的是( )A. 實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量必正交;B. 實對稱矩陣的屬于相同特征值的特征向量必不正交; C. 實對稱矩陣的所有特征向

8、量都正交; D. 以上都不對。17. 維歐氏空間的標準正交基( ).A. 不存在 B. 存在不唯一; C. 存在且唯一; D. 不一定存在。18. 若是實正交陣，則下列說法不正確的是（ ）。(A) (B) (C) (D)。四、計算題 1已知。求正交矩陣，使成對角形。2已知二次型，問（1）為何值時二次型是正定的？（2）取，用正交線性替換化二次型為標準形。3已知二次型，通過正交變換化為標準形f=y12+2y22+5y32，求及所用的正交變換的矩陣。(04xd2b)4設A為三階實對稱矩陣，其特征值l1= -1, l2=l3=1，已知屬于l1的特征向量a1=(0,1,1)，求 A。計算04xd2b)5

9、在0,2上所有連續函數的全體構成的歐氏空間中，判斷：對任意正整數n，集合 是否正交向量組。6歐氏空間中，定義內積，求其在基（1，0），（0，1）下的度量陣。并求一組基，使得在此基下的矩陣為對角陣，且在此基下所有向量的長度不變。說明為什么對角陣不是單位矩陣。7將二次曲面通過正交變換和平移變成標準形式。8設歐氏空間的線性變換為問：是否為的對稱變換？若是，求出的一個標準正交基，使在這個基下的矩陣為對角形矩陣。 9. 把向量組，擴充成中的一組標準正交基。10. 設為的基，且線性變換在此基下的矩陣為（1）求的特征值與特征向量；（2）是否可以對角化？如果可以，求正交矩陣使得為對角形五、證明題1設，為同級的正交矩陣，且，證明：2設是歐氏空間的線性變換，且證明：是的對稱變換。3證明：維歐氏空間與同構的充要條件是，存在雙射，并且有4設與為歐氏空間的兩組向量。證明:如果，,則子空間與同構。5證明:在一個歐氏空間里,對于任意向量,以下等式成立:(1)；(2)在解析幾何里,等式(1)