1、學習參考第2章一元二次方程2.1一元二次方程專題一利用一元二次方程的定義確定字母的取值1 .已知（m 3）x2 +Vm+2x =1是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是 （）A.m w3B.m >3C.m >2D. m >2 且 m w32 .已知關(guān)于 x的方程（m+1）xm2+（m2）x1 = 0,問：（1） m取何值時，它是一元二次方程并寫出這個方程；（2） m取何值時，它是一元一次方程？專題二利用一元二次方程的項的概念求字母的取值3 .關(guān)于x的一元二次方程（m-1 ） x2+5x+m 2-1=0的常數(shù)項為0,求m的值.24 .若一兀二次萬程（2a4）x +（3a+6）

2、x+a8 = 0沒有一次項，則a的值為.專題三利用一元二次方程的解的概念求字母、代數(shù)式5 .已知關(guān)于x的方程x2+bx+a=0 的一個根是-a （ aw 0）則a-b值為（）A.1B.0C.1D.26 .若一元二次方程 ax2+bx+c=0 中，a b+c=0 ,則此方程必有一個根為 .7.已知實數(shù)a是一元二次方程 x22013x+1=0 一八山2a2 1的解，求代數(shù)式a -2012a-的值.2013知識要點：1 .只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2 （二次），等號兩邊都是整式的方程，叫做一元二次方程.2 .一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a卻），其中ax2是二次

3、項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項.3 .使一元二次方程的兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根.溫馨提示：1 .一元二次方程概念中一定要注意二次項系數(shù)不為0的條件.2 .一元二次方程的根是兩個而不再是一個方法技巧：1 .axk+bx+c=0 是一元一次方程的情況有兩種，需要分類討論.2 .利用一元二次方程的解求字母或者代數(shù)式的值時常常用到整體思想，需要同學們認真領(lǐng)會.答案：m - 3 : 01. D 解析：,解得m >2且m w3m 2 -0m2 1 = 2, ,、1 ng2.解:（1）當m'時，它是一元二次方程.解得：m=1

4、m 1 : 0當m=1時，原方程可化為2x2-x-1=0 ;（2）當!m 2l°,或者當m+i+ （ m-2 ） wo且m2+i=i時，它是一元一次方程.m 1 = 0解得：m=-1 , m=0.故當m=-1或0時，為一元一次方程.m2 -1 03 .解：由題意，得：4 m 0,解得：m= -1.m -1 : 0.4 .a=-2 解析：由題意得13a+6 "°'解得a=2.2a-4 : 0.5 . A 解析：,關(guān)于 x 的方程 x2+bx+a=0 的一個根是-a （ aw 0） , a2ab+a=0. .a （a b+1 ) =0. aw 0,1-b+a=

5、0. .a-b=-16 .x= - 1解析：比較兩個式子ax +版+。= 0I 40b +c = 0會發(fā)現(xiàn)：（1）等號右邊相同；（2）等號左邊最后一項相同；（3）第一個式子x2對應(yīng)了 'x2=1第二個式子中的1,第一個式子中的x對應(yīng)了第二個式子中的-1.故 <.解得x=1.x=-17.解：二.實數(shù) a 是一元二次方程 x2 2013x+1=0 的解，a2 2013a+1=0. a2+1=2013a , a2 2013a= - 1.9rli i.-2012-=- 2012a-a =-2013H： 2.2 一元二次方程的解法專題一利用配方法求字母的取值或者求代數(shù)式的極值1.若方程25

6、x2- (k-1 ) x+1=0的左邊可以寫成一個完全平方式；則k的值為()A. -9 或 11 B. -7 或 8 C. -8 或 9 C. -8 或 92 .如果代數(shù)式x2+6x+m 2是一個完全平方式，則m=.3 .用配方法證明：無論x為何實數(shù)，代數(shù)式2x2+4x 5的值恒小于零.專題二利用判定一元二次方程根的情況或者判定字母的取值范圍4 .已知a, b , c分別是三角形的三邊，則方程(a+b ) x2+2cx+ (a+b ) =0的根的情況是( )A.沒有實數(shù)根B.可能有且只有一個實數(shù)根C.有兩個相等的實數(shù)根D.有兩個不相等的實數(shù)根5 .關(guān)于x的方程kx2+3x+2=0有實數(shù)根，則k

7、的取值范圍是()A.k若B.C.k蝗且)，口D .UQQ96 .定義：如果一元二次方程 ax2 + bx+c= 0 (aw 0)滿足a+b + c=0,那么我們稱這個方程鳳凰”方程.已知ax2+bx+c= 0 (aw 0)是鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是()A. a=c B. a=b C. b = c D. a=b = c專題三解絕對值方程和高次方程7 .若方程(x2+y2-5) 2=64 ,貝U x2+y2 =.8 .閱讀題例，解答下題：例：解方程 x2 |x 1| 1=0.解：(1)當 x1>0,即 x>l 時，x2 (x1) 1=0 , .x2 x=0.

8、解得：x1=0 (不合題設(shè)，舍去)，x2=1.(2)當 x 1 V 0 ,即 xv 1 時，x2+ (x 1) 1=0 , , x2+x 2=0.解得x1=1 (不合題設(shè)，舍去)，x2=2.綜上所述，原方程白解是x=1或x=2.依照上例解法，解方程x2+2|x+2| -4=0 .專題四一元二次方程、二次三項式因式分解、不等式組之間的微妙聯(lián)系9.探究下表中的奧秘，并完成填空一兀_防程兩個根一次二項式因式分解x*-2x-l=0Xl=l f工工(x-1) (x-1)x:-3x*2=OJf=l ,工2=2爐A-i)5-2)3x:+x-2-079的;"133jcW=2 5-二)5T)Ti5x*

9、2=0_ 1 町=一?2x1*5x+2=2 (x-i ) (%-2)2十13戶3=0X1=，X2=4x2+13x+3=4 (工-) (x-_)10.請先閱讀例題的解答過程然后再解答：代數(shù)第三冊在解方程3x ( x+2 ) =5 ( x+2 )時，先將方程變形為3x ( x+2 ) -5(x+2) =0,這個方程左邊可以分解成兩個一次因式的積，所以方程變形為(x+2) (3x-5) =0.我們知道，如果兩個因式的積等于0,那么這兩個因式中至少有一個等于0;反過來，如果兩個因式有一個等于 0,它們的積等于0.因此，解方程(x+2) (3x-5) =0,就相當于解方 程x+2=0或3x-5=0 ,得

10、到原方程的解為 xi=-2 , x2=-.3,、一 ，一, , a 0,華 a ：二 0一根據(jù)上面解一元二次方程的過程，王力推測：a.b>0,則有a '或者'請判斷b 0 b ： 0.王 5x-1力的推測是否正確？若正確，請你求出不等式->0的解集，如果不正確，請說明理2x-3由.專題五 利用根與系數(shù)的關(guān)系求字母的取值范圍及求代數(shù)式的值11 .設(shè) x1、*2是一兀二次方程 x2+4x3=0 的兩個根，2x1(x22+5x23)+ a=2 ,則 a=.12 . (2012懷化)已知x1、x2是一元二次方程(a6x2+2ax+a=0的兩個實數(shù)根，是否存在實數(shù)a,使x +

11、 xx2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，請你說明理由；求使(x1+1) (x2+1)為負整數(shù)的實數(shù) a的整數(shù)值.13 .(1)教材中我們學習了 ：若關(guān)于x的一元二次方程 ax，bx+c=0 的兩根為xi、X2,xi+X2=bc-,xi3步一根據(jù)這一性質(zhì)，我們可以求出已知方程關(guān)于xi、&的代數(shù)式的值.例如：已知aa xi、x2為方程x2-2x-1=0的兩根,則: xi+x2=, xi x2=, 那么 xi2+x22=( xi+x2)2-2 x i x2 =請你完成以上的填空(2)閱讀材料：已知 m2mi=0, n2+ni=0,且 mn =i .求 mn”的值. n2. 一

12、. i i - i i .斛：由 n +n1=0 可知 n#0.，i+ 2- = 0 .-2- i = 0 .n nn n2-r 2又 m -m-1 =0,且 mn¥i,1mn 1 m 十一=1 . . -=i .nn1 -方程x 一x -1 =0的兩根.n(3)根據(jù)閱讀材料所提供的的方法及(1)的方法完成下題的解答.已知 2m2 3m 1 =0, n2+3n 2 =0 ,且 mn#1.求 m2 +12 的值. n知識要點：1 .解一元二次方程的基本思想一一降次，解一元二次方程的常用方法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法.2 .一元二次方程的根的判別式=b-4ac 與一元二次

13、方程ax2+bx+c=0 ( aw0)的根的關(guān)系：當4>0時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)解；當4=0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)解； <0時，一元二次方程沒有實數(shù)解.3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a卻)的兩根xi、X2與系數(shù)a、b、c之間存在著如下關(guān)系：b ” cXl+X2=, Xi?X2 = ".fl ft溫馨提示：1 .x2+6x+m 2是一個完全平方式，易誤以為m=3.2 .若一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a卻)的兩根xi、x2有雙層含義：(1) axi2+bxi+c=0 ,2,ax2 +bx2+c=0 ; (2) xi + x2=, xi?

14、x2=. a 口方法技巧：1 .求二次三項式 ax2+bx+c極值的基本步驟：(i)將ax，bx+c化為a (x+h) 2+k ; (2)當 a>0 , k>0 時，a (x+h ) 2+k 冰；當 a<0 , k<0 時，a (x+h ) 2+k 4.2 .若一元二次方程ax2+bx+ c=0的兩個根為xi.x2,貝Uax2+bx+c= a (x x1)(x x2).3 .解絕對值方程的基本思路是將絕對值符號去掉，所以要討論絕對值符號內(nèi)的式子與0的大小關(guān)系.4 .解高次方程的基本思想是將高次方程將次轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個式子的一元二次方程求解5 .利用根與系數(shù)求解時，常常用到

15、整體思想.答案：1 .A 解析：根據(jù)題意知，-(k-i) =± 2X 5X ik-1= ± I0 ,即 k-i=i0 或 k-i=-i0 ,得k=ii 或 k=-9 .2 . ±3解析：據(jù)題意得，m2=9 , m=± 3.3 .證明：2x2+4x5=2 (x22x) - 5= - 2 (x2 2x+1) - 5+2= -2 (x1) 2- 3. (x1) 2> 0, .1.-2 (x 1) 2< 0, .-.-2 (x 1) 23V0.，無論x為何實數(shù)，代數(shù)式2x2+4x-5的值恒小于零.4 .A 解析：= (2c) 2-4 (a+b) (a

16、+b) =4 (a+b+c) (c-a-b).根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得c-a-b<0, a+b+c>0.， v 0.，該方程沒有實數(shù)根.5 .A 解析：當kx2+3x+1=0為一元一次方程方程時，必有實數(shù)根，此時k=0 ;r 9k = 0當kx2+3x+1=0為一元二次方程且有實數(shù)根時，如果有實數(shù)根，則4 2.解得32-4 k 2.09.9kw-且k#0.綜上所述k <-.886.A 解析：一元二次方程 ax2 + bx+c=0 (aw 0)有兩個相等的實數(shù)根，.二4= 4ac =0,又 a+ b + c= 0,即 b= - a-c,代入 b2-4ac=0 得(一a c) 2

17、4ac= 0,化簡得(a c) 2= 0,所以 a= c.7.13 解析：由題意得x2+y 2-5= ±8.解得x2+y2=13或者x2+y 2= 3 (舍去).8.解：當 x+2 >0,即*>2時，x2+2 (x+2) 4=0 ,，x2+2x=0.解得 xi=0 , &= 2;當 x+2<0,即 xv-2 時，x2 2(x+2) 4=0, .x2 - 2x-8=0.解得xi=4 (不合題設(shè)，舍去)，x2=2 (不合題設(shè)，舍去).綜上所述，原方程的解是x=0或x=2.9. 一 一， 一3; , 3 .44發(fā)現(xiàn)的一般結(jié)論為：若一元二次方程 ax2+bx+c=0

18、的兩個根為xi.火2,則ax2+ bx+ c= a (x- xi) (x-x2).10.解析；王力的推測是正確的.5x-l>0?.< （ 1）,2z-3>02e-3<0解不等式蛆（八得：戈，不等式職 >（的解集是北*期4.4K J士口11.8 解析：XiX2 = 3, X22+4X23=0 , .12x1(x22+5x2- 3)+ a =2 轉(zhuǎn)化為 2x1 (x22+4 x2- 3+ x2)+a =2.2xiX2+a =2. .2X( 3)+a= 2.解得 a= 8.12.解：(1)根據(jù)題意，得 = (2a) 2 4淚(a6) =24 a> 0. a>

19、 0.又a 6w0, ，a/.由根與系數(shù)關(guān)系得x1 +x2= , x1x2 =a - 6 a - 6由一x1 + x1 x2=4 + x2 得 x1 + x2 + 4= x1x2.，2a- + 4 = a, 解得 a=24 .a-6 a - 6經(jīng)檢驗a=24是方程-2a- + 4 = 一一的解.a-6 a-6(2) 原式= x1 + x2 +x1x2 + 1= _ 2a ta卜 1= 6 為負整數(shù) ,a -6a -66 - a- 6 a 為1 或2, 3, 6.解得 a=7 或 8, 9, 12.13.解：(1) 2, 1 , 6.(3)由 n2+3n-2=0 可知 n 卻,.1+=0. .

20、. j -1=0. n n2n2 n又 2m2-3m-1=0,且 mn w1,即 mk. n1.m、一是方程2x2-3x-1=0的兩根. n m+一= 一,m=,m2+ =(m+n 2 n 2 n113113n)2-2m n=( 2)2-2 ( - 2)= 72.3 一元二次方程的應(yīng)用專題一、利用一元二次方程解決面積問題1 .在高度為2.8m的一面墻上，準備開鑿一個矩形窗戶.現(xiàn)用9.5m長的鋁合金條制成如圖 所示的窗框.問：窗戶的寬和高各是多少時，其透光面積為 3m2（鋁合金條的寬度忽略不 計）.2 .如圖：要設(shè)計一幅寬20cm ,長30cm的矩形圖案，其中有兩橫兩豎的彩條橫、豎彩條的寬度比為

21、2: 3,如果要使所有彩條所占面積為原矩形圖案面積的三分之一應(yīng)如何設(shè)計?3.數(shù)學的學習貴在舉一反三（1）在長為a m ,寬為b m,觸類旁通.仔細觀察圖形，認真思考，解決下面的問題的一塊草坪上修了一條1m寬的筆直小路 （如圖（1）,則余下草坪的面積可表示為 m2 ；（2）現(xiàn)為了增加美感，設(shè)計師把這條小路改為寬恒為1m的彎曲小路（如圖（2）,則此時余下草坪的面積為（3）聰明的魯魯結(jié)合上面的問題編寫了一道應(yīng)用題，你能解決嗎？相信自己哦！2m .求小路的范x.圖（如圖（3）,在長為50m ,寬為30m的一塊草坪上修了一條寬為 xm的筆直小路和一條長恒為xm的彎曲小路（如圖3）,此時余下草坪的面積為

22、1421專題二、利用一元二次方程解決變化率問題4.據(jù)報道，我省農(nóng)作物秸桿的資源巨大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有30%,大部分秸桿被直接焚燒了 ，假定我省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量不變，且合理利用量的增長率相同，要使2014年的利用率提高到60%,求每年的增長率.（取 J2=1.41）5. 某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被感?若病毒得不到有染.請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺?6. (2012廣元)某中心城市有一樓盤，開發(fā)商準備以每平方米7000元的價格出售，由于

23、國家出臺了有關(guān)調(diào)控房地產(chǎn)的政策，開發(fā)商經(jīng)過兩次下調(diào)銷售價后，決定以每平方米5670 元的價格銷售.(1)求平均每次下調(diào)的百分率；(2)房產(chǎn)銷售經(jīng)理向開放商建議 ：先公布下調(diào)5%,再下調(diào)15%,這樣更有吸引力.請問 房產(chǎn)銷售經(jīng)理的方案對購房者是否更優(yōu)惠？為什么？專題三、利用一元二次方程解決市場經(jīng)濟問題7. (2012濟寧)一學校為了綠化校園環(huán)境，向某園林公司購買了一批樹苗，園林公司規(guī)士 7E :如果購買樹苗不超過60棵，每棵售價為120元；如果購買樹苗超過 60棵，每增加1棵,所出售的這批樹苗每棵售價均降低0.5元，但每棵樹苗最低售價不得少于100元.該校最終向園林公司支付樹苗款8800元.請問

24、該校共購買了多少棵樹苗？8. （2012南京）某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內(nèi)，每部汽車的售價與銷售量有如下關(guān)系：若當月僅售出1部汽車，則該部汽車的進價為27萬元，每多售出1部，所有售出的汽車的進價均降低0.1萬元/部；月底廠家根據(jù)銷售量一次性返利給銷售公司，銷售10部以內(nèi)（含10部），每部返利0.5萬元；銷售量在10部以上，每部返利1萬元.（1）若該公司當月售出3部汽車，則每部汽車的進價為 萬元.（2）如果汽車的售價為28萬元/部，該公司計劃當月盈利12萬元，那么需要售出多少部汽車？（盈利=銷售利潤+返利）專題四、利用一元二次方程解決生活中的其他問題9. (1)經(jīng)過凸n邊形

25、(n >3)其中一個頂點 的對角線有條.(2)一個凸多邊形共有14條對角線，它是幾邊形？(3)是否存在有21條對角線的凸多邊形？如果存在，它是幾邊形？如果不存在，說明得出結(jié)論的道理.10.如圖每個正方形是由邊長為1的小正方形組成nN(1)觀察圖形，請?zhí)钆c下列表格止方形邊長1357n (奇數(shù))紅色小止方形個數(shù)止方形邊長2468n (偶數(shù))紅色小止方形個數(shù)(2)在邊長為n (n>1酌正方形中，設(shè)紅色小正方形的個數(shù)為P1,白色小正方形的個數(shù)為P2,問是否存在偶數(shù)n,使P2=5P 1 ?若存在，請寫出n的值；若不存在，請說明理由知識要點：列方程解決實際問題的常見類型：面積問題，增長率問題、

26、經(jīng)濟問題、疾病傳播問題、生活中的其他問題.溫馨提示：1 .若設(shè)每次的平均增長（或降低）率為X,增長（或降低）前的數(shù)量為a,則第一次增長（或降低） 后的數(shù)量為a（1±x）,第二次增長（或降低）后的數(shù)量為a（1±x）2.2 .面積（體積）問題屬于幾何圖形的應(yīng)用題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合、平移成規(guī)則圖形，找出未知量與已知量的內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)面積（體積）公式列出一元二次方程.3 .列方程解決實際問題時，方程的解必須使實際問題有意義，因此要注意檢驗結(jié)果的合理性.方法技巧：1 .變化率問題中常用a （1±x） n=b ,其中a是起始量，b是終止量，n是變出次數(shù)，

27、x是變化率.變化率問題用直接開平方法求解簡單.2 .解決面積問題常常用到平移的方法，利用平移前后圖形面積不變建立等量關(guān)系.答案：1.解：設(shè)高為X米,則寬為9.5-0.5-2X3米.由題意，得XM9.5-0.5-2X3解得X1 =1.5, X2 =3 （舍去，高度為2.8m的一面墻上）.當x=1.5時,9.5-0.5-2x寬9.5-0.5-33=2.答：高為1.5米，寬為2米.2 .解：設(shè)橫、豎彩條的寬度分別為 2xcm、3xcm,由題意，得(20 6x) (30 4x) = (1 錯誤！未找到引用源。)X 20 X.301,得 6x2 65x + 50 = 0.解，得乂1=錯誤！未找到引用源。

28、，x2=10 (不合題意，舍去)./乂:錯誤！未找到引用 源。，3x=錯誤！未找到引用源。.答：每個橫、豎彩條的寬度分別為 錯誤！未找到引用源。cm,錯誤！未找到引用源。cm.3 .解：(i)a(b1)(或 ab a) ； (2)a(b -1)(或 ab a)；將筆直的小路平移到草坪的左邊，則余下部分的長為 (50-x)m,將彎曲的小路的兩側(cè)重合，則余下部分的寬為(30-x) m,由題意得：(50-x) (30-x) =1421.解得 x1=1 , x2=79 (舍去).答：小路的寬為1m.4 .解：設(shè)我省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量為a,合理利用量的增長率是 x,由題意，得30%a (1+x) 2=60%a.x產(chǎn)0.41 , x2=-2.41 (不合題意舍去).0.41 .答：每年的增長率約為 41%.5 .解：設(shè)每輪感染中平均每一臺電腦會感染x臺電腦，依題意，得1 + x+ (1 +x)x= 81.整理得(1 + x)2 = 81.- xi = 8, x2= 10 (舍去).(1 +x)3= (1 + 8)3= 729 > 700 .答：每輪感染中平均每一臺電腦會感染8臺電腦，3輪感染后，被感染的電腦會超過700臺.6.解：(1)設(shè)平均每次下調(diào) p% ,則有